三角恒等變換中的“一題多解”

■田玉帥

一題多解能開拓思路、發(fā)展智力、培養(yǎng)發(fā)散思維,能提高分析問題和解決問題的能力,通過對(duì)問題進(jìn)行多角度、多層次分析,達(dá)到對(duì)問題的全面理解,將有助于提高解題的速度和質(zhì)量。下面舉例分析。

感悟:本題考查三角函數(shù)的恒等變換與化簡(jiǎn)求值。解決三角函數(shù)求值問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示。當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí),“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式;當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí),應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和、差或倍半的關(guān)系。萬能公式是溝通二倍角的正弦、余弦及正切的橋梁。

例2(2021 年全國(guó)新高考卷改編)若tanθ=-2,則=____。

解法1:先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡(jiǎn),然后增添分母(1=sin2θ+cos2θ)化為正切的表達(dá)式可得結(jié)果。

解法2:利用已知條件,借助sin2θ+cos2θ=1求解。因?yàn)閠anθ==-2,所以sinθ=-2cosθ。

感悟:若利用tanθ=-2,求出sinθ,cosθ的值,還需要分象限討論其正負(fù),其解法煩瑣。通過分子、分母同除以cosα,得到關(guān)于tanα的式子,再求值,其解法簡(jiǎn)單明了。有時(shí)靈活地進(jìn)行“1”的代換(1=sin2α+cos2α),是三角化簡(jiǎn)與求值的常用方法。