微分方程在成都市人口預(yù)測中的應(yīng)用

◇成都師范學(xué)院 宋曉敏 周海燕 王 靜 盧秋月

本文以2000～2019年成都市統(tǒng)計年鑒戶籍人口總數(shù)為依據(jù)，結(jié)合微分方程模型的相關(guān)知識，優(yōu)先擬合出灰色預(yù)測模型，進而來準確預(yù)測成都市人口未來的變化，為成都市的規(guī)劃發(fā)展提供數(shù)據(jù)支持。在建模完成及模型應(yīng)用結(jié)束后，經(jīng)過殘差檢驗、后驗查檢驗、誤差分析和對預(yù)測結(jié)果的現(xiàn)實分析，結(jié)果顯示此模型精確度較高，在對成都市未來人口走向的預(yù)測中取得了較好的效果。

古往今來，人口都是決定國家強盛，城市繁榮的主要原因。這是因為人口數(shù)量不僅作用于經(jīng)濟文化，還作用于教育，民生等多個方面。人口數(shù)量，人口年齡結(jié)構(gòu)，人口性別比例，人口增速以及人口素質(zhì)等內(nèi)容均屬于人口問題的研究方面。其中對于人口數(shù)量的研究是人口問題研究的基礎(chǔ)，也是人口問題研究中最重要的部分之一。巨大的人口數(shù)量意味著龐大的消費市場，因為龐大的消費市場是進行產(chǎn)業(yè)發(fā)展和升級的基礎(chǔ)。

成都市作為西部第一大城市，為了能更快更好的發(fā)展為全國一線城市，對未來人口的預(yù)測是十分有必要的。本文基于《成都統(tǒng)計年鑒－2019》等資料提供的相關(guān)數(shù)據(jù)構(gòu)建灰色預(yù)測模型對成都市未來人口進行分析與預(yù)測。

1 模型介紹

1.1 微分方程與灰色預(yù)測

1.2 現(xiàn)階段灰色預(yù)測模型的應(yīng)用

2 模型建立

2.1 問題假設(shè)

（1）假設(shè)本文中所使用的數(shù)據(jù)均真實有效，具有分析的價值。

由圖5可知，不同pH發(fā)酵條件下得到的小麥醬油滋味有明顯差異。相比于自然pH發(fā)酵的醬油，pH 6.5條件下發(fā)酵的醬油鮮味更強，這與其含有更多的谷氨酸有關(guān)。二者在咸味上無明顯差異，但pH 6.5小麥醬油的苦味更強，自然發(fā)酵醬油則在甜味、酸味上更強。pH 6.5小麥醬油的苦味更加強烈，原因不明。

（2）假設(shè)成都市是一個封閉系統(tǒng),沒有人口的遷入和遷出。

（3）不考慮戰(zhàn)爭、瘟疫、疫情等傳染性疾病的影響。

（4）人口數(shù)量只與人口基數(shù)、出生率、死亡率有關(guān)。

（5）假設(shè)未來三十年成都市人口的出生率、死亡率不受科技發(fā)展的影響。

2.2 灰色預(yù)測 模型建立的基本過程

（1）假設(shè)已知原始數(shù)據(jù)序列為：

2.3 代入數(shù)據(jù)進行模型求解

根據(jù)《成都統(tǒng)計年鑒－2019》四川省成都市2010-2019年的人口總數(shù)，可見四川省成都市的人口數(shù)量呈逐年增長的趨勢，且增長速度逐年加快。同時，基于上述模型建立的理論基礎(chǔ)，通過合理運用Excel，對滑動平均矩陣、2011-2019年人口數(shù)所形成的矩陣等進行轉(zhuǎn)置運算、求逆運算以及乘法運算解出了灰微分方程的待定參數(shù)，進而求得成都市人口預(yù)測模型。通過所得預(yù)測數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的散點圖擬合對比，并進行殘差檢驗和后驗差檢驗，結(jié)果顯示預(yù)測數(shù)據(jù)較為準確，該模型有效地減少人口自然增長與人口機械增長對成都市人口總數(shù)的影響[5]。具體的模型求解與人口總數(shù)的預(yù)測過程如下所示。

首先，收集了2010-2019年成都市人口總數(shù)的統(tǒng)計情況，見表1。

表1 成都市人口總數(shù)（萬人）

由此可得一次累加數(shù)據(jù)序列為：

2.4 模型精度檢驗

分別求出預(yù)測值、相對誤差值、絕對誤差值，結(jié)果如表2所示。

表2 成都市人口預(yù)測值與實際值的相對誤差

由表2可知平均相對誤差為0.2%，所以此模型的精確度較高。

表3 灰色預(yù)測精度檢驗等級標準

因此，上述所得模型可用于成都市人口總數(shù)的預(yù)測。將11,12,13,14,15,16代入預(yù)測式（9），經(jīng)過計算可得出2020-2025年成都市人口預(yù)測值，見表4。

表4 成都市人口預(yù)測值（萬人）

2.5 預(yù)測結(jié)果圖示

3 模型優(yōu)缺點的評判

3.1 優(yōu)點

（1）該模型所需樣本量較少，且能更好的預(yù)測含有未知因素的系統(tǒng)。

（2）灰色預(yù)測模型對城市人口數(shù)進行中短期預(yù)測時，所得擬合結(jié)果精度較高。

（3）灰色預(yù)測模型對于呈指數(shù)變化的單調(diào)序列預(yù)測精度更高。

（4）樣本分布允許具有隨機性，模型求解簡便，結(jié)果易于檢驗。

3.2 缺點

（1）灰色預(yù)測模型存在局限性，只適用于原始數(shù)據(jù)為非負的情況。

（2）灰色預(yù)測模型在原始數(shù)據(jù)序列波動較大時，所得預(yù)測結(jié)果存在較大誤差。

4 結(jié)論

模型對成都市人口總數(shù)進行中短期的預(yù)測。結(jié)果顯示，依據(jù)各項指標建立的灰色預(yù)測模型具有更高的精度和較好的擬合度。然而此模型是存在局限性的，它不能達到中長期預(yù)測的精度要求，由此可知當原始數(shù)據(jù)為非負且呈較強指數(shù)規(guī)律變化，以及序列的變化波動較小時的最佳預(yù)測模型是灰色預(yù)測模型，因為此條件下建立的灰色預(yù)測模型能得到誤差更小的預(yù)測結(jié)果。