“額溫槍”中的銳角三角函數(shù)

夏乾冬

生活中處處有數(shù)學(xué)。新冠疫情暴發(fā)期間，用“額溫槍”進(jìn)行測(cè)溫大家一定不會(huì)陌生，其中也蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)知識(shí)。下面我們來(lái)看2021年江西省中考數(shù)學(xué)中一道以“用額溫槍測(cè)溫”為背景的銳角三角函數(shù)問(wèn)題。

圖1是疫情期間測(cè)溫員用“額溫槍”對(duì)小紅測(cè)溫時(shí)的實(shí)景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄BC與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直。量得胳膊MN=28cm，MB=42cm，肘關(guān)節(jié)M與槍身端點(diǎn)A之間的水平寬度為25.3cm（即MP的長(zhǎng)度），槍身BA=8.5cm。（參考數(shù)據(jù)：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，[2]≈1.414，[3]≈1.732）

問(wèn)題1：根據(jù)題目所給的信息，你能求出圖2中哪些角的度數(shù)呢？試一試。

【思路分析】圖中有7個(gè)角，分別是：∠FNM、∠GNM、∠BMN、∠BMP、∠ABC、∠BAP、∠APM，題目中沒(méi)有給出具體的度數(shù)，但由題意可知MP∥AB，MP⊥AP，可以得到∠BAP=∠APM=90°。結(jié)合條件，雖然給出了MN=28cm，但不知道M點(diǎn)到FG的距離，故求不出∠GNM的度數(shù)，自然也求不出∠FNM的度數(shù)。根據(jù)MN=28cm，MB=42cm，也求不出∠BMN的度數(shù)，但在四邊形ABMP中，MP=25.3cm，BA=8.5cm，MB=42cm，在圖3中，我們可以過(guò)點(diǎn)B作BH⊥MP構(gòu)造Rt△BMH，得到MH=25.3-8.5=16.8（cm），由MB=42cm可以求出cos∠BMH=[MHBM]=[16.842]=0.4，由cos66.4°≈0.40可以得到∠BMH=66.4°，由MP∥AB得到∠BMH+∠ABC=180°，所以∠ABC=180°-66.4°=113.6°。

問(wèn)題2：測(cè)溫時(shí)規(guī)定槍身端點(diǎn)A與額頭距離范圍為3～5cm。在圖2中，若測(cè)得∠BMN=68.6°，小紅與測(cè)溫員之間距離為50cm。問(wèn)此時(shí)槍身端點(diǎn)A與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說(shuō)明理由。（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

【思路分析】要說(shuō)明“是否在規(guī)定范圍內(nèi)”，就要求出點(diǎn)A到DE的距離。如圖4，作AK⊥DE于點(diǎn)K，即需要求出AK的長(zhǎng)度，然后，判斷AK的長(zhǎng)度是否在3～5cm，如果在，就符合;如果不在，就不符合。但是，根據(jù)所給條件，AK無(wú)法直接求。我們可以過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥DE于點(diǎn)Q，易證AK=PQ，這樣就把求AK的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化成求PQ的長(zhǎng)度。如何求PQ的長(zhǎng)度呢？根據(jù)小紅與測(cè)溫員之間距離為50cm，自然想到過(guò)點(diǎn)M作MR⊥FG于R，可知RQ=50cm，由MP=25.3cm得到RM+PQ=50-25.3=24.7（cm），所以，要求PQ，只要求出RM即可。根據(jù)題目所給條件∠BMN=68.6°以及問(wèn)題1中所得到的∠BMH=66.4°，可以得到∠NMR=45°。在Rt△MRN中，∠NMR=45°，NM=28，可以求得RM=[142]≈19.80（cm），由RM+PQ=24.7cm得到PQ≈4.9cm，即AK≈4.9cm。因?yàn)锳K的長(zhǎng)度在3～5cm，所以距離在規(guī)定范圍內(nèi)。

問(wèn)題3：當(dāng)測(cè)溫員用“額溫槍”對(duì)比小紅高的小麗測(cè)溫時(shí)，圖5中折線N—M'—B'—A'是其測(cè)量時(shí)的側(cè)面示意圖，此時(shí)，肘關(guān)節(jié)M'與槍身端點(diǎn)A'之間的水平寬度為29.5cm（即M'P'的長(zhǎng)度），測(cè)得∠B'M'N=96.4°，如果我們把身高差值近似地看成額頭距離地面的高度差，那么小麗比小紅高多少？（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

【思路分析】如圖6，過(guò)A'點(diǎn)作A'K'⊥DE于點(diǎn)K'，求小麗比小紅高多少，就是求KK'的長(zhǎng)度。如何求KK'的長(zhǎng)度？過(guò)點(diǎn)P'作P'Q'⊥DE于點(diǎn)Q'，過(guò)點(diǎn)M'作M'R'⊥FG于點(diǎn)R'，因此，KK'=K'Q'+Q'Q-KQ。其中，KQ可以轉(zhuǎn)化成求BH，Q'Q可以轉(zhuǎn)化成求R'R。過(guò)點(diǎn)B'作B'H'⊥M'P'于點(diǎn)H'，K'Q'可以轉(zhuǎn)化成求B'H'，要求B'H'，可以類比問(wèn)題1，先求出∠B'M'H'=60°，再根據(jù)M'B'=42cm，可以求出B'H'。要求R'R，就要求出NR'和NR。NR在問(wèn)題2中利用得到的數(shù)據(jù)可以求出。如何求NR'的長(zhǎng)度？可以利用∠B'M'H'=60°和∠B'M'N=96.4°，求得∠NM'R'=23.6°，再根據(jù)NM'=NM=28cm，即可求出NR'，這樣即可求出R'R。求出了K'Q'、Q'Q、KQ，再利用KK'=K'Q'+Q'Q-KQ，就可以求出KK'的長(zhǎng)度。

銳角三角函數(shù)刻畫(huà)了直角三角形中的邊角關(guān)系。我們?cè)诮鉀Q這幾個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，不難發(fā)現(xiàn)需要經(jīng)歷以下過(guò)程：首先，需要弄清楚要求什么。其次，再根據(jù)所給條件能求出什么。同時(shí)，需要弄清楚已知量與未知量之間的關(guān)系，將要求的邊和角放到合適的直角三角形中，這里常常需要添加輔助線（一般為垂線和平行線），將原圖分割成一些直角三角形和矩形。再次，選用合適的數(shù)據(jù)來(lái)解這個(gè)直角三角形，如果不能直接求，還可以設(shè)未知數(shù)建立方程來(lái)求。最后，根據(jù)求得的結(jié)果，聯(lián)系與要求的量之間的關(guān)系，進(jìn)行求解與判斷。

（作者單位：江蘇省南京市竹山中學(xué)）