d-維環(huán)面上分?jǐn)?shù)階薛定諤方程解的長時間穩(wěn)定性

弭魯芳鄔小清

(1.濱州學(xué)院理學(xué)院,山東 濱州 256600;2.大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116024)

0 引言

考慮d-維分?jǐn)?shù)階薛定諤方程

定理1 給定任意的r≥4,則存在正測度集合F?Wμ,使得對任意的V∈F,存在依賴于r,μ的正數(shù)p?(r,μ),對任意的p≥p?(r,μ),存在∈?(r,μ,p)使得下面的結(jié)論成立:如果初值u(x,0)滿足∈:＝||u(x,0)||H p≤∈?(r,μ,p),則有||u(x,t)||H p≤2∈, ?|t|≤∈－r。

我們將利用無窮維哈密頓系統(tǒng)的Birkhoff標(biāo)準(zhǔn)型理論來證明定理1。該理論是研究哈密頓偏微分方程解的幾乎全局性的有力工具。Birkhoff標(biāo)準(zhǔn)型技巧經(jīng)由Bambusi,Berti,Delort,Grébert等學(xué)者的充分研究,發(fā)展已近趨完善[2,5-18]。

在文獻(xiàn)[9]中,Bambusi-Grébert證明了一個抽象的Birkhoff標(biāo)準(zhǔn)型定理。該定理可以應(yīng)用到一大類滿足所謂的Tame性質(zhì)的哈密頓偏微分方程上,進(jìn)而在Sobolev空間H p中得到了小初值解的多項(xiàng)式長時間穩(wěn)定性。具體來說,對任意的r＞0,及任意的充分大的p(p依賴于r及某種非共振條件),存在ε(p,r)及正常數(shù)c使得如果初始值滿足ε＝‖u(0)‖p≤ε(p,r),則有

之后,Bambusi-Sire仿照文獻(xiàn)[9]中發(fā)展的方法證明了s＞1/2的分?jǐn)?shù)階薛定諤方程(1)的幾乎全局解的存在性[2]。很自然地會問,對于0＜s＜1/2的情況,這種長期穩(wěn)定性結(jié)果是否仍然成立,這是作者在文獻(xiàn)[2]中提出的一個問題。這兩種情形主要的不同點(diǎn)在于當(dāng)s＞1/2時,頻率的所謂的分離性仍然按照下述方式成立:對任意的i≠j,隨著i,j→∞有下述不等式成立

上面的估計(jì)保證僅有有限多個共振集(當(dāng)然依賴于r和N)。詳細(xì)證明過程可參見命題1中情形3的證明。鑒于上述發(fā)現(xiàn)及受P?schel[29]研究波方程擬周期解的存在性時建立的非共振條件的啟發(fā),建立了(γ,r,N)-非共振條件(9)得到了高階的部分標(biāo)準(zhǔn)型,用于研究原點(diǎn)附近解的長時間行為。

注1 此處,零動量性質(zhì)和頻率的次線性增長對于保證估計(jì)式成立是非常重要的,而估計(jì)式(4)的成立又保證了僅有有限多個共振集合,從而使得測度估計(jì)部分成立。

關(guān)于偏微分方程解的長時間穩(wěn)定性一直是國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)問題,最近的一些新結(jié)果為Birkhoff標(biāo)準(zhǔn)型開辟了新的方向:(1)Biasco-Masseti-Procesi[30]證明了在適當(dāng)?shù)膩G番圖條件下具有外部參數(shù)的圓上的一維NLS在Sobolev范數(shù)下的指數(shù)穩(wěn)定性結(jié)果;(2)Bernier-Faou-Grébert[31]構(gòu)建了一個無外部參數(shù)的有理標(biāo)準(zhǔn)型,顯示了一維NLS小解的穩(wěn)定性;(3)Bernier-Faou-Grébert等人[32]證明了僅含一個參數(shù)的d維非線性波動方程的長時間穩(wěn)定性結(jié)果,里面介紹了一些新的非共振條件和一些新技術(shù);(4)水波方程和完全非線性NLS的長時間存在性結(jié)果,里面考慮了擬線性情況和分?jǐn)?shù)階色散關(guān)系,這使問題更加困難[11,33-35]。除此之外,也有一些工作涉及平面波解、d-gap解或KAM 環(huán)面的長時間行為[16,36-39]。

1 哈密頓形式

2 哈密頓向量場的Tame-范數(shù)

本節(jié)將給出一些符號和一些技術(shù)引理,其中大部分可參見文獻(xiàn)[9]。

2.1 相空間

2.2 有界映射

令H:P p→? 是一個r次齊次多項(xiàng)式,當(dāng)且僅當(dāng)H有界時,H是連續(xù)的并且也是解析的,即對于所有的z∈P p,存在一個正常數(shù)C使得|H(z)|≤C‖z‖rp,對于多項(xiàng)式H,它自然地與一個對稱的r-線性

2.3 映射的模數(shù)

2.4 哈密頓向量場的Tame-范數(shù)

這個定義很自然地可以拓展到解析函數(shù)集使得(7)是有限的。

2.5 Tame-范數(shù)的一些估計(jì)

在這一部分中將要給出Tame-范數(shù)的一些估計(jì)。

所以利用[9]中引理4.11的證明技巧即可得此結(jié)論。

3 定理1的證明

下面利用Faou-Grébert[14]中的結(jié)果來證明定理1。

定義5 (γ,r,N)-非共振條件。給定γ＞0及兩個充分大的正整數(shù)r,N,稱頻率Ω＝(Ωj)j∈?d是(γ,r,N)－非共振的,如果下面的條件成立:不等式

4 非共振條件的證明