基于徑向平均法的離心機過渡過程的豐度方程

曾 實

(清華大學 工程物理系，北京 100084)

離心機在運行過程中，無論工況調(diào)整，還是因為故障導致的工況波動，總是要經(jīng)歷過渡過程。這個過程中，因為離心機的水力學狀況隨時間發(fā)生變化，離心機的分離情況也隨之而變化。比如，在調(diào)整了分流比后，離心機從一個分流比過渡到另一個分離比。過渡過程中，離心機內(nèi)部流場產(chǎn)生變化，影響物質(zhì)的輸運，分離狀態(tài)也從一個狀態(tài)變化到另一個狀態(tài)。這些變化表現(xiàn)為分離系數(shù)的變化。

本課題研究了離心機水力學的過渡過程[1]，能夠在一定簡化情況下，獲得離心機在過渡過程中的流場。在已知流場時，可通過求解描述流場中各組分的物質(zhì)輸運方程，即豐度方程，對離心機的分離狀態(tài)進行分析。與求解過渡過程中時間相關的流場相比，求解時間相關的豐度方程比較復雜。鑒于徑向平均法[2]能夠簡化豐度方程，通過分析簡化的豐度方程，使求解大為簡化和快速。因此，本文基于徑向平均法的思想，給出描述在過渡過程中離心機豐度軸向分布的方程，避免在離心機分離分析中求解復雜的方程。

1 豐度方程

為了使某時刻流場擾動為相對于當時滯留量情況下的擾動，引入變密度的等溫剛體模型概念[1]。這個模型在流場中各處引入了源匯。為區(qū)別于模擬供料和取料所引入的集中在某個局部區(qū)域的源匯[3]，這里把流場各處都存在的源匯稱為彌散性源匯，僅指應用變密度等溫剛體模型所引入的彌散性質(zhì)量源匯。圖1為離心機軸向剖面示意圖。圖中，Z和a分別為轉(zhuǎn)子的高度和半徑，以角速度Ω轉(zhuǎn)動。不失一般性，假定下部為精取料端，P為精料，上部為貧取料端，W為貧料。供料為F，在軸向位置ZF處供入。

圖1 離心機軸向剖面示意圖Fig.1 Illustration of the cross section of a gas centrifuge

存在源匯和把離心機內(nèi)流場視為軸對稱的情況下，描述離心機中氣體同位素混合物總質(zhì)量守恒方程為：

(1)

(2)

(3)

在公式(2)中，τr,i和τz,i分別是第i組分在r和z方向上的質(zhì)量通量：

τr,i=Jr,i+ρuCi

(4)

τz,i=Jz,i+ρwCi

(5)

ρi為混合物第i組分密度，Ci為第i組分豐度：

ρi=ρCi

(6)

Jr,i和Jz,i分別是第i組分在r和z方向上的擴散流通量：

(7)

(8)

式中，T0為氣體平均溫度，Mi為第i組分的摩爾質(zhì)量數(shù)，D為互擴散系數(shù)，R0為普適氣體常數(shù)。下面關系成立：

(9)

這里，NC為同位素混合氣體中的組分數(shù)目。在過渡過程狀態(tài)，?ρi/?t≠0。綜合公式(4)～(8)，代入式(2)得：

(10)

分析離心機的分離，需要求解方程(10)，求解的邊界條件如下。在徑向上，轉(zhuǎn)子壁面存在物質(zhì)無滲透條件：

τr,i|r=a=0

(11)

而在軸心，存在自然邊界條件：

(12)

為表示簡單，記：

(13)

FD,i和FC,i分別是在轉(zhuǎn)子軸向位置z處的第i組分擴散流通量和對流輸運通量。

在轉(zhuǎn)子的軸向截面位置z處，第i組分的通量FL,i為：

(14)

除了條件(11)、(12)外，求解還需要下面兩個軸向方向的條件。在轉(zhuǎn)子輕取料端，

(15)

在轉(zhuǎn)子重取料端，

(16)

由方程(10)可見，用數(shù)值方法求解不復雜，重點要關注豐度的軸向分布，得到更為簡單的方程，也使方程的求解更加簡單。令：

(17)

Ψ并不是針對穩(wěn)態(tài)情況所定義的流函數(shù)，只是在定義的形式上與流函數(shù)相同，則：

(18)

其中，F(xiàn)T=Ψ(a,z)。把式(10)乘以r然后對r積分：

(19)

由此解出?Ci/?r：

(20)

把(1)式乘以r，然后對r積分，得到：

(21)

這樣在式(20)右端的第3和第4項就是：

(22)

把式(20)乘以Ψ并從0到a對r積分，得式(18)右端第2項：

(23)

把上式代入式(18)，結(jié)合式(14)、(15)，得

(24)

2 方程的簡化

2.1 應用徑向平均法的簡化

(25)

類似地，左端第3項為：

(26)

這樣，方程(24)可寫成：

(27)

上式即是描述過渡過程、流場中存在源匯時離心機內(nèi)豐度軸向分布的微分方程。相對于方程(10)，方程(27)大為簡化，僅是一元變系數(shù)時間相關的微分方程，求解簡單。

在取料端，有：

(28)

根據(jù)公式(1)、(2)，應用單純軸向流假設，有：

(0

(29)

(ZF

(30)

(0

(31)

(ZF

(32)

從公式(29)、(30)，得到：

(33)

(34)

類似地，

(35)

把公式(34)、公式(35)分別代入公式(27)，得：

(0

(36)

(37)

2.2 單純軸向流假設下的進一步簡化

方程(36)、(37)的求解仍然比較復雜。充分利用單純軸向流的假設可進一步簡化。注意，雖然根據(jù)方程(29)、(30)有FT=P(0

(38)

應用方程(33)，方程(36)、(37)就是：

(39)

(40)

至此，得到了描述過渡過程中、在單純軸向流假設下描述豐度軸向分布的微分方程。研究中，在半徑方向經(jīng)常用約化高度x代替r作為變量，x的定義為x=A2[1-(r/a)2]，其中速度系數(shù)A2=M(Ωa)2/2R0T0，這里M為氣體的平均摩爾質(zhì)量。這樣，以x為變量的豐度方程可寫成為：

(0

(41)

(ZF

(42)

需要特別指出，方程(41)、(42)不能用于z=ZF處。

2.3 初始條件和邊界條件

實際上，由于無法知道離心機內(nèi)部情況，難以給定初始條件。不過，對充氣開始的最初情況，可能是比較容易給出的，且任何其他狀態(tài)，都是最初過程過渡過去的。此時，分離不充分，可大致認為：

(43)

上面的條件可認為是一種假設。

在任何時候，上下兩端的邊界條件是：

(44)

自然，在兩端有：

(45)

(46)

因此，還必須給定在整個離心機中質(zhì)量守恒的條件：

(47)

3 討論

方程(27)是分析離心機內(nèi)豐度軸向分布一般形式的微分方程。方程中與流場相關的量在求解流場后均已知，可進行豐度方程的求解。這個流場不限于數(shù)值求解、本征函數(shù)法求解還是其他方法求解得到的流場。但是，對于過渡過程，流場的求解復雜，每一個時間步都需要進行流場的求解，而且目前除了文獻[1]中的嘗試外，還未見求解離心機過渡過程流場的研究。因此，這里對分離的分析也需以文獻[1]中的流場結(jié)果為基礎，也就是說，需引入變密度等溫剛體模型、單純軸向流的簡化。這樣，需要把一般形式的豐度方程(27)變?yōu)楦鼮楹喕姆匠?36)和(37)。

按Cohen的做法[2]，可以略去豐度方程中軸向反擴散項，即豐度對軸向坐標的二階導數(shù)項，以進一步簡化方程，但基于下面的考慮，在這里保留此項。由于存在時間導數(shù)項，去掉此項也難以像在穩(wěn)態(tài)情況下那樣得到某種條件的解析解(如低豐度)，因而必須數(shù)值求解；而數(shù)值求解時此項所增加的計算量可以忽略不計。當然，在將來實踐中如證實軸向反擴散在過渡過程中的作用可以忽略，也可去掉此項使方程更加簡化。

這里對方程(47)進行一下說明。根據(jù)守恒方程(2)得到：

(48)

由于：

(49)

從而得到方程(47)。

4 結(jié)論

應用徑向平均法，本文導出了針對分析離心機過渡過程分離的豐度軸向分布的一般微分方程。在已知流場情況下，求解微分方程可得離心機中豐度的軸向分布。但一般情況下難以獲得過渡過程中的流場，基于變密度等溫剛體模型和單純軸向流假設下所得的過渡過程的流場，可用于豐度方程的求解。

僅應用單純軸向流假設而不應用變密度等溫剛體模型求解豐度方程不可行，這導致離心機中密度不隨時間變化，不符合過渡過程的一般情況。應用變密度等溫剛體模型在流場中引入了彌散性質(zhì)量源匯，為了求解，要求各組分的源匯必須已知。