單位，讓分?jǐn)?shù)“數(shù)”出來

錢建兵

摘要：數(shù)，源于數(shù)，是對(duì)數(shù)量的抽象。無論是整數(shù)、小數(shù)，還是分?jǐn)?shù)，都有著相同的結(jié)構(gòu)——從數(shù)的組成來講，都是計(jì)數(shù)單位累加的結(jié)果。計(jì)數(shù)單位是計(jì)數(shù)的基本部件，計(jì)數(shù)法是將基本部件進(jìn)行組合的規(guī)則。從結(jié)構(gòu)化教學(xué)的角度思考，分?jǐn)?shù)的教學(xué)中還需要建立起分?jǐn)?shù)和整數(shù)之間的聯(lián)系，從數(shù)的角度去認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)?！斗?jǐn)?shù)的意義》一課，從定標(biāo)準(zhǔn)——單位“1”，到定單位——分?jǐn)?shù)單位，再到計(jì)個(gè)數(shù)——數(shù)單位，有效建立整數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，凸顯分?jǐn)?shù)作為一種數(shù)的本質(zhì)屬性。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù);數(shù)的意義;單位; 《分?jǐn)?shù)的意義》

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題“促進(jìn)理解的小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的實(shí)踐研究”（編號(hào)：D/2020/02/138）的階段性研究成果。一、教學(xué)思考：《分?jǐn)?shù)的意義》教學(xué)中數(shù)的維度容易缺失

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，分?jǐn)?shù)是在整數(shù)、小數(shù)之后需要系統(tǒng)認(rèn)識(shí)的數(shù)，雖然小數(shù)的意義是借助分?jǐn)?shù)建立的，深入認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)卻安排在小學(xué)認(rèn)數(shù)的最后一個(gè)階段。整個(gè)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的過程也經(jīng)歷了較長的時(shí)間：從平均分一個(gè)物體、幾個(gè)物體組成的整體起，初步建立對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上抽象單位“1”及分?jǐn)?shù)的意義，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)。這樣的編排，比較注重基于“分”與“取”的動(dòng)作表征引入分?jǐn)?shù)，再運(yùn)用面積、集合、數(shù)軸等直觀模型幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，從關(guān)系維度（即比的維度）理解分?jǐn)?shù)的意義。

而在小學(xué)階段，分?jǐn)?shù)的意義有比和數(shù)兩個(gè)基本維度。實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在理解分?jǐn)?shù)意義時(shí)，由比的維度向數(shù)的維度的跨越并非一帆風(fēng)順。

比如，學(xué)習(xí)《假分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)》一課時(shí)，不少學(xué)生難以理解：超過整體，如何還能去“取”？以至于學(xué)生在用涂色的方式表示出一個(gè)假分?jǐn)?shù)時(shí)，是猶豫的。雖然教學(xué)中，教師在表述分?jǐn)?shù)意義時(shí)，會(huì)將學(xué)生習(xí)慣表述的“取其中的一份或幾份”，糾正成“表示其中的一份或幾份”，但學(xué)生不明就里：老師為什么要把“取”改成“表示”？

再如，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系時(shí)，學(xué)生很不習(xí)慣用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果。對(duì)于“10米的繩子等分成8份，每份長多少米？”這樣的問題，學(xué)生更習(xí)慣寫成125米，而不是用分?jǐn)?shù)表示結(jié)果。如果改成平均分成3份，相當(dāng)多的學(xué)生會(huì)取近似值卻不用分?jǐn)?shù)——要讓學(xué)生確定分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)的地位，似乎相當(dāng)困難。

數(shù)，源于數(shù)，是對(duì)數(shù)量的抽象。無論是整數(shù)、小數(shù)，還是分?jǐn)?shù)，都有著相同的結(jié)構(gòu)——從數(shù)的組成來講，都是計(jì)數(shù)單位累加的結(jié)果。計(jì)數(shù)單位是計(jì)數(shù)的基本部件，計(jì)數(shù)法是將基本部件進(jìn)行組合的規(guī)則。這是學(xué)生在整數(shù)、小數(shù)學(xué)習(xí)過程中形成的對(duì)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”的結(jié)構(gòu)性認(rèn)知。從結(jié)構(gòu)化教學(xué)的角度思考，分?jǐn)?shù)的教學(xué)中還需要建立起分?jǐn)?shù)和整數(shù)之間的聯(lián)系，從數(shù)的角度去認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。

二、教學(xué)實(shí)踐：立足單位，凸顯分?jǐn)?shù)作為一種數(shù)的本質(zhì)屬性

基于以上思考，《分?jǐn)?shù)的意義》的教學(xué)不僅僅需要從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，在學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了一個(gè)物體、一個(gè)整體的幾分之幾的基礎(chǔ)上，抽象概括出單位“1”，帶領(lǐng)他們經(jīng)歷抽象的過程，概括出分?jǐn)?shù)的意義，理解一個(gè)分?jǐn)?shù)表示的實(shí)際意義;也需要將《分?jǐn)?shù)的意義》的教學(xué)置于數(shù)的認(rèn)識(shí)的整體結(jié)構(gòu)中，突出數(shù)的共同屬性，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位，并理解分?jǐn)?shù)單位的價(jià)值，建立與整數(shù)中計(jì)數(shù)單位的聯(lián)系。具體教學(xué)過程如下：

（一）引出整數(shù)的基本單位——“1”

師（出示一根彩帶）我們?cè)鯓涌梢灾肋@根彩帶的長度？

生用尺子量。

師要測量長度，需要1個(gè)長度單位。有了1個(gè)計(jì)量長度的單位，如1米，我們就可以量這根彩帶的長度了。有了1米這個(gè)長度單位，我們還可以量出許許多多個(gè)整米數(shù)。（板書：計(jì)量單位）有了1千克，我們就可以——

生稱出物體有多重。

師有了自然數(shù)1，我們就可以數(shù)出——

生千千萬萬的數(shù)。

師“1”看起來很小，其實(shí)作用大著呢。數(shù)的王國里，很多數(shù)都跟這個(gè)小小的“1”有關(guān)系呢。

鄭毓信教授指出，面對(duì)“數(shù)”的擴(kuò)展，我們決不應(yīng)將所涉及的各種數(shù)，包括原來的自然數(shù)以及后來學(xué)習(xí)的小數(shù)及分?jǐn)?shù)等，看成互不相干的，而應(yīng)將它們納入到同一個(gè)數(shù)系之中，后者正是將所有這些都看成“一個(gè)真正的‘?dāng)?shù)’”的主要含義。鄭毓信.小學(xué)數(shù)學(xué)教育的理論與實(shí)踐：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)180例[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2017：87。計(jì)數(shù)同測量一樣，都是對(duì)客觀世界進(jìn)行定量刻畫的工具與方法，需要確定統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。測量的標(biāo)準(zhǔn)是計(jì)量單位，計(jì)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)是計(jì)數(shù)單位。通過測量長度，引出整數(shù)的基本單位“1”，構(gòu)建整數(shù)是單位（自然數(shù)1）的累加的模型。將計(jì)數(shù)的教學(xué)放在“數(shù)系擴(kuò)展”的高觀點(diǎn)之下，有利于促進(jìn)學(xué)生的深度理解。

（二）抽象單位“1”

1.引出分?jǐn)?shù)，喚醒舊知

師（出示下頁圖1）這個(gè)長度能直接用1米這個(gè)單位量出來嗎？為什么？

生不能，因?yàn)樗?米短。

師那怎么用1米這個(gè)長度單位去量出它的長度？

生把1米平均分成幾份，再用1小份去量。

師（板書：平均分）估一估，可以用哪個(gè)分?jǐn)?shù)表示它的長度？

生2/3米。

生3/4米。

生5/6米。

師（課件演示測量結(jié)果，如圖2）把1米平均分成4份，表示這樣的3份，就是——

生3/4米。

2.體會(huì)分?jǐn)?shù)的價(jià)值

師剛才在測量的時(shí)候需要用到分?jǐn)?shù)，你還知道在生活中什么時(shí)候需要用到分?jǐn)?shù)嗎？

（學(xué)生回答。）

師人們?cè)诜謻|西或進(jìn)行測量時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)結(jié)果得不到整數(shù)的情況。于是，漸漸就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。

3.自主表示分?jǐn)?shù)，抽象單位“1”

師剛才我們把1個(gè)計(jì)量單位平均分成了4份，表示出了3/4。你還想表示哪個(gè)分?jǐn)?shù)？請(qǐng)同學(xué)們寫出一個(gè)自己喜歡的分?jǐn)?shù)，然后用兩種不同的畫圖方法表示出你喜歡的分?jǐn)?shù)，并說說這個(gè)分?jǐn)?shù)的含義。

（學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)后交流。教師根據(jù)學(xué)生的回答板書：一個(gè)物體、多個(gè)物體。）

師這里，一個(gè)物體（一個(gè)計(jì)量單位）、多個(gè)物體組成的整體，都可以用一個(gè)自然數(shù)1來表示，通常叫作單位“1”。

從度量引出分?jǐn)?shù)，引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)知識(shí)，對(duì)分?jǐn)?shù)的價(jià)值形成更全面的認(rèn)識(shí)：分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的實(shí)際意義不僅僅是在分東西時(shí)，也可以是出于度量的需要。此外，從度量入手，更利于學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)單位的累加結(jié)果。單位“1”的抽象是教學(xué)的難點(diǎn)。這里實(shí)際上是兩次抽象：先讓學(xué)生用不同的方法表示同一個(gè)分?jǐn)?shù)，通過比較不同點(diǎn)，將平均分的對(duì)象分成“一個(gè)物體”和“多個(gè)物體”兩類;在此基礎(chǔ)上，完成第二次概括，抽象出單位“1”。

（三）概括分?jǐn)?shù)的意義

師說一說你寫的分?jǐn)?shù)把誰看作了單位“1”？

（學(xué)生回答。）

師用單位“1”說一說你所表示的分?jǐn)?shù)的意義。

（學(xué)生回答。）

師（出示圖3）把這些桃（8個(gè)桃）看成1，這些桃（涂色的6個(gè)桃）不足1，可以用34表示。那么2、3又如何表示呢？

（教師根據(jù)學(xué)生回答出示圖4。）

師（出示數(shù)軸）可以把0到1之間的長度看作單位“1”嗎？

生可以。

師要在數(shù)軸上確定分?jǐn)?shù)58的位置，先要找到哪個(gè)分?jǐn)?shù)？為什么？要確定35的位置呢？

（學(xué)生回答。）

師要找到一個(gè)分?jǐn)?shù)，先要找到表示1份的分?jǐn)?shù)，表示1份的分?jǐn)?shù)就是分?jǐn)?shù)單位。（出示練習(xí)：1.五年級(jí)1班學(xué)生中，會(huì)打乒乓球的占59;2.地球表面有71100被海洋覆蓋;3.一節(jié)課的時(shí)間是23小時(shí)）說一說這些題目中分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位是多少，各由幾個(gè)分?jǐn)?shù)單位組成。

（學(xué)生回答。）

師看，有了分?jǐn)?shù)，我們數(shù)家庭里就又增加了很多新的成員。（出示圖5）估一估，數(shù)軸上的點(diǎn)可以用哪個(gè)分?jǐn)?shù)表示？

（學(xué)生回答。）

師（出示圖6）數(shù)軸上的同一個(gè)點(diǎn)，為什么可以用不同的分?jǐn)?shù)表示？還可以用哪些分?jǐn)?shù)表示？

（學(xué)生回答。）

師有了分?jǐn)?shù)單位16，還可以數(shù)出哪些分?jǐn)?shù)？

生76。

師（出示圖7）可以一直數(shù)下去嗎？

生可以。

師這些分?jǐn)?shù)都是由一個(gè)個(gè)16加起來的，由這個(gè)單位可以生出多少個(gè)分?jǐn)?shù)？

生無數(shù)個(gè)。

師“道生一，一生二，二生三，三生萬物?！比f萬千千的分?jǐn)?shù)就是這樣產(chǎn)生的。

通過數(shù)形結(jié)合，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)單位“1”的理解，發(fā)現(xiàn)單位“1”是連接整數(shù)和分?jǐn)?shù)的紐帶。通過估一估，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)單位，即平均分的份數(shù)對(duì)分?jǐn)?shù)意義的重要作用。通過數(shù)一數(shù)，幫助學(xué)生體會(huì)單位累加，并延伸至假分?jǐn)?shù)，深刻理解分?jǐn)?shù)單位是構(gòu)成分?jǐn)?shù)的基本部件。

本課的教學(xué)試圖打通學(xué)生認(rèn)數(shù)的通道的“最后一公里”，建立完整、連續(xù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。首先，將認(rèn)數(shù)的教學(xué)置于計(jì)量的高觀點(diǎn)下，從定標(biāo)準(zhǔn)——單位“1”，到定單位——分?jǐn)?shù)單位，再到計(jì)個(gè)數(shù)——數(shù)單位，有效建立了整數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，凸顯了分?jǐn)?shù)作為一種數(shù)的本質(zhì)屬性。