平行線中的“拐角”

“我”與“你”永遠保持相同距離，但又永遠不相交，這就是“平行線”。隨著平面幾何的逐步學習，我越發(fā)感覺數(shù)學的有趣。譬如我們在學平行線的性質(zhì)與判定時，有個“經(jīng)典”圖經(jīng)常出現(xiàn)，我把它歸結為“平行拐角”模型。

下面，我們來一起看看它的“廬山真面目”吧！

已知：如圖1，AB∥DE，∠B=25°，∠D=30°，求∠BCD的度數(shù)。

第一次遇見這題時，我有點“蒙”。老師常說根據(jù)條件“順藤摸瓜”，于是我思考：由已知可以得到什么？由待證或待求的問題思考，還需要什么？可是根據(jù)條件“AB∥DE”，無法得出什么，說好的“三線八角”不見了;∠B與∠D既不是同一個三角形的內(nèi)外角關系，也不是同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角關系。我一時無從下筆。

沒有我想要的，那怎么辦呢？對了，那就“變無為有”唄！為什么沒有“三線八角”？因為沒有與兩平行線都相交的“截線”。那好辦，延長BC或DC不就行了，見圖2（以延長BC為例）。

輔助線一出，我豁然開朗了。

這個“變無為有”的想法一下子打開了我的思路。既然延長BC可以構造內(nèi)錯角，那么直接連接BD不就出現(xiàn)同旁內(nèi)角了嗎？如圖3，由AB∥DE，得∠ABD+∠BDE=180°，即∠ABC+∠1+∠CDE+∠2=180°，又因為∠BCD+∠1+∠2=180°，所以∠BCD=∠ABC+∠CDE=55°。

我越來越興奮了。我由上面這個“∠BCD=∠ABC+∠CDE”結論，又激發(fā)出一個靈感。既然∠BCD是兩個角之和，那何不“成全”它，把它分成兩個角呢？使所分的其中一個角等于∠ABC。相信小伙伴們也想到了吧！對，只要過點C作AB的平行線CF即可，如圖4。因為AB∥DE、AB∥CF，所以CF∥DE，所以∠FCD=∠D，結果顯而易見了。

向內(nèi)拐角可以如此，那向外拐角呢？

如圖5，已知AB∥DE，∠B=150°，∠D=130°，求∠C的度數(shù)。

由之前的啟發(fā)，我還是“變無為有”，構造“三線八角”，于是幾種解法全“蹦”出來了，如圖6、圖7、圖8。剩下的事就是把解題過程完整地寫下來，∠BCD=360°-∠ABC-∠CDE=80°。

通過這些輔助線，我發(fā)現(xiàn)在圖5的情況下，∠B、∠C、∠D三個角之間的數(shù)量關系為∠B+∠C+∠D=360°。

那如果調(diào)皮的∠C拐到如圖9所示的位置，∠B、∠C、∠D又有什么樣的數(shù)量關系呢？解答思路是否與上面一樣呢？這就留給你們了哦！這里，我把老師常說的兩句話悄悄告訴你。第一句，“圖形發(fā)生改變，基本思路不變”;第二句，“創(chuàng)造條件，變無為有”。

教師點評

龔詩凡通過這幾道題，給我們呈現(xiàn)了她的一種可視化思維：解決問題時遇到了什么困難，該如何思考，通過什么途徑得到“我”想要的，輔助線是如何從“幕后”到“臺前”的。小作者向我們娓娓道來，她的思路，相信對于初學幾何的同學，一定有所啟發(fā)。

（指導教師：黃 萍）