?哈爾濱師范大學教師教育學院 鄒佳珊
換元法又稱輔助元素法、變量代換法,是在解題的過程中引進新的變量,把分散的條件聯(lián)系起來,隱含的條件顯露出來,或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來,變?yōu)槭煜さ男问?,把復雜的計算和推理論證過程簡化.換元法是高中數(shù)學解題中的一類重要而巧妙的解題方法.在數(shù)學中,“元”是未知數(shù)的意思,我們在解題中經(jīng)常遇到含有未知數(shù)的情形,例如方程、不等式、函數(shù)等.利用換元法來解決這類問題,不僅有利于快速找到解題思路,而且解題過程方便靈活,掌握換元法的基本思想及方法對提升數(shù)學解題能力大有益處[1].
常見的換元方法有整體換元、三角換元等,下面以具體的習題為例,探究何時可以利用換元法解題.
當某個代數(shù)式作為“整體”反復多次出現(xiàn),為了簡化計算,可以將重復出現(xiàn)的部分進行“換元”處理.
為何“換元”:此題如果直接去分母進行求解,會得到一個四次方程.通過觀察可以發(fā)現(xiàn)x2-x既在等式左邊出現(xiàn),又是等式右邊的分母,把這一部分替換成另一個未知數(shù),可以達到降冪的效果,將難解的高階方程化為熟悉的一元二次方程.
把x=(t-1)2代入原解析式中,則f(t)=t2-2t+3(t≥1).
我們知道,對應(yīng)關(guān)系與自變量取哪個字母無關(guān),故f(x)=x2-2x+3(x≥1).
理解換元法的本質(zhì)進而用換元法來求函數(shù)的值域是高中數(shù)學的重要知識點.本題比較簡單,雖然也可以利用其他方法來求解,但是對學生理解換元法的內(nèi)涵有啟發(fā)作用[3].
圖1
三角換元常用于去根號,或者將代數(shù)式變換為三角形式更易求解.主要利用已知代數(shù)式與三角知識的某種聯(lián)系進行換元.
為何“換元”:不難發(fā)現(xiàn)x的取值范圍是{x|0≤x≤1},恰好是正弦函數(shù)y=sinx值域的子集,我們又有去根號的需要,希望可以通過換元將被開方數(shù)的次數(shù)變?yōu)?.
如變量x,y適合條件x2+y2=r2時,也可以作三角代換:x=rcosθ,y=rsinθ.
例7(2020年清華大學強基計劃)若x2+y2≤1,則x2+xy-y2的取值范圍是.
為何“換元”:前面已經(jīng)提到了x2+y2=r2的換元方法,此題不過是對r的取值范圍做了限制.
如何“換元”:,若設(shè)x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,2π)根據(jù)題意可知r≤1,則
x2+xy-y2
=r2cos2θ+r2cosθsinθ-r2sin2θ
例8(2020年復旦大學強基計劃)已知實數(shù)x,y滿足x2+2xy=1,求x2+y2的最小值.
為何“換元”:看到x2+y2=r2, 依然是三角換元法的常見形式,可以先換元,再檢驗是否可行.
如何“換元”:設(shè)x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈[0,2π),代入x2+2xy=1中,可以得到r2cos2θ+2r2sinθcosθ=1.由于我們要求的是r2,因此整理得
根據(jù)輔助角公式,可得
本題啟發(fā)我們,x2+y2=r2無論是在題干中出現(xiàn),還是求它的取值范圍,都可以考慮利用三角換元法來求解.
孔子曰:“舉一隅不以三隅反,則不復也.”經(jīng)過以上幾道例題的分析,可以總結(jié)得出何時應(yīng)用換元法解題:若題目中有重復出現(xiàn)的部分,則常常可以對重復出現(xiàn)的部分進行換元,利用整體換元法求解;而三角換元法則往往是被換元部分的取值范圍與三角函數(shù)值的范圍[-1,1]或(0,1)等相關(guān),或有“去根號”的需要,合理利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角恒等變換、輔助角公式等進一步化簡求值.