回溯本源 駁倒反例
——“釘子板上的多邊形”教學(xué)思考

江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)跨塘實驗小學(xué)（215000）李 楊

蘇教版教材第九冊“用字母表示數(shù)”單元后附設(shè)了一節(jié)綜合實踐課“釘子板上的多邊形”。當(dāng)學(xué)生根據(jù)教師示范的特例——多邊形內(nèi)只有一顆橡皮釘?shù)那樾?，初步概括出“多邊形的面積為多邊形邊上橡皮釘數(shù)的一半”這個結(jié)論后，教師要求學(xué)生用代數(shù)式表示結(jié)論，以便結(jié)論簡明且具有普遍意義，但學(xué)生完全不懂該如何入手。教師只好提示“用字母表示數(shù)量關(guān)系”，并板書“a=1，S=n÷2”，隨后指導(dǎo)學(xué)生舉例證明。在展示了學(xué)生的幾份作業(yè)后，教師開始?xì)w納總結(jié)。

【教學(xué)片段】

生1（舉手）：老師，我得到的結(jié)果不一樣。

師：是怎么回事？

生1（在點陣圖上畫了一個圓形，如圖1）：圓周一共經(jīng)過4個點，代入公式得出S=n÷2，賦值后的結(jié)果是面積等于2，但是運用剪切拼貼方法得到的面積比2大。

圖1

師：這個例子說明了什么？

生2：這樣的矩形點陣圖應(yīng)該是圍不出圓形的。

生1：明明可以畫出來，為什么你說不可以？

（生2意識到自己思慮不周，只得默默坐下）

師：是??！因為在矩形點陣圖上圍不出圓形，所以生1這個結(jié)論是一個偽命題?，F(xiàn)在，公布正確的結(jié)論……

（教師讓學(xué)生回顧整節(jié)課，板書“猜測—證明—總結(jié)”，總結(jié)找規(guī)律的方法）

【課后交流】

筆者：生2的觀點“矩形點陣圖上無法圍出圓形”，能夠構(gòu)成反駁生1的例子嗎？

執(zhí)教者：當(dāng)然可以，矩形點陣圖上確實圍不出圓形。

筆者：其實生1并未心服口服。

執(zhí)教者：可以畫出，不代表可以圍出來，二者不是一碼事。

筆者：您聽過皮克公式嗎？

執(zhí)教者：聞所未聞。

筆者：那圓是多邊形嗎？

執(zhí)教者：……

一、合理利用已有經(jīng)驗

“釘子板上的多邊形”屬于探究活動課，是教材新增的內(nèi)容。教材是按順序出示內(nèi)部有1顆橡皮釘、2顆橡皮釘?shù)亩噙呅危龑?dǎo)學(xué)生先通過數(shù)數(shù)、計算等方法初步歸納出多邊形面積與橡皮釘數(shù)量之間的換算關(guān)系，然后應(yīng)用此規(guī)律，對照驗證多邊形圍3顆、4顆橡皮釘?shù)那樾?，在獲得大量可靠數(shù)據(jù)后，歸納出確切結(jié)論。舊教材是將“找規(guī)律”單設(shè)成章，新教材則是將其分解后插入不同章節(jié)中。在教學(xué)“找規(guī)律”這一內(nèi)容時，教材的重心落在一個“找”字上，所以這節(jié)課的主要目標(biāo)不在于獲得結(jié)論，而在于找的途徑和手段，讓學(xué)生經(jīng)歷規(guī)律探索的常規(guī)流程，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，以此培養(yǎng)學(xué)生敏銳的洞察力、高度的概括力。只不過，在五年級之前學(xué)生已經(jīng)對“找規(guī)律”有所涉獵，如“周期規(guī)律”“搭配規(guī)律”等。除去這些貼有“找規(guī)律”標(biāo)簽的專題課程，還有很多隱性的“找規(guī)律”課程，譬如算術(shù)教程中的“商不變性質(zhì)”“運算律”等；圖形性質(zhì)教程中“三角形的三邊關(guān)系”“三角形的內(nèi)角和”等。只不過這些內(nèi)容的側(cè)重點在對規(guī)律的運用，對于尋找規(guī)律的探究過程則一筆帶過。

可以說，“找規(guī)律”作為一種技巧，許多地方都有體現(xiàn)。如果教師在教學(xué)相關(guān)內(nèi)容時，能有意識地提煉找規(guī)律的方法，并在教學(xué)設(shè)計時將滲透找規(guī)律的思想方法作為重要參考指標(biāo)，并且長期堅持，分段實施，逐步推進(jìn)，那么到了五年級，學(xué)生對于找規(guī)律的一般方法和有效策略應(yīng)該已經(jīng)得心應(yīng)手。

然而，從這節(jié)課的情況來看，教師要么把教學(xué)這節(jié)課錯當(dāng)成教授“找規(guī)律”方法與技巧的專題課，要么就是不敢放權(quán)，不愿嘗試以學(xué)生自主探究合作交流為主的教學(xué)方法。也就是說，如果教師目光長遠(yuǎn)，那么在一開場就應(yīng)該讓學(xué)生回想和梳理舊知，遷移找規(guī)律的方法技巧，而不會把它作為“新大陸”去開發(fā)。

學(xué)生的“找規(guī)律”經(jīng)驗十分豐富，除了常規(guī)程序，還有一些心得竅門——遵循由特殊到一般或者由簡單到復(fù)雜的做法。本節(jié)課的“找規(guī)律”較以往更為復(fù)雜，存在第三變量。但慶幸的是，如果學(xué)生利用一般方法探索規(guī)律，從最基礎(chǔ)的圖形內(nèi)包圍1顆橡皮釘開始，合情推理、逐步推導(dǎo)，順應(yīng)這種思路推導(dǎo)就能得出科學(xué)結(jié)論。授課時，也許學(xué)生會有圖形內(nèi)橡皮釘數(shù)從0開始算起的想法，對此，教師不妨先順著學(xué)生的思維，再糾正學(xué)生的錯誤，將起點調(diào)回a=1。如此一來，a=0這種走不通的情形反倒成了最有力的證明。

在上述教學(xué)片段中，問題的癥結(jié)在于學(xué)生沒有真正經(jīng)歷找的過程，而且執(zhí)教者授課時過分糾結(jié)于圖形內(nèi)只有一個點的情況，在這一基本模式上耗費過多時間和精力。執(zhí)教者本可以借助這節(jié)課夯實學(xué)生基礎(chǔ)，結(jié)果事與愿違，適得其反，學(xué)生就在原地打轉(zhuǎn)，信手畫出一個圈圈，圈出一個點。此時，執(zhí)教者順應(yīng)學(xué)生的“錯誤”，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這個圓不符合原有規(guī)律，邊緣穿過的點數(shù)除以2不等于圓的面積數(shù)，自相矛盾。執(zhí)教者應(yīng)該直接從指定圖形（如三角形）圍住一個點、兩個點、三個點……慢慢總結(jié)出預(yù)設(shè)的規(guī)律，最后回過頭來研究這個圓的特例，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突“為什么圓不符合這個規(guī)律？”，以此重新梳理這個規(guī)律存在的基本條件。

二、舉反例不是走過場

值得一提的是，教材編排的“找規(guī)律”課程，多半運用的是不完全歸納法總結(jié)出規(guī)律，這是基于學(xué)生年齡段的選擇，其益處是，學(xué)生可以借此設(shè)計豐富多彩、活潑有趣的探究活動，在游戲活動中慢慢體驗規(guī)律的生成過程，形成觀察、對比、推導(dǎo)、分析、歸納、聯(lián)想、驗證等能力；弊端是，這種方法得出的結(jié)論可靠性差。因此，教師應(yīng)該隱藏“知情者”的身份，每次檢驗時引導(dǎo)學(xué)生尋找反例。由于教材編排的“找規(guī)律”必然能夠通過有限實例不完全歸納出正確規(guī)律，久而久之，學(xué)生就會將不完全歸納法奉為圭臬，深信不疑，但是這卻掩蓋了不完全歸納法的缺陷，也不利于學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度的形成。因此，教師只有創(chuàng)造一種“反例推翻結(jié)論”的活動，才能破除學(xué)生對不完全歸納法的迷信。

反觀教學(xué)片段中，執(zhí)教者提問：“同學(xué)們，你們舉的例子得出的也是這個結(jié)論吧？”后出現(xiàn)了反例，讓人猝不及防?？梢?，執(zhí)教者低估了反例出現(xiàn)的可能性，由此也可以推知，執(zhí)教者在以往的“找規(guī)律”教學(xué)中，反例也常出現(xiàn)。執(zhí)教者的教學(xué)行為顯然不符合科學(xué)探究的精神主旨。根據(jù)后來“真實”的反例出現(xiàn)后，執(zhí)教者驚慌失措的表情來看，他對教材的研究很膚淺。如果精研教材就會發(fā)現(xiàn)，“釘子板上的多邊形”不過是皮克公式的翻版。皮克公式是奧地利數(shù)學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)的一個專用點陣中點數(shù)多少推算多邊形面積的特殊公式。

說到底，反例不是洪水猛獸，如果教師事先做好充分的預(yù)設(shè)，將所有可能出現(xiàn)的反例考慮在內(nèi)，進(jìn)行充分的解析，對反例進(jìn)行鞭辟入里的解讀，不但可以更全面地了解原有規(guī)律，使通過不完全歸納法歸納出的規(guī)律更加嚴(yán)謹(jǐn)，而且通過這個反例，可以讓學(xué)生對原規(guī)律的存在前提、適用范圍、邏輯形式有深刻清晰的認(rèn)識，運用時不會盲目照搬。如果提出反例的主動權(quán)掌握在學(xué)生手里，學(xué)生根據(jù)自己的理解當(dāng)場反駁，教師在毫無準(zhǔn)備的情況下就會措手不及，慌亂之中找不出合適的理由來反駁，也無法自圓其說，不但越描越黑，而且連原本幫助學(xué)生建立起來的對規(guī)律的信任也會土崩瓦解，讓教學(xué)全線崩盤。當(dāng)然，教師若想從容應(yīng)對反例的“變故”，就得深入鉆研知識背景，如圍圖背后的定理——皮克公式。

三、回歸知識本源

數(shù)學(xué)科普讀物《網(wǎng)點和面積》對此也有詳細(xì)介紹：一幅點陣圖，橫豎交錯著兩組虛線、相鄰平行線的間距相等，兩組虛線的交點，就是網(wǎng)點。利用網(wǎng)點數(shù)量去推斷點陣圖中某個指定區(qū)域的面積，或者反過來，根據(jù)已知區(qū)域的面積去倒推經(jīng)過網(wǎng)點的數(shù)量。于是，可以斷定，“釘子板上的多邊形”其實就是脫胎于“網(wǎng)點圖中的多邊形”。

教材為何將網(wǎng)點圖換成釘子圖？主要是為了迎合學(xué)生的興趣，況且這也是數(shù)學(xué)游戲活動的常用道具，學(xué)生對此有著豐富的操作經(jīng)驗。然而，百密一疏，這一改，可能給學(xué)生帶來認(rèn)知錯覺，上述案例中生2的回答“釘子板上無法圍出圓形”足以證明這一點，生2的觀點從教材編寫意圖上看也并無不妥，但從知識本質(zhì)看卻是荒謬的。如果執(zhí)教者了解教材知識引入過程，就不會采信生2的說辭，避重就輕轉(zhuǎn)移話題，硬切到“網(wǎng)點圖中的多邊形”中，誘導(dǎo)學(xué)生弄清實情。

教學(xué)時，只有對知識追根溯源，才能讓教學(xué)始終緊扣教學(xué)目標(biāo)。收尾部分也應(yīng)指向知識的本源——皮克公式和《網(wǎng)點和面積》一書，進(jìn)行合理的拓展。需要說明的是，本課雖是一節(jié)“找規(guī)律”的課型，但是它附錄在“用字母表示數(shù)”章節(jié)之后，這就意味著教師必須及時以此幫助學(xué)生鞏固舊知——用代數(shù)式表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。不過，要讓學(xué)生在表達(dá)規(guī)律時主動想到用代數(shù)式表示，僅靠教師的誘導(dǎo)性指示——“這句話用代數(shù)式怎么表示”來體現(xiàn)其優(yōu)越性是不夠的，遠(yuǎn)沒有觸及代數(shù)式的真正用途——“用字母代數(shù)可以用一個式子囊括所有可能，體現(xiàn)的是從單個的定量到無窮的變量的發(fā)散”。從學(xué)生的真實反應(yīng)看，學(xué)生并不理解“多邊形面積單位數(shù)是多邊形邊上橡皮釘數(shù)量的一半”這句話，因為其句式太過復(fù)雜，教師應(yīng)該抓住面積、圖形上橡皮釘數(shù)和圖形內(nèi)橡皮釘數(shù)等的“動態(tài)變化”，引導(dǎo)學(xué)生設(shè)法用變化無窮的字母代替單個不變的數(shù)字。換言之，就是用字母的簡捷、普遍的優(yōu)越性來揭示代數(shù)式的本質(zhì)——“表示變量之間的不變關(guān)系”。

規(guī)律結(jié)論可能很簡單，但是規(guī)律的淵源卻非常復(fù)雜，理論也可能非常深邃，這些都不要緊，因為學(xué)生目前不需要了解這些，要了解清楚的是教師。教師知道的無論多么詳細(xì)，傳遞給學(xué)生的必須簡潔，這就涉及規(guī)律的表達(dá)問題。如果用大段文字來描述這個規(guī)律，對學(xué)生而言佶屈聱牙、晦澀難懂，但是如果用代數(shù)式來表達(dá)，就會言簡意賅、明白無誤，這是數(shù)學(xué)語言的優(yōu)勢。找規(guī)律的過程本身就包含如何表達(dá)的問題，一開始，就應(yīng)該將多邊形各邊穿過的點數(shù)設(shè)為n，然后將圍住的面積設(shè)為a，先讓學(xué)生嘗試用字母表示這個數(shù)量關(guān)系，再通過一步步增加點數(shù)，讓學(xué)生代入驗證，檢驗這個公式是否還成立。多次實驗后，學(xué)生自會發(fā)現(xiàn)這個公式的普適性，對這個公式深信不疑的同時，對規(guī)律的構(gòu)建也會水到渠成。

綜合以上分析，可以發(fā)現(xiàn)，“釘子板上的多邊形”這節(jié)課可進(jìn)行雙線敘事，明線是尋找規(guī)律，暗線是學(xué)會用代數(shù)式來揭示規(guī)律。兩條線齊頭并進(jìn)，或許就是這節(jié)數(shù)學(xué)綜合實踐課的精妙所在——“綜合”是將“代數(shù)式”和“幾何圖形”有機(jī)結(jié)合，“實踐活動”就是將點陣圖換成“釘子圖”。