“三學(xué)”課堂中強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維的教學(xué)實(shí)踐
——以《二次函數(shù)》第一課時(shí)為例

包 麗

（南通市啟秀中學(xué) 江蘇 南通 226000）

1.教學(xué)目標(biāo)

1.1 創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生分析并建立兩個(gè)變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，通過類比歸納出二次函數(shù)有關(guān)概念。

1.2 引導(dǎo)學(xué)生研究、分析函數(shù)y=ax2的解析式、兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)值表，結(jié)合“描點(diǎn)法”畫圖象，幫助學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)二次函數(shù)圖象特征和函性質(zhì)，讓學(xué)生充分體驗(yàn)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。

2.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

二次函數(shù)y=ax2的圖象特征及性質(zhì)。

3.教學(xué)過程

3.1 利用實(shí)例，分析變量間的關(guān)系，幫助學(xué)生自主生成二次函數(shù)的定義及有關(guān)概念

3.1.1 引例

（1）汽車油箱中原有汽油50升，如果行駛中每小時(shí)用油5升，求油箱中的油量y與行駛時(shí)間x的關(guān)系.y=-5x+50.

（2）正方體的棱長為x，表面積為y，求y與x的關(guān)系.y=6x2.

（3）n個(gè)球隊(duì)參加比賽，每兩隊(duì)之間進(jìn)行一場比賽.比賽的場次m與球隊(duì)數(shù)n有什么關(guān)系？，即.

（4）某工廠今年的產(chǎn)量是20件，預(yù)計(jì)今后兩年每年的增長率為x，那么兩年后這種產(chǎn)品產(chǎn)量y與x有什么關(guān)系？y=20(1+x)2，即y=20x2+40x+20.

3.1.2 二次函數(shù)定義和有關(guān)概念

第一個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，由此復(fù)習(xí)回顧一次函數(shù)的定義及有關(guān)知識(shí)。引導(dǎo)學(xué)生觀察后三個(gè)函數(shù)有什么共同特點(diǎn)。學(xué)生思考可以發(fā)現(xiàn)：這三個(gè)函數(shù)都是用自變量的二次式表示的，并猜想像這樣的函數(shù)叫做二次函數(shù)。由此得到二次函數(shù)的定義。學(xué)生由一次函數(shù)的知識(shí)遷移得到二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)。其中a，b，c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩種函數(shù)都是形式定義。

設(shè)計(jì)意圖：這部分充分利用教材中三個(gè)二次函數(shù)模型，添加了一個(gè)一次函數(shù)模型，目的是抓住本節(jié)的研究重點(diǎn)，避免分散學(xué)生的注意力，這樣更有利于培養(yǎng)學(xué)生抓住關(guān)鍵問題、關(guān)鍵環(huán)節(jié)的思維習(xí)慣。這一教學(xué)環(huán)節(jié)的研究重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生順利找到變量間的關(guān)系，回憶函數(shù)及一次函數(shù)的定義，并由一次函數(shù)的基本概念遷移到二次函數(shù)的基本概念。利用這幾個(gè)引例，學(xué)生可以自主生成新知，提高學(xué)習(xí)效率，最終激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。

3.2 通過對(duì)二次函數(shù)y=ax2解析式特征和變量對(duì)應(yīng)值表的分析、描點(diǎn)畫圖,建構(gòu)二次函數(shù)y=ax2的圖象特征和性質(zhì)

根據(jù)定義，教師引導(dǎo)學(xué)生思考a為什么不等于0，b、c是否可以等于0,從而強(qiáng)化二次函數(shù)的定義。教師提出當(dāng)b、c同時(shí)為0時(shí)，二次函數(shù)即y=ax2，a可以取0以外的任意實(shí)數(shù)，最簡單的就是a=0的情形。研究問題可以從最簡單的情形開始，因此研究二次函數(shù)也可以從最簡單的y=x2入手。

3.2.1 分析y=x2的解析式

（1）自變量x的取值范圍是什么？x為任意實(shí)數(shù).

（2）函數(shù)值y的取值范圍是什么？非負(fù)實(shí)數(shù).

（3）從函數(shù)解析式的特征來看，猜想函數(shù)的圖象有什么特征？如果學(xué)生有困難，教師可以給出提示：圖象一定過哪個(gè)點(diǎn)？圖象大致在什么位置？（圖象過原點(diǎn)，除了原點(diǎn)以外，圖象都在x軸上方.）

3.2.2 分析變量對(duì)應(yīng)值表

從變量對(duì)應(yīng)值表的特點(diǎn)猜想圖象的特征.（對(duì)稱性）

學(xué)生的猜想是否正確，二次函數(shù)圖象是什么，需要學(xué)生通過描點(diǎn)畫圖來觀察驗(yàn)證。

3.2.3 描點(diǎn)畫圖

描點(diǎn)畫圖得出一條曲線.這條曲線和投籃時(shí)球所經(jīng)過的路線類似，所以就叫做拋物線.實(shí)際上，二次函數(shù)的圖象都是拋物線.學(xué)生通過觀察圖象分析函數(shù)y=x2的圖象特征與性質(zhì).教師引導(dǎo)學(xué)生從拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、拋物線的頂點(diǎn)、函數(shù)的最值、函數(shù)的增減性等方面進(jìn)行研究、總結(jié)。

隨后學(xué)生再在同一平面直角坐標(biāo)系中畫函數(shù)y=-x2的圖象，并把它與y=x2的圖象進(jìn)行比較。學(xué)生畫圖后可以發(fā)現(xiàn)：函數(shù)y=-x2的圖象開口向下，對(duì)稱軸也是y軸，拋物線的頂點(diǎn)是（0，0），函數(shù)y=-x2的圖象與y=x2的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱。

3.2.4 總結(jié)概括函數(shù)的性質(zhì)

從開口、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、最值、增減性等方面列表總結(jié)。

設(shè)計(jì)意圖：從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)解析式、兩變量的對(duì)應(yīng)值表分析、猜想函數(shù)的圖象與性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力.再利用“描點(diǎn)法”畫圖驗(yàn)證猜想，幫助學(xué)生自主建構(gòu)二次函數(shù)y=ax2的函數(shù)圖象與性質(zhì).課程設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)從“數(shù)”到“形”，再從“形”到“數(shù)”的過程，有利于幫助學(xué)生強(qiáng)化“數(shù)形結(jié)合”的思想，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象及直觀想象能力。

3.3 練、議，深化對(duì)二次函數(shù)定義、圖象及其性質(zhì)的認(rèn)識(shí)

3.3.1 說出下列拋物線的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、最值及增減性：

y=3x2；y=-3x2；；.

設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要手段，能深化學(xué)生對(duì)新知的理解和吸收。第1題加深學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。 第2題涵蓋了本堂課的所有知識(shí)內(nèi)容。教師還可以根據(jù)學(xué)生情況增加本題難度，將（4）中的條件x1〉x2〉0去掉，直接讓學(xué)生討論得出答案，這樣能引導(dǎo)學(xué)生充分理解二次函數(shù)的增減性。設(shè)置這組練習(xí)的目的是訓(xùn)練學(xué)生舉一反三的能力。

3.4 師生共同總結(jié)

3.4.1 本節(jié)課研究了什么內(nèi)容？

3.4.2 如何分析得到函數(shù)y=ax2（a≠0）的函數(shù)圖象及其性質(zhì)？

3.4.3 通過這堂課，掌握了哪些研究問題的方法，有什么收獲？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)及思想方法。這是學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的再認(rèn)識(shí)過程，通過總結(jié)能幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握知識(shí)，進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)思維能力，從而提升學(xué)習(xí)能力.在這個(gè)過程中，教師要著重重視提升學(xué)生“從一般到特殊”研究知識(shí)的能力，以及“從特殊到一般”解決問題的能力。

3.5 作業(yè)布置

3.5.1 必做題

（1）一個(gè)長方形的長是寬的2倍，寫出這個(gè)長方形的面積與寬之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）畫出函數(shù)y=4x2與的圖象并說出拋物線的開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)

3.5.2 選做題

在同一直角坐標(biāo)系中，畫出二次函數(shù)y=x2+1與y=x2-1的圖象，并思考這兩個(gè)函數(shù)的圖象與拋物線y=x2有什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：必做題用于復(fù)習(xí)本課內(nèi)容，并進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念、數(shù)學(xué)抽象能力。選做題可以作為學(xué)生掌握本課內(nèi)容基礎(chǔ)上的提升，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新能力。這樣的分層作業(yè)，在尊重學(xué)生的個(gè)體差異基礎(chǔ)上，讓不同的人有不同的收獲。

實(shí)踐反思：

最新版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)包括三個(gè)方面：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。在教學(xué)中，教師要挖掘教材的相關(guān)要素，依托“三學(xué)”課堂，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

（1）注重效率，學(xué)材再建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生逐步找到思考問題、分析問題、解決問題的方法、策略和路徑，逐步習(xí)慣用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界

“三學(xué)”課堂主張“學(xué)材再建構(gòu)”，知識(shí)內(nèi)容要源于教材，高于教材，活化教材。因此本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容與教材有一定幅度的調(diào)整。人教版教材第一課時(shí)是二次函數(shù)的基本概念，第二課時(shí)是二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì)。其實(shí)，此階段學(xué)生已經(jīng)有學(xué)習(xí)變量與函數(shù)、一次函數(shù)、二次三項(xiàng)式及一元二次方程等的經(jīng)驗(yàn)，只需要簡單復(fù)習(xí)舊知就可以幫助學(xué)生順利進(jìn)行知識(shí)遷移。因此，筆者將兩小節(jié)內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)籌涉及，重新整合相應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)。同時(shí)，通過選取一個(gè)一次函數(shù)模型問題及教材中的引例揭示來兩變量之間的關(guān)系，突出教學(xué)重點(diǎn)，幫助學(xué)生為知識(shí)遷移做好準(zhǔn)備。在這個(gè)過程中，教師重點(diǎn)要關(guān)注學(xué)生思考問題、分析問題、解決問題的方法、策略和路徑。

（2）基于主體，學(xué)法三結(jié)合,培養(yǎng)學(xué)生逐步形成觀察事物、探究結(jié)論、研究問題的方法和歸納表達(dá)的能力，逐步習(xí)慣用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界

“學(xué)法三結(jié)合”貫穿本課全過程，在個(gè)人學(xué)習(xí)、小組學(xué)習(xí)、全班學(xué)習(xí)中，幫助學(xué)生自主生成二次函數(shù)的定義及有關(guān)概念。在研究二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)時(shí)，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生探索新知識(shí)的科學(xué)思維：從解析式的特征開始觀察，猜想函數(shù)圖象的特征，再實(shí)際操作畫圖驗(yàn)證，最后歸納總結(jié)出二次函數(shù)的定義。在課堂教學(xué)中，教師注重培養(yǎng)學(xué)生觀察、研究、歸納等能力，而不是直接告知結(jié)論.同時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到這樣的學(xué)習(xí)研究方法在其他類型知識(shí)學(xué)習(xí)中也可以參考使用，從而實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生的學(xué)力教育目標(biāo)。這種基于學(xué)生為主體的“學(xué)法三結(jié)合”，就是讓學(xué)生在教與學(xué)的過程中用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，逐步養(yǎng)成學(xué)生養(yǎng)成從數(shù)學(xué)的角度觀察世界的習(xí)慣。

（3）加強(qiáng)引導(dǎo)，學(xué)程重生成，培養(yǎng)學(xué)生在思辨中總結(jié)歸納,提升學(xué)生對(duì)科學(xué)知識(shí)的熱情和積極的態(tài)度，逐步習(xí)慣用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界

這堂課的重點(diǎn)和難點(diǎn)都是二次函數(shù) 的圖象特征及性質(zhì).為了抓住重點(diǎn)突破難點(diǎn)，筆者精心設(shè)計(jì)了三個(gè)教學(xué)層次：首先，從最簡單的二次函數(shù)y=ax2入手，在教師的引導(dǎo)下學(xué)生研究了函數(shù)解析式、兩變量的對(duì)應(yīng)值表；然后，學(xué)生自己嘗試畫出函數(shù)圖象，總結(jié)函數(shù)y=x2的圖象特征和性質(zhì)；最后，分別畫出a=-1，a=2，a=的函數(shù)圖象，再由圖象總結(jié)概括二次函數(shù)y=ax2的圖象特征及性質(zhì)。整個(gè)教學(xué)過程充分體現(xiàn)“學(xué)程重生成”。教師精心創(chuàng)設(shè)問題情境，留給學(xué)生思考的空間，教學(xué)過程充分揭示獲取知識(shí)的思維過程，從而優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).教學(xué)中，學(xué)生不是被動(dòng)的接受知識(shí)，而是在自主探究、親自實(shí)踐、合作交流的氛圍中解決自己的困惑，并將學(xué)習(xí)的困惑及研究的成果用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)出來，與同學(xué)分享。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者?！叭龑W(xué)”課堂不僅能使學(xué)生感受到合作學(xué)習(xí)的快樂，更能培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和積極的態(tài)度，從而幫助學(xué)生逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的習(xí)慣，充分發(fā)展學(xué)生的學(xué)力。

學(xué)生數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成是一個(gè)長期的目標(biāo)，貫穿于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程?！叭龑W(xué)”課堂致力于“學(xué)材再建構(gòu)，學(xué)法三結(jié)合，學(xué)程重生成”，正是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的課堂?；凇叭龑W(xué)”課堂的教學(xué)活動(dòng)，能更有效地促進(jìn)學(xué)生掌握基本知識(shí)基本技能，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，幫助學(xué)生形成積極的情感態(tài)度和價(jià)值觀，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。