知錯(cuò)糾錯(cuò) 追本溯源

段俠

銳角三角函數(shù)這一章要求我們能“認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)（sinA、cosA、tanA），知道30°、45°、60°角的三角函數(shù)值;能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題”。雖然這塊知識(shí)在每年的中考中都是必考題，但在實(shí)際解題過程中我們又會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤。下面老師列舉部分典型錯(cuò)誤，希望同學(xué)們引以為戒。

一、直角三角形是解題的前提

例1 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊為a、b、c，且a∶b∶c=3∶4∶5，求sinA、tanB的值。

【錯(cuò)解】設(shè)a=3k，b=4k，c=5k（k>0），

則sinA=[ac]=[3k5k]=[35]，tanB=[ba]=[4k3k]=[43]。

【錯(cuò)因分析】雖然結(jié)果是正確的，但對(duì)條件的解讀不夠，跳過了證明△ABC是直角三角形而直接解題，缺乏關(guān)鍵的解題步驟，從而無法獲得滿分。

【正解】設(shè)a=3k，b=4k，c=5k（k>0）。

∵a2+b2=（3k）2+（4k）2=25k2，

c2=（5k）2=25k2，

∴a2+b2=c2，

∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，

∴sinA=[ac]=[3k5k]=[35]，

tanB=[ba]=[4k3k]=[43]。

【總結(jié)】解直角三角形的前提是“在直角三角形中”，如果題目未出現(xiàn)直角三角形或未說明三角形是直角三角形，則需要構(gòu)造直角三角形或者證明某個(gè)三角形是直角三角形，再運(yùn)用正弦、余弦、正切的定義去求解。此外，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中既要關(guān)注答題結(jié)果的正確性，也要關(guān)注答題步驟的規(guī)范性。

二、不是所有的網(wǎng)格都是正方形

例2 如圖1，6個(gè)形狀、大小完全相同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)。已知菱形的一個(gè)角（∠O）為60°，A、B、C都在格點(diǎn)上，則tan∠ABC的值是 。

【錯(cuò)解】[12]。

【錯(cuò)因分析】如圖2，以∠ABC為銳角構(gòu)造出直角三角形后，誤把菱形網(wǎng)格當(dāng)成正方形網(wǎng)格，認(rèn)為BE=2AE，得到錯(cuò)誤解答tan∠ABC=[AEBE]=[12]。

【正解】如圖2，連接EA、EC。

根據(jù)題意，得∠AEF=30°，

∠ACE=∠ACG=∠BCG=∠BEF=60°，

∴∠AEC=∠AEF+∠BEF=90°，

∠ACE+∠ACG+∠BCG=180°，

∴E、C、B三點(diǎn)共線。

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a，

∴AE=[3a]，EB=2a，

∴tan∠ABC=tan∠ABE=[AEBE]=[3a2a]

=[32]。

【總結(jié)】思維定式有利于常規(guī)思考，它使思考者在思考同類或相似問題時(shí)能省去許多摸索和試驗(yàn)的步驟，但在解題時(shí)不能因?yàn)閳D相似就只看問題而忽略題干，想當(dāng)然地得出答案。數(shù)學(xué)解答講究的是嚴(yán)謹(jǐn)，因此，我們?cè)诮忸}時(shí)要認(rèn)真審題，圈點(diǎn)勾畫題干重要信息，如本題中的“菱形組成網(wǎng)格”。

三、題中無圖需警惕漏解

例3 在△ABC中，若∠B=45°，AB=[102]，AC=[55]，則△ABC的面積是 。

【錯(cuò)解】75。

【錯(cuò)因分析】忽略此三角形的已知要素是“SSA”，誤認(rèn)為三角形的形狀是確定的，導(dǎo)致漏解。三角形的形狀確定是以三角形全等的判定定理（“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）為依據(jù)。

【正解】本題有兩種情況：△ABC可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形，如圖3中的△ABC和△ABC'。

過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D。

在Rt△ABD中，

∵AB=[102]，∠B=45°，

∴AD=AB·sinB=[102]×[22]=10，

BD=AB·cosB=[102]×[22]=10。

在Rt△ACD中，

∵AD=10，AC=[55]，

∴CD=[AC2-AD2]=[（55）2-102]=5，

∴BC=BD+CD=10+5=15，

BC'=BD-CD=10-5=5，

∴S△ABC=[12]BC·AD=[12]×15×10=75，

S△ABC'=[12]BC'·AD=[12]×5×10=25。

綜上所述，△ABC的面積是75或25。

【總結(jié)】解直角三角形時(shí)，需要根據(jù)題中給出的各個(gè)元素，結(jié)合全等知識(shí)判斷三角形是否唯一，尤其當(dāng)題干中未給出圖形時(shí)。數(shù)學(xué)解題講究嚴(yán)謹(jǐn)，數(shù)學(xué)知識(shí)講究邏輯關(guān)系，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)講究積累與聯(lián)想，我們?cè)谟龅絾栴}時(shí)要注意知識(shí)間的聯(lián)系，不能因?yàn)榭紤]不全面導(dǎo)致漏解。

四、構(gòu)建直角三角形不當(dāng)

例4 公交總站（A點(diǎn)）與B、C兩個(gè)站點(diǎn)的位置如圖4所示，已知AC=6km，∠B=30°，∠C=15°，求B站點(diǎn)離公交總站的距離即AB的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）。

【錯(cuò)解】如圖5，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D。

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，

∠C=15°，AC=6，

∴sin15°=[ADAC]，

∴AD=ACsin15°……（就此止步，無法進(jìn)行下去）

【錯(cuò)因分析】本題是常見圖形，易習(xí)慣性過A點(diǎn)作BC邊上的高，構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形（Rt△ABD和Rt△ADC）解題，但15°角的三角函數(shù)值未知，從而無法求解下去。

【正解】如圖6，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D。

∵∠B=30°，∠ACB=15°，

∴∠CAD=45°。

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，

∠CAD=45°，AC=6，

∴AD2+CD2=AC2，

即AD2+AD2=62。

∵AD>0，

∴AD=CD=[32]。

在Rt△BCD中，∠BDC=90°，

∴tanB=[CDBD]，

∴BD=[CDtanB]=[32tan30°]=[36]，

∴AB=BD-AD=[36]-[32]。

因此，B站點(diǎn)離公交總站的距離即AB的長(zhǎng)為（[36]-[32]）km。

【總結(jié)】解一般三角形的思路為“化斜為直”，本著保留特殊角或構(gòu)造特殊角的原則，將其分解為兩個(gè)直角三角形進(jìn)行求解。由于本題中出現(xiàn)15°角，我們需在構(gòu)造直角三角形時(shí)，通過角的和差、倍分關(guān)系來轉(zhuǎn)化，如15°=45°-30°，60°-15°=45°，2×15°=30°，等等。

（作者單位：南京曉莊學(xué)院濱河實(shí)驗(yàn)學(xué)校）