韋氏擺的彈性力學(xué)分析：圓柱螺旋彈簧模型的特色推導(dǎo)與驗(yàn)證

劉天恒，曹博星，張福林

(天津大學(xué) 理學(xué)院，天津 300350)

韋氏擺又稱威爾伯福斯擺，由豎直懸掛的圓柱螺旋彈簧和固連在彈簧末端的物塊組成.物塊有兩個(gè)廣義坐標(biāo)：在豎直方向偏離平衡位置的位移z，繞豎直軸偏離平衡位置的角位移φ，如圖1所示.系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)，若系統(tǒng)參量處于一定范圍，可以明顯地觀察到物塊的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能發(fā)生周期性轉(zhuǎn)化.

圖1 韋氏擺示意圖[3]

韋氏擺是中學(xué)、大學(xué)物理教學(xué)中經(jīng)典的演示實(shí)驗(yàn)，目前，文獻(xiàn)[1]、[2]給出了系統(tǒng)唯象的拉格朗日函數(shù)模型，描述了耦合的線性特征，測量了唯象系數(shù)和耦合現(xiàn)象的拍頻周期，基本驗(yàn)證了唯象理論的正確性.

但是，前述模型的唯象參數(shù)并非是通過系統(tǒng)的物理模型推導(dǎo)得出.因此，本文建立了圓柱螺旋彈簧的彈性力學(xué)模型，分析了彈簧鋼材料參數(shù)(楊氏模量，剪切模量)和系統(tǒng)幾何參量(彈簧線徑，軸半徑，物塊質(zhì)量等)對彈性勢能的影響，給出了圓柱螺旋彈簧彈性勢能的解析解，得到了由基本參量描述的唯象參數(shù).本文的彈性力學(xué)分析可以簡潔且精確地描述圓柱螺旋彈簧的力學(xué)性質(zhì)，同時(shí)，其方法也可以推廣應(yīng)用于其他均質(zhì)彈簧的計(jì)算.

1 唯象模型

本節(jié)分析韋氏擺的唯象模型，在小振動(dòng)的情況下，系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)可表示為[1]

(1)

其中K是彈簧的勁度系數(shù)，D是彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù)，λ是系統(tǒng)的能量與兩個(gè)廣義坐標(biāo)的耦合相關(guān)的系數(shù)，m、J是與系統(tǒng)動(dòng)能相關(guān)的唯象系數(shù)，它們分別是系統(tǒng)豎直方向運(yùn)動(dòng)的等效質(zhì)量和水平方向轉(zhuǎn)動(dòng)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.根據(jù)參考文獻(xiàn)[2]，系統(tǒng)的簡正坐標(biāo)為

(2)

其中

系統(tǒng)的兩個(gè)特征頻率Ω1、Ω2分別為

(3)

為了更清楚地看到系統(tǒng)的能量轉(zhuǎn)化現(xiàn)象，取Γ為系統(tǒng)的兩個(gè)特征頻率差值的一半，即Ω1=Ω+Γ，Ω2=Ω-Γ，調(diào)幅函數(shù)為

(4)

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(5)

其中，A1、A2是系統(tǒng)簡正坐標(biāo)的振幅，相位為

根據(jù)式(5)，若Γ<<Ω，系統(tǒng)在z、φ方向的振動(dòng)可視為是一個(gè)頻率為Ω的快振動(dòng)被函數(shù)Bz(t)、Cφ(t)以較慢的頻率2Γ調(diào)幅的結(jié)果，即為耦合現(xiàn)象.

2 彈性力學(xué)分析

拉格朗日函數(shù)中的K、D、λ取決于彈簧的材料參量和幾何參量.下文通過彈性力學(xué)分析，給出它們的解析解.

2.1 彈性力學(xué)模型

圖2 彈簧模型示意圖

如圖1所示，取系統(tǒng)處在平衡位置時(shí),彈簧軸線的最低點(diǎn)所在的水平面，與彈簧豎直軸線相交的點(diǎn)為原點(diǎn)O, 構(gòu)造Oxyz直角坐標(biāo)系，其中x軸的正方向指向彈簧軸線的最低點(diǎn),z軸的正方向豎直向上(如圖2)，并在該坐標(biāo)系中構(gòu)造參數(shù)方程為

(6)

的圓柱螺旋線(圖2中黑實(shí)線)，θ是用以確定圓柱螺旋線上某一點(diǎn)的變量，圖中僅標(biāo)注出了[0,φ]中的一個(gè)點(diǎn)作為示意.記曲線上坐標(biāo)為(x(θ),y(θ),z(θ))的點(diǎn)為P(θ)，以其為原點(diǎn)，建立自然坐標(biāo)系.en(θ)為曲線在P(θ)點(diǎn)法向單位矢量；eτ(θ)為曲線在P(θ)點(diǎn)的切向單位矢量；eb(θ)為曲線在P(θ)點(diǎn)的副法向單位矢量.

en=(-cosθ,-sinθ,0)，

將楊氏模量為Y，剪切模量為G的材料均勻填充在空間區(qū)域(圖2陰影區(qū)域)，有

(7)

即可得到幾何參量如上的圓柱螺旋彈簧.假設(shè)彈簧的材料是線性的，那么懸掛物塊后處于平衡位置的彈簧與相同尺寸的空載彈簧是等價(jià)的，下文以該模型分析在平衡位置的彈簧是合理的.

記k為式(6)所描述的曲線的曲率，t為曲線的撓率，L為曲線的長度.顯然，彈簧的長度為L.對照廣義坐標(biāo)的定義，若取z軸為豎直方向，則z=-ΔH，φ=Δφ.當(dāng)物塊的廣義坐標(biāo)變化時(shí)，彈簧中的一段彈簧絲會(huì)產(chǎn)生以下三種基本的形變：垂直軸線的彎折，沿軸線的拉伸壓縮，繞軸線的扭轉(zhuǎn).它們與材料的主應(yīng)變和剪應(yīng)變有關(guān).以下將討論這兩種應(yīng)變對彈性勢能的貢獻(xiàn).

在下文的彈性力學(xué)分析中，假設(shè)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中始終滿足條件：

(8)

其中ρm為金屬材料密度.系統(tǒng)參數(shù)滿足式(8)，意味著彈簧絲中的一維應(yīng)力波波長遠(yuǎn)大于彈簧絲長度，可認(rèn)為此時(shí)應(yīng)力和應(yīng)變沿軸線方向均勻分布，彈簧絲軸線始終為圓柱螺旋線.

2.2 材料剪應(yīng)變的應(yīng)變能

圖3 應(yīng)變能計(jì)算圖解

本節(jié)討論剪應(yīng)變的應(yīng)變能對彈性勢能的貢獻(xiàn).如圖3所示，任取一個(gè)θ∈(0,φ),考慮圖2中一段長度為l(l<

en(θ′)=en(θ)

(9)

eb(θ′)=eb(θ)

(10)

同時(shí)，根據(jù)應(yīng)變的對稱性，en(θ)、eb(θ)所在的坐標(biāo)平面內(nèi)的剪應(yīng)變方向可認(rèn)為是沿以O(shè)(θ)為圓心的圓周分布的，所以，對于被各en(θ)、eb(θ)所在平面截得的面積元dSθ的坐標(biāo)都為en(θ)-eb(θ)的柱形微元[如圖3所示,en是en(θ)軸的坐標(biāo)值，eb是eb(θ)軸的坐標(biāo)值]，其剪應(yīng)力大小可認(rèn)為僅與微元自身的參量和參量變化有關(guān)，可作為計(jì)算應(yīng)變能的獨(dú)立微元.微元的長度為

(11)

ln=l(1-ken)

(12)

為推導(dǎo)簡便，下文推導(dǎo)僅采用近似式(12)，其精度已經(jīng)足夠高.

撓率的絕對值度量了曲線上鄰近兩點(diǎn)的副法向量之間的夾角對曲線弧長的變化率，如圖3所示，考慮式(9)、、式(10),彈簧參數(shù)的應(yīng)變等效于該段彈簧絲扭轉(zhuǎn)Δ(tl)的角度.認(rèn)為應(yīng)力沿軸線均勻分布，彈簧絲軸線始終呈圓柱螺旋線.忽略高階小量，微元對應(yīng)的應(yīng)變能為

(13)

單位長度彈簧絲剪應(yīng)變的應(yīng)變能為

(14)

2.3 材料主應(yīng)變的應(yīng)變能

本節(jié)討論主應(yīng)變的應(yīng)變能對彈性勢能的貢獻(xiàn).如圖3所示，考慮圖2中一段長度為l(l<

認(rèn)為應(yīng)力沿軸線均勻分布，彈簧絲軸線始終呈圓柱螺旋線，微元對應(yīng)的應(yīng)變能為

(15)

注意到en(θ′)=en(θ)，單位長度彈簧絲主應(yīng)變的應(yīng)變能與參量應(yīng)變量的關(guān)系為

(16)

積分區(qū)域如上節(jié)，有

2.4 總彈性勢能與分析

本節(jié)給出彈簧彈性勢能的解析解，根據(jù)參數(shù)方程(6)，系統(tǒng)參量的幾何約束關(guān)系為

(φR)2+H2=L2

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

聯(lián)立式(12)、式(17)、式(18)、式(19)、式(20)，以彈簧絲長度的應(yīng)變量的解作為該約束關(guān)系，結(jié)果為

(22)

式(21)意味著，如果只考慮主應(yīng)變，那么彈簧絲內(nèi)部必定存在一個(gè)主應(yīng)力為0的范圍，稱為中性層，其內(nèi)部Δln=0，這一范圍可表示為

(23)

根據(jù)上文分析，剪應(yīng)力和主應(yīng)力方向正交，假定構(gòu)成彈簧絲的金屬材料是線性的，則彈性勢能E為剪應(yīng)變和主應(yīng)變產(chǎn)生的應(yīng)變能的總和.

E=(EG+EY)L=

(24)

(25)

舍去三個(gè)數(shù)量級以上的小量.注意到廣義坐標(biāo)z、φ就是-ΔH、Δφ，系統(tǒng)勢能：

(26)

上式中各參量取懸掛物塊后系統(tǒng)處在平衡位置時(shí)的值，拉格朗日函數(shù)可得.考慮式(22)，可知彈簧絲長度L的應(yīng)變完全可略.

(27)

(28)

其中m1是物塊質(zhì)量，m2是彈簧質(zhì)量，J0是物塊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

唯象系數(shù)K、D、λ的解析解為：

(29)

(30)

(31)

其中K為彈簧的勁度系數(shù)，D為彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù)，λ是彈簧耦合的相關(guān)系數(shù)，定量描述了應(yīng)變能關(guān)于拉伸形變、扭轉(zhuǎn)形變的耦合強(qiáng)度.考慮小振動(dòng)的對稱性，上述解析解中的參量取懸掛物塊后系統(tǒng)處在平衡位置時(shí)的值.

在圓柱螺旋彈簧的彈簧絲軸線上，撓率、曲率處處相等，它們與線徑d的乘積相對1來說都為小量.這一幾何結(jié)構(gòu)的高度對稱性使系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)也表現(xiàn)出高度的對稱性.即系統(tǒng)做小振動(dòng)時(shí)，剪應(yīng)變的應(yīng)變能幾乎完全受撓率的應(yīng)變影響，主應(yīng)變的應(yīng)變能幾乎完全受曲率的應(yīng)變影響，剪變模量G、楊氏模量Y在唯象系數(shù)式(29)、式(30)、式(31)中對稱的數(shù)學(xué)地位也表現(xiàn)出了這一高度的對稱性.

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

文獻(xiàn)[1]、[2]驗(yàn)證了韋氏擺的唯象理論和動(dòng)力學(xué)理論，故本文只需驗(yàn)證彈簧理論的正確性.文獻(xiàn)[7]給出了K和D的解析解，它們與上文的式(29)和式(30)僅相差高階小量，這一小量在本文的實(shí)驗(yàn)條件式(25)下已遠(yuǎn)小于實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差.所以，本文只驗(yàn)證λ的解析解式(31)的正確性.

3.1 實(shí)驗(yàn)原理

若系統(tǒng)在φ這一自由度上不受外力矩，即

(32)

系統(tǒng)處在平衡位置時(shí)，參數(shù)滿足

(33)

條件式(32)可通過僅在彈簧下端懸掛重物來簡單實(shí)現(xiàn).測得特定彈簧發(fā)生位移z時(shí)平衡位置的角位移φ，再通過式(30)計(jì)算D(各參數(shù)根據(jù)廠家所給出的參數(shù)計(jì)算)，就可以根據(jù)式(33)計(jì)算λ，將這一結(jié)果與理論值式(31)比較，即可檢驗(yàn)λ的正確性.

3.2 實(shí)驗(yàn)過程和結(jié)果

(a)實(shí)驗(yàn)支架示意圖 (b)測量儀器示意圖圖4 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

圖4所示為實(shí)驗(yàn)裝置，上方平臺(tái)通過水平泡調(diào)節(jié)水平，彈簧上端與金屬桿固連(圖上連接點(diǎn)伸出平臺(tái)較遠(yuǎn)，僅為展示)，下端與傳感器固連，傳感器內(nèi)置一個(gè)9軸陀螺儀芯片且?guī)o線傳輸功能.實(shí)驗(yàn)時(shí)，在砝碼盤中添加砝碼，位移z可由刻度尺測得，角位移φ通過對傳感器連續(xù)測得的角度取均值得到.彈簧參數(shù)如表1所示，聯(lián)立表2中D的理論值，根據(jù)式(31)計(jì)算λ，其計(jì)算結(jié)果和百分差記錄于表3、表4中.

表1 彈簧參數(shù)列表(材質(zhì)：65 Mn鋼)

表2 彈性系數(shù)解析解的理論值

表3 彈簧a實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

表4 彈簧b實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

對所得的λ在-z-λ圖像上描點(diǎn)，與解析解式(31)(列于表2)比較，如圖5所示.

圖5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果對照圖

3.3 誤差分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)論

z和φ的A類不確定度采用逐差法計(jì)算，B類不確定度Δz=1 mm，Δφ=10-4rad.D的合成相對不確定度取文獻(xiàn)[10]用扭擺法給出的最大值0.28%.

彈簧a彈性系數(shù)λ的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度[11]為

ua=2.6×10-5kg·m·s-2(P=95%)

(34)

其實(shí)驗(yàn)結(jié)果為

λa=(2.81±0.26)×10-4kg·m·s-2

(35)

彈簧b彈性系數(shù)λ的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

ub=2.2×10-5kg·m·s-2(P=95%)

(36)

其實(shí)驗(yàn)結(jié)果為

λb=(1.84±0.22)×10-4kg·m·s-2

(37)

4 結(jié)論

本文采用了文獻(xiàn)中韋氏擺系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)唯象模型，建立了圓柱拉伸彈簧模型，從彈性力學(xué)角度出發(fā)給出了彈簧參數(shù)的應(yīng)變和3個(gè)彈性系數(shù)的解析解.在條件式(24)下，本文通過文獻(xiàn)結(jié)果驗(yàn)證了K、D的解析解，實(shí)驗(yàn)部分檢驗(yàn)了彈性力學(xué)推導(dǎo)的正確性.該推導(dǎo)方法揭示了系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)中唯象系數(shù)的物理意義，是分析實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，并完整地從理論角度解決一個(gè)物理問題的恰當(dāng)實(shí)例.本文的彈性力學(xué)分析方法具有一定普遍性，同時(shí)簡潔直觀地對圓柱螺旋彈簧彈性系數(shù)的數(shù)學(xué)物理背景給出了明確的表述.