單元整體：讓數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)走向深刻
——以人教版三年級上冊“認(rèn)識幾分之幾”為例

巫 曉 燕

(杭州市育才京杭小學(xué)，杭州 310011)

美國認(rèn)知心理學(xué)家布魯納指出：“掌握事物的結(jié)構(gòu)，就是允許以許多別的東西與它有意義地聯(lián)系起來的方式去理解它。簡單地說，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的?！毙W(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，是指教師站在系統(tǒng)的高度，從整體的角度審視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)生、發(fā)展過程，從而科學(xué)地優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)活動，推動學(xué)生在已有數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷個性化的認(rèn)知轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維，形成“帶得走”的學(xué)習(xí)方法和能力。

本文以人教版三年級上冊“認(rèn)識幾分之幾”為例，立足文本的整體研讀，大單元視角關(guān)聯(lián)教材，使得知識系統(tǒng)化；對接學(xué)生已有經(jīng)驗，找準(zhǔn)思維的起點；設(shè)計大任務(wù)，教學(xué)結(jié)構(gòu)化，簡教深學(xué)；著力思考，實現(xiàn)思維自能化，讓學(xué)生看得見、說得清、理得順、悟得透。

一、立足整體，知識系統(tǒng)化

結(jié)構(gòu)化教學(xué)關(guān)注數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)、學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、知識的內(nèi)在聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)站在全局的高度進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)。為此本文將從望遠(yuǎn)鏡、放大鏡、組合鏡三鏡出發(fā)整體把握單元與單元、單元內(nèi)部知識之間的聯(lián)系，形成知識網(wǎng)絡(luò)圖。

(一)“望遠(yuǎn)鏡”，尋找關(guān)聯(lián)點

望遠(yuǎn)鏡能幫助我們看清遠(yuǎn)處看不清、甚至看不到的景色?！巴h(yuǎn)鏡”是指教師用數(shù)學(xué)大概念思考整合相關(guān)單元的內(nèi)容，尋找各單元之間的關(guān)聯(lián)點。傳統(tǒng)單點式概念教學(xué)教師的設(shè)計視角是片面的、斷層的，而結(jié)構(gòu)化教學(xué)要教師用“望遠(yuǎn)鏡”長程視角：從單元與單元的關(guān)聯(lián)，單元與學(xué)科的關(guān)聯(lián)，單元與跨學(xué)科的關(guān)聯(lián)，單元與現(xiàn)實世界的關(guān)聯(lián)多角度思考去梳理學(xué)生需要理解與掌握的核心知識，思考數(shù)學(xué)本質(zhì)性問題，并將其轉(zhuǎn)化成適合學(xué)生開展探究的任務(wù)。

“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”這一單元是小學(xué)數(shù)學(xué)中特別重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，是繼整數(shù)、小數(shù)之后數(shù)域系統(tǒng)的又一次擴(kuò)充。分?jǐn)?shù)的認(rèn)識是學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識的一次重大飛躍，在學(xué)生數(shù)概念的形成與發(fā)展中起著十分重要的作用。為此筆者在執(zhí)教人教版三年級“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”單元時，用望遠(yuǎn)鏡視角對小學(xué)階段的整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)認(rèn)識單元進(jìn)行系統(tǒng)的整理，找到知識間共通的本質(zhì)屬性與內(nèi)涵：數(shù)是用計數(shù)單位數(shù)出來的。用“數(shù)是數(shù)出來”的大觀念統(tǒng)領(lǐng)，用幾分之一為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)出幾分之幾，認(rèn)識理解分?jǐn)?shù)的深刻內(nèi)涵，設(shè)計關(guān)鍵課例“認(rèn)識幾分之幾”。

(二)“放大鏡”，打通聯(lián)結(jié)線

放大鏡能幫助我們看清細(xì)小的、瑣碎的事物。“放大鏡”是指教師在單元視角下聚焦數(shù)學(xué)核心概念，打通單元內(nèi)知識點，梳理單元素養(yǎng)鏈，知識和素養(yǎng)兩線并行。傳統(tǒng)概念教學(xué)知識點瑣碎，而許多小概念容易忽視、遺忘，結(jié)構(gòu)化教學(xué)倡導(dǎo)教師用“放大鏡”視角去聯(lián)結(jié)單元的組成、思考單元的結(jié)構(gòu)、整理單元的序列，連點成線，形成全面的、結(jié)構(gòu)化的核心知識導(dǎo)圖，明晰教材體系，厘清單元所屬的數(shù)學(xué)思想和方法，并能整合知識點設(shè)計一個能將學(xué)生引入“真實學(xué)習(xí)場”的大任務(wù)，打開學(xué)生參與學(xué)習(xí)的大門，提升學(xué)生思維，開闊學(xué)生視野。

“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”是學(xué)生在初步認(rèn)識了整數(shù)、小數(shù)，并對平均分有了初步認(rèn)識后開展教學(xué)的，是對數(shù)的一次擴(kuò)充?！胺?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”是人教版小學(xué)三年級第八單元的起始課是一節(jié)種子課，受到很多老師的關(guān)注與研究，但是“認(rèn)識幾分之幾”這樣的關(guān)鍵課卻關(guān)注較少，平時教學(xué)也是一帶而過。其實，分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)對學(xué)生來說比較陌生，分?jǐn)?shù)的意義具有較大的抽象性，而認(rèn)識幾分之幾是學(xué)生在認(rèn)識了幾分之一后的深入。我們用放大鏡對本單元知識進(jìn)行梳理，明確幾分之幾一課在本單元的地位以及起到的作用。

(三)“組合鏡”，定位目標(biāo)體

組合鏡能幫我們理清學(xué)習(xí)目標(biāo)，做到“以終為始，評價先行”。組合的意思是組織成整體，組是指知識點的組織，合是指知識點、課程標(biāo)準(zhǔn)、單元整體學(xué)習(xí)等多維度融合在一起，明確結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)需要達(dá)到的目標(biāo)。結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)目標(biāo)需要包含學(xué)科的知識，更要凸顯高階的學(xué)習(xí)和思維的方式。結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)計要從學(xué)科知識與技能、思維與方法、意識與態(tài)度等方面進(jìn)行描述，特別重視學(xué)生對問題意識和批判精神的培養(yǎng)，從發(fā)現(xiàn)和分析問題、獲取和判斷以及應(yīng)用信息、表述和解釋觀點、評價等方面進(jìn)行學(xué)習(xí)目標(biāo)的設(shè)計。

為此在設(shè)計“幾分之幾”認(rèn)識這一課，筆者依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，單元知識的內(nèi)容，進(jìn)行整個單元的目標(biāo)定位，根據(jù)目標(biāo)設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù)，將教學(xué)目標(biāo)立體化。

二、對接經(jīng)驗，找準(zhǔn)思維點

對于“學(xué)什么”的問題，如果僅僅依據(jù)教科書來解決，盲從教參，就會缺乏科學(xué)性，陷入照本宣科的泥潭?；趯W(xué)情，找準(zhǔn)學(xué)生學(xué)習(xí)的起點，才是讓學(xué)習(xí)深入的關(guān)鍵一環(huán)。那么，學(xué)情的起點在哪里？以“經(jīng)驗”預(yù)估學(xué)情，預(yù)判學(xué)習(xí)起點，顯然是不科學(xué)的。

如何將全新的知識內(nèi)化為學(xué)生自身的知識，找準(zhǔn)學(xué)生學(xué)習(xí)的前科學(xué)概念是非常重要的，它是促使學(xué)生從“生活經(jīng)驗”向“數(shù)學(xué)知識”的橋梁，學(xué)生的思維從已知世界自然而然滑向未知領(lǐng)域。以人教版三年級上冊“認(rèn)識幾分之幾”一課為例，學(xué)生會讀寫分?jǐn)?shù)嗎？知道分?jǐn)?shù)與平均分的關(guān)系嗎？理解不同單位1的相同分?jǐn)?shù)嗎？分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的真實起點在哪里？依賴教學(xué)經(jīng)驗來主觀臆測，結(jié)果是模糊的，和實際會有偏差。為了把握學(xué)情，精準(zhǔn)反饋，教師可以嘗試前側(cè)，對分?jǐn)?shù)認(rèn)識情況進(jìn)行不同維度的考察，完成數(shù)據(jù)統(tǒng)計。

通過前測，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對等分概念的建立上會出現(xiàn)理解不足，學(xué)生會片面地認(rèn)為平均分前后形狀和大小都必須是一樣的，在學(xué)生前測卷中可以發(fā)現(xiàn)， 對于形狀不同但面積相同的等分物體的選擇時，學(xué)生往往認(rèn)為這不是平均分，這類問題錯誤率在39.5%。其次，我們發(fā)現(xiàn)對于單位1的理解也是學(xué)生的一個難點和困惑，因為它不僅包括對一個連續(xù)單位“1”量進(jìn)行平均分后結(jié)果大小相同的理解；還包括不考慮形狀、大小等非本質(zhì)因素只考慮數(shù)量相同的離散單位“1”量的平均分。離散量單位1平均分的錯誤率高達(dá)48.5%。

針對以上問題，筆者實行以“大概念”統(tǒng)領(lǐng)單元的學(xué)習(xí)方法，以“大任務(wù)”驅(qū)動單元學(xué)習(xí)過程，以“問題鏈”推進(jìn)大任務(wù)。

三、推進(jìn)任務(wù)，教學(xué)結(jié)構(gòu)化

(一)找準(zhǔn)體驗點，讓學(xué)習(xí)真實發(fā)生

社會心理學(xué)家大庫伯的“體驗式學(xué)習(xí)圈 ”“認(rèn)知心理學(xué)家皮亞杰”“發(fā)生認(rèn)識論”等人的理論都強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷最好、最真實的學(xué)習(xí)過程，讓體驗與理性共存于課堂。本課設(shè)置大任務(wù)，巧設(shè)大問題，讓學(xué)生從畫圖的體驗出發(fā)，在有邏輯問題鏈的驅(qū)動下，分成反饋，體驗變經(jīng)驗，破解單位1的奧秘。

1.設(shè)置大任務(wù)，營造思維場

設(shè)置數(shù)學(xué)任務(wù)時我們要給學(xué)生留有思考的空間、交流合作的機(jī)會，指明學(xué)習(xí)方法，體現(xiàn)以學(xué)生為中心的教育理念?！罢J(rèn)識幾分之幾”我們設(shè)計了三個大任務(wù)營造思維場。

任務(wù)一：創(chuàng)造分?jǐn)?shù)：給學(xué)生提供多樣化素材如一維(線段)、二維(長方形、正方形等)、三維(圓柱體、長方體等)的素材，讓學(xué)生根據(jù)不同素材創(chuàng)造自己理解的四分之三。

【設(shè)計意圖：學(xué)生對分?jǐn)?shù)已經(jīng)有一定的認(rèn)知，因此創(chuàng)設(shè)了讓學(xué)生自己創(chuàng)造分?jǐn)?shù)的任務(wù)，了解學(xué)生的經(jīng)驗起點與認(rèn)知困惑。利于教師深入地解讀學(xué)生對新知識的經(jīng)驗與困惑，設(shè)計有結(jié)構(gòu)的過程引導(dǎo)學(xué)生理性思辨，層層推進(jìn)，讓思維逐步清晰。多樣的四分之三同時呈現(xiàn)，讓學(xué)生對分?jǐn)?shù)的意義有深入的感知?！?/p>

任務(wù)二：以形解數(shù)：在真實情境中理解分?jǐn)?shù)，結(jié)合圖形理解不同單位情境中的四分之三，明確單位1不同，3/4表示的結(jié)果不同。

【設(shè)計意圖：給長方形的四分之三賦予真實的內(nèi)容，長方形表示1米，表示4元，表示其他三個層次進(jìn)行展開對單位1的理解，通過對比不同單位1，讓學(xué)生初步感受單位1不同，相同的分?jǐn)?shù)所對應(yīng)的量也是不同的?！?/p>

任務(wù)三：以數(shù)解形：用數(shù)表示形，之前我們一直用形解數(shù)，我們設(shè)置在數(shù)線上表示分?jǐn)?shù)的活動，使學(xué)生對“分?jǐn)?shù)”認(rèn)識達(dá)到概念性的水平，同時滲透了同分母分?jǐn)?shù)的大小。這樣的大任務(wù)設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生理性思辨，層層推進(jìn)，讓思維逐步清晰。

【設(shè)計意圖：從寫一寫、說一說、找一找三個層次深入理解幾分之幾，第一個層次從一個圖形理解分?jǐn)?shù)，第二層次結(jié)合生活情境理解幾分之幾，第三層次是一個群體理解分?jǐn)?shù)。引導(dǎo)學(xué)生用簡單的語言表達(dá)出來，使學(xué)生在不斷的抽象中實現(xiàn)一次次理性的飛躍，使學(xué)生對“分?jǐn)?shù)”認(rèn)識達(dá)到概念性的水平。】

2.“體驗”變“經(jīng)驗”，破解單位“1”

學(xué)習(xí)者必須積極主動把新知識與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)的舊知識發(fā)生相互作用，舊知識才能得到更新改造。我們嘗試讓學(xué)生在暴露、碰撞、提升、運用中將“體驗”變“經(jīng)驗”，從分?jǐn)?shù)到圖形，圖形到語言，語言到分?jǐn)?shù)的三重表征，使學(xué)生在不斷的抽象中實現(xiàn)一次次理性的飛躍，成功破解單位“1”的秘密。

因此，教師在教學(xué)中要在經(jīng)驗的銜接處發(fā)力。牢牢抓住新舊知識之間的聯(lián)系，指導(dǎo)學(xué)生通過遷移、類比、對照等方法，進(jìn)一步完善原有的知識結(jié)構(gòu)，使之系統(tǒng)化、條理化，讓學(xué)生知其然，并知其所以然。具體流程是在獨立任務(wù)中，暴露了學(xué)生最原始的經(jīng)驗；在合作交流中，學(xué)生探究合作碰撞生成經(jīng)驗，在交流反饋中提升再生經(jīng)驗；在拓展應(yīng)用中，運用遷移穩(wěn)定經(jīng)驗進(jìn)行拓展。以這樣的教學(xué)結(jié)構(gòu)來組織數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，可以直接使學(xué)生的“體驗”內(nèi)化為可用的“經(jīng)驗”。

(二)巧設(shè)問題鏈，讓理解更加深刻

問題鏈?zhǔn)侵附處熥裱翱凑w結(jié)構(gòu)、看內(nèi)容本身、看學(xué)生學(xué)情”進(jìn)行構(gòu)建系統(tǒng)、連續(xù)的思維活動。問題鏈設(shè)計先尋找單元與單元間的關(guān)聯(lián)，再結(jié)合本單元需要解決的核心問題及順序，構(gòu)思內(nèi)部的教學(xué)聯(lián)結(jié)點，最后關(guān)注學(xué)生學(xué)情，構(gòu)建主干問題鏈。

好的問題鏈教學(xué)，在重視“知識聯(lián)結(jié)”的同時應(yīng)更多地倡導(dǎo)“方法聯(lián)結(jié)”，既關(guān)注知識間的邏輯順序，又重視學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)方法的體會和領(lǐng)悟。因此問題鏈設(shè)計重在設(shè)計一組邏輯關(guān)聯(lián)的問題，表現(xiàn)在三個層面上的關(guān)聯(lián)，即知識內(nèi)容關(guān)聯(lián)、思想方法關(guān)聯(lián)和研究視角關(guān)聯(lián)。

如“認(rèn)識幾分之幾”一課教學(xué)實踐中，筆者設(shè)置了三個大任務(wù)，第一個任務(wù)創(chuàng)造分?jǐn)?shù)在反饋環(huán)節(jié)，用五個關(guān)聯(lián)的問題層層推進(jìn)，深層理解分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵。問題1解釋學(xué)生創(chuàng)造的分?jǐn)?shù)，查找學(xué)生起點，問題2理解在長方形中理解涂色部分位置不同都可以用四分之三表示，問題3從正方形出發(fā)理解形狀不同大小相同都可以用四分之三表示，問題4在對比長方形和正方形的四分之三是否相同，理解單位1不同相同分?jǐn)?shù)的對應(yīng)量也是不同的，問題5從一維、三維、離散單位1等角度思考四分之三的不同之處，讓學(xué)生在有邏輯的問題中進(jìn)行思考，建立模型、化歸統(tǒng)整、拓展應(yīng)用，理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，提升學(xué)生思維的深度。

四、著力思考，思維自能化

學(xué)習(xí)的最高境界是思維的自能化。思維自能化是思維發(fā)展“登峰造極”的表現(xiàn):形成思維習(xí)慣，即未經(jīng)任何提示，自然而然流露出來的、具有自覺能動特征的思維能力。思維自能化的好處可以提高速度，進(jìn)而提高效率。筆者從入心、內(nèi)化、外化三方面思考，助力學(xué)生思維的自能化。

(一)入心，數(shù)量表征溝通圖式表征

入心是思維自能化的首要任務(wù)，入心便可入耳、入腦、入行。在幾分之幾的認(rèn)識中，可充分認(rèn)識面積模型，在比較中連接分?jǐn)?shù)，理解單位“1”，在遷移中發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造分?jǐn)?shù)，在抽象中完善分?jǐn)?shù)意義的理解。

“認(rèn)識幾分之幾”一課，設(shè)置大任務(wù)，直接出示分?jǐn)?shù)讓學(xué)生用圖形表征，喚醒學(xué)生對“平均分”的知識經(jīng)驗，在畫圖中不斷強(qiáng)化表象，增強(qiáng)感性的認(rèn)識，為分?jǐn)?shù)的理解做好鋪墊。

(二)內(nèi)化，圖式表征聯(lián)結(jié)語言表征

內(nèi)化是學(xué)生能根據(jù)原有經(jīng)驗生發(fā)到新的學(xué)習(xí)情境中，甚至是學(xué)生自己主動聯(lián)系上的，那就說明關(guān)系意識、關(guān)系思維已經(jīng)在他內(nèi)心生長了。語言表征學(xué)生從形象的圖示到清晰的語言理解是較高層次的概括，也是檢驗學(xué)生是否掌握理解的歸宿。我們在解決問題中，通過多元圖式的表征，最終要用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)世界。

“認(rèn)識幾分之幾”一課的任務(wù)二將分?jǐn)?shù)置于真實情景中，讓學(xué)生用語言來表達(dá)分?jǐn)?shù)的具體量，不僅清晰理解分子分母之間的關(guān)系，更深刻體驗分?jǐn)?shù)的含義。

(三)外化，語言表征回歸數(shù)量表征

外化是指自覺主動地用上所學(xué)本領(lǐng)。所有入心的東西需要在內(nèi)心不斷地積淀和生長，等積淀和生長到一定程度，就會外化為一種近乎本能的意識和行為。運用多元表征方式是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)理解的關(guān)鍵點。

“認(rèn)識幾分之幾”一課的任務(wù)三根據(jù)圖式尋找分?jǐn)?shù)，溝通圖式與分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生更深層次理解分?jǐn)?shù)，為以后理解約分、通分埋下伏筆，同時數(shù)線表征也為學(xué)生搭建了分?jǐn)?shù)大小比較理解的平臺，使得分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)達(dá)到自動化。

結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)課堂，學(xué)生從有邏輯的學(xué)習(xí)素材出發(fā)，設(shè)置三大任務(wù)，關(guān)聯(lián)問題鏈推進(jìn)，經(jīng)歷從真實生活走進(jìn)符號世界 ，又從符號世界回歸到現(xiàn)實生活的建模過程，在真實、自然、水到渠成的活動中，學(xué)生充分地感悟了分?jǐn)?shù)細(xì)分的思想，發(fā)展了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，讓學(xué)習(xí)走向深刻。