把握度量本質(zhì)，認(rèn)識(shí)度量價(jià)值

董文彬

摘要：在分析教材的基礎(chǔ)上，由前測(cè)結(jié)果得到，《長方體的體積》一課的教學(xué)重在幫助學(xué)生把握度量本質(zhì)，認(rèn)識(shí)度量價(jià)值，從而發(fā)展度量意識(shí)。為此，需要引導(dǎo)學(xué)生利用體積單位（小正方體）度量長方體的體積，從而溝通體積與其他要素的聯(lián)系，得到長方體體積計(jì)算公式;還要引導(dǎo)學(xué)生比較長度、面積、體積的度量及計(jì)算（間接度量），建立小學(xué)數(shù)學(xué)圖形度量的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵詞：《長方體的體積》;度量本質(zhì);度量價(jià)值;度量意識(shí);知識(shí)結(jié)構(gòu)

一、教學(xué)思考

《長方體的體積》是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域度量內(nèi)容的核心課之一，也是學(xué)生在完成一維空間圖形長度度量和二維空間圖形面積度量的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)三維空間圖形體積度量的起始課，能為學(xué)生學(xué)習(xí)其他三維空間圖形體積的計(jì)算（間接度量）奠定基礎(chǔ)。

學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了體積和容積，建立了體積、容積的概念，理解了體積、容積的意義;同時(shí)，也認(rèn)識(shí)了體積、容積的計(jì)量單位，會(huì)進(jìn)行單位之間的換算，了解了1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的實(shí)際意義，發(fā)展了一定的量感。

對(duì)比人教、蘇教、北師大三版小學(xué)數(shù)學(xué)教材可以發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課的重點(diǎn)是，借助體積單位（小正方體）擺拼，探索長方體體積的計(jì)算公式（經(jīng)歷長方體體積計(jì)算公式的形成過程）。這能幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)度量的本質(zhì)是計(jì)量單位的累加，感受度量方法在計(jì)算公式推導(dǎo)中的作用。

課前，筆者對(duì)自己執(zhí)教的兩個(gè)平行班的學(xué)生做了前測(cè)。

對(duì)于“你認(rèn)為長方體的體積與什么有關(guān)”，702%的學(xué)生認(rèn)為與長、寬、高有關(guān)（追訪發(fā)現(xiàn)，這部分學(xué)生中，有500%是利用長方體體積計(jì)算公式解釋的，有333%是舉例解釋的，比如，紙摞起來，高變，體積就變）;135%的學(xué)生認(rèn)為與所占空間的大小有關(guān)，而沒有涉及長方體的要素;163%的學(xué)生認(rèn)為與面有關(guān)（追訪發(fā)現(xiàn)，這部分學(xué)生中，有333%認(rèn)為與底面積有關(guān)，有667%認(rèn)為與表面積有關(guān)，比如，表面積大，六個(gè)面就大，圍起來構(gòu)成的空間也大）?？梢姡鄶?shù)學(xué)生對(duì)長方體的三個(gè)維度有一定的感知，能自覺地關(guān)聯(lián)。

對(duì)于“長方體的體積怎么計(jì)算？說說道理”，89.2%的學(xué)生知道長方體體積計(jì)算公式，其中，833%的學(xué)生說不清楚道理，167%的學(xué)生利用“長乘寬是底面積，再乘高就是有多少個(gè)底面積”解釋;108%的學(xué)生不知道怎么計(jì)算?？梢?，雖然大部分學(xué)生知道長方體體積計(jì)算公式，但是幾乎沒有學(xué)生能夠正確解釋。

由前測(cè)結(jié)果可知，學(xué)生雖然有過一維長度和二維面積的度量經(jīng)驗(yàn)，而且學(xué)過體積的計(jì)量單位，但是依然不能很好地把握度量本質(zhì)、認(rèn)識(shí)度量價(jià)值，因而依然缺乏度量意識(shí)，不能在三維體積的度量情境中遷移上位的度量思想（所以不理解公式背后的道理）。因此，本節(jié)課的教學(xué)，重在幫助學(xué)生把握度量本質(zhì)，認(rèn)識(shí)度量價(jià)值，從而發(fā)展度量意識(shí)。為此，需要引導(dǎo)學(xué)生利用體積單位（小正方體）度量長方體的體積，從而溝通體積與其他要素的聯(lián)系，得到長方體體積計(jì)算公式;還要引導(dǎo)學(xué)生比較長度、面積、體積的度量及計(jì)算（間接度量），建立小學(xué)數(shù)學(xué)圖形度量的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

二、教學(xué)實(shí)踐

（一）了解已有知識(shí)，提出探究問題

師今天我們一起來學(xué)習(xí)長方體的體積。對(duì)于長方體的體積，你都有哪些了解？

生長方體的體積就是長方體所占空間的大小。

生長方體的體積可以通過長乘寬乘高來計(jì)算。

師長乘寬乘高可以計(jì)算出長方體的體積，這個(gè)方法你們都知道嗎？

（大部分學(xué)生舉起了手。）

師你們都已經(jīng)知道怎么計(jì)算長方體的體積了，那你們這節(jié)課還想知道些什么？或者還想研究些什么？

生為什么長方體的體積可以用長乘寬乘高來計(jì)算？

生長方體的體積等于長乘寬乘高，背后的道理是什么？

師你們提出的其實(shí)是同一個(gè)問題。這個(gè)問題很有價(jià)值，也很有挑戰(zhàn)性。下面，我們就來探索解決這個(gè)問題。

[設(shè)計(jì)意圖：開門見山，揭示主題。了解學(xué)生的已有知識(shí)后，引導(dǎo)學(xué)生提出有價(jià)值、有挑戰(zhàn)性的問題，引發(fā)本節(jié)課的數(shù)學(xué)探究。]

（二）估測(cè)氣球的體積，激活體積度量經(jīng)驗(yàn)

師（拿出一個(gè)未吹氣的氣球）請(qǐng)你根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，估一估這個(gè)氣球的體積大約是多大，說一說你是怎么估的。

生我估計(jì)它的體積大約有2立方厘米，因?yàn)檫@個(gè)氣球是癟的，把它團(tuán)在一起，大約有2粒花生米那么大。

生我估測(cè)它的體積應(yīng)該有3立方厘米，我的想法也是想象把它揉在一起，但我感覺它應(yīng)該有3個(gè)1立方厘米的小正方體那么大。

（教師請(qǐng)一名學(xué)生給氣球吹氣。）

師現(xiàn)在它的體積大約是多大呢？

生我猜現(xiàn)在它的體積有1立方分米，大約是1個(gè)粉筆盒那么大。

（教師請(qǐng)學(xué)生繼續(xù)給氣球吹氣。）

師現(xiàn)在它的體積大約又是多大呢？

生現(xiàn)在它的體積應(yīng)該是2立方分米，大約有2個(gè)粉筆盒那么大。

生我覺得應(yīng)該有2.5立方分米，用1立方分米的正方體模型做比對(duì)，現(xiàn)在氣球應(yīng)該有2個(gè)半模型那么大。

師無論前面估的幾立方厘米，還是后面估的幾立方分米，實(shí)際上都是在用這個(gè)氣球和1立方厘米或1立方分米的體積單位進(jìn)行比較，有多少個(gè)1立方厘米（分米），它的體積就是多少立方厘米（分米）。

[設(shè)計(jì)意圖：在估計(jì)氣球這樣不規(guī)則物體體積的過程中，學(xué)生借助1立方厘米、1立方分米的正方體做參照，發(fā)展了量感;同時(shí)，回顧體積和體積單位知識(shí)，激活體積度量經(jīng)驗(yàn)，為后面的研究做鋪墊。]

（三）實(shí)測(cè)長方體紙盒的體積，探索體積計(jì)算公式

師（出示大約250毫升牛奶盒大小的長方體紙盒）它的體積大約是多少呢？每個(gè)小組有一個(gè)塑料筐，里面有若干1立方厘米的小正方體。你覺得多少個(gè)小正方體能表示出這個(gè)長方體紙盒的體積，就抓出多少個(gè)小正方體。

（學(xué)生估測(cè)長方體紙盒的體積，根據(jù)估測(cè)結(jié)果抓取大致數(shù)量的小正方體。）

師估測(cè)得到的結(jié)果總是不夠準(zhǔn)確，不能讓人信服。這回我們來實(shí)測(cè)一下。小組分工合作，共同完成任務(wù)：用筐里的小正方體表示長方體紙盒的體積（紙盒的厚度忽略不計(jì)）。

（學(xué)生小組操作、測(cè)量后，全班展示、交流。）

生（組1代表展示擺拼結(jié)果，如圖1所示）我們用小正方體比對(duì)著長方體紙盒擺拼出和它一樣大的長方體，數(shù)出小正方體（也就是體積單位）的個(gè)數(shù)是240：一層是10×6=60（個(gè)），總共擺了4層，總數(shù)就是60×4=240（個(gè)）。因?yàn)槊總€(gè)小正方體是1立方厘米，所以我們認(rèn)為，長方體紙盒的體積是240立方厘米。大家同意我們的想法嗎？

生（組2代表）我們的最終結(jié)果和你們一樣，也是240立方厘米，但是，我們表示這個(gè)長方體體積的過程和你們不太一樣。

師有新的表示方法！快和大家分享一下。

生（組2代表展示擺拼結(jié)果，如圖2所示）我們是這樣表示的。我們先在紙盒里擺滿一層，擺這層的時(shí)候，先沿著長方體的長擺一行，是10個(gè)，然后共擺了這樣的6行，這樣底下這一層就是10×6=60（個(gè)）。我們接著往上擺，擺著擺著，我們發(fā)現(xiàn)，用不著全擺滿，因?yàn)檫@個(gè)紙盒正好能擺這樣的4層，一層擺60個(gè)，4層就是60×4=240（個(gè)）。所以，長方體紙盒的體積就是240立方厘米。大家有什么問題嗎？

生（組3代表）我們贊成你們的方法，其實(shí)我們組跟你們組差不多，也是不全擺滿。（展示擺拼結(jié)果，如圖3所示）我們組擺完是這樣的，列式計(jì)算是10×6×4=240（個(gè)）。大家能看懂我們的方法嗎？

生我看懂了。其實(shí)，你們兩個(gè)組表示的方法基本上是一樣的，都沒擺滿。因?yàn)閿[出一部分之后就用不著再擺下去，能算出體積單位的個(gè)數(shù)了。這樣省了很多力氣！

生（組4代表）我們組也沒有全擺滿。（展示擺拼結(jié)果，如圖4所示）我們是這樣擺的：也先在盒子底部擺滿一層，是10×6=60（個(gè)），然后直接在盒子的拐角處往上連續(xù)擺3個(gè)。這樣就能計(jì)算出擺滿時(shí)小正方體的總數(shù)是60×4=240（個(gè)），所以體積就是240立方厘米。

生我覺得，你們組和前面兩個(gè)組的表示方法差不多，但是你們組擺得更加清楚：擺滿一層之后再連續(xù)擺3個(gè)，其他多余的一個(gè)都不用擺，就完全能說明這個(gè)長方體紙盒能擺這樣的4層，就可以計(jì)算出小正方體的總數(shù)了。

生他們只擺出底面一層和高的個(gè)數(shù)，就可以算出體積單位的總數(shù)了。這既簡便，又清楚！

（學(xué)生自發(fā)鼓掌。）

生（組5代表）我們組還有更簡便的表示方法。

師快來和大家交流一下！

生（組5代表展示擺拼結(jié)果，如圖5所示）我們組是這樣表示的。我們不解釋，大家能看懂嗎？

生我看懂了，他們組只擺出長、寬、高的個(gè)數(shù)，這樣就可以計(jì)算出體積單位的總數(shù)了：10×6×4=240（個(gè)）。

生只要分別沿著長方體盒子的長、寬、高擺小正方體就可以了。沿長擺10個(gè)，沿寬擺6個(gè)，就能算出一層是10×6=60（個(gè)）;沿高擺4個(gè)，就表示一共能擺4層，總數(shù)就是60×4=240（個(gè)）。他們這樣表示確實(shí)更簡便！

（學(xué)生自發(fā)鼓掌。）

師剛剛我們一起交流了這么多種用小正方體擺拼表示長方體紙盒體積的方法。縱觀這五種方法，你發(fā)現(xiàn)了什么？不同表示方法的背后有沒有共同之處？

生我發(fā)現(xiàn)，都是擺放作為體積單位的小正方體來表示長方體紙盒的體積的。

生雖然表示方法不同，但是最終通過計(jì)算得出用到的小正方體個(gè)數(shù)都是240，說明長方體的體積就是240立方厘米。

生我發(fā)現(xiàn)，這幾種表示方法在計(jì)算小正方體總數(shù)時(shí)的算式都是10×6×4=240（個(gè)），都是用長方體的長乘寬乘高。

師哎？還真是如此！那么大家認(rèn)真想一想：為什么會(huì)這樣呢？為什么用長乘寬乘高就能得到小正方體的總數(shù)，也就是長方體的體積呢？長方體的長、寬、高與小正方體的總數(shù)之間是不是存在著一定的關(guān)系？是什么關(guān)系呢？

生我知道了！（指著組1的擺拼結(jié)果）大家看啊，長方體的長對(duì)應(yīng)的是這一行的個(gè)數(shù)，長方體的寬就是這一層的行數(shù)，那么長方體的長乘寬就是這一層中一行的個(gè)數(shù)乘行數(shù)，也就算出了一層的個(gè)數(shù);長方體的高就是層數(shù)，用一層的個(gè)數(shù)乘層數(shù)，對(duì)應(yīng)的就是長乘寬之后再乘高，計(jì)算得出的就是小正方體的總數(shù)，也就是這個(gè)長方體的體積。

生小正方體擺拼的行、列和層，也就是一行的個(gè)數(shù)、行數(shù)和層數(shù)，對(duì)應(yīng)的分別就是長方體的長、寬和高，它們相乘就能得出小正方體的總數(shù)，也就是長方體的體積。

師你們理解得很透徹！現(xiàn)在大家假想一下：如果不用這些1立方厘米的小正方體擺拼表示，你能直接算出這個(gè)長方體的體積嗎？

生能，只要知道長方體的長、寬、高，相乘就可以了。長、寬、高分別是10厘米、6厘米和4厘米，那么體積就是10×6×4=240（立方厘米）。

生我終于明白長方體的體積公式為什么是長乘寬乘高了！長、寬、高在這里都有各自的含義，也就是分別對(duì)應(yīng)著一行的個(gè)數(shù)、行數(shù)和層數(shù)，三者相乘是為了計(jì)算出作為體積單位的小正方體的總數(shù)，也就是長方體的體積。

師（課件出示圖6）這么容易就能算出長方體的體積，那我們還利用小正方體體積單位又?jǐn)[又拼又?jǐn)?shù)的，有用嗎？

生有用，數(shù)體積單位的個(gè)數(shù)這種方法還可以用來測(cè)量形狀不規(guī)則的物體的體積。

生數(shù)體積單位的個(gè)數(shù)是最基本的體積測(cè)量方法，是體積計(jì)算公式的基礎(chǔ)。我們不能因?yàn)橛辛撕唵蔚墓?，就忘了基本的方法，還有很多情況是沒有簡單的公式的，而可以用基本的方法。

師你們說得真好！我們已經(jīng)獲得了長方體體積的計(jì)算公式，那么正方體的體積又該怎么計(jì)算呢？

……

師你能用字母簡化表示這兩個(gè)公式嗎？

……

師你們很善于推理，還很很好的符號(hào)意識(shí)，真了不起！

[設(shè)計(jì)意圖：將學(xué)生帶回度量認(rèn)知的原點(diǎn)，讓學(xué)生用體積單位（小正方體）表示長方體的體積，經(jīng)歷擺拼、數(shù)算體積單位的過程，發(fā)現(xiàn)長方體體積計(jì)算公式實(shí)際上就是數(shù)算體積單位的結(jié)果，幫助學(xué)生把握度量本質(zhì)，認(rèn)識(shí)度量價(jià)值，從而發(fā)展度量意識(shí)。]

（四）比較多維度量，建立知識(shí)結(jié)構(gòu)

師（課件演示長度、面積、體積的度量及計(jì)算過程，定格于圖7）從一維長度到二維面積再到三維體積，你對(duì)圖形的度量及計(jì)算有了哪些新的認(rèn)識(shí)？

生我發(fā)現(xiàn)，從長度測(cè)量到面積測(cè)量再到體積測(cè)量，它們都有各自的單位。

生我發(fā)現(xiàn)，測(cè)量的過程都是在數(shù)單位的個(gè)數(shù)，面積公式、體積公式都是在計(jì)算單位的個(gè)數(shù);有多少個(gè)相應(yīng)的單位，長度、面積、體積就分別是多少。

[設(shè)計(jì)意圖：從長度到面積再到體積，在比較中，幫助學(xué)生進(jìn)一步把握度量本質(zhì)，認(rèn)識(shí)度量價(jià)值，整體建立小學(xué)數(shù)學(xué)圖形度量的知識(shí)結(jié)構(gòu)。]