求函數(shù)最值與值域的常用方法

■甄新鋒

求函數(shù)的最值與值域是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。函數(shù)的值域就是全體函數(shù)值的集合,是由其定義域、對(duì)應(yīng)法則共同決定的。求函數(shù)的最值與值域在解法上是相通的。下面舉例分析,供同學(xué)們學(xué)習(xí)與參考。

方法一:函數(shù)的單調(diào)性法

例1已知函數(shù)f(x)=ax+(a＞0),且f(x)在[0,1]上的最小值為g(a),則g(a)的最大值為_____。

評(píng)注:利用單調(diào)性法求最值,先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求最值。

方法二:判別式法

例2設(shè)非零實(shí)數(shù)a,b滿足a2+b2=4,若函數(shù)存在最大值M和最小值m,則M-m=____。

評(píng)注:形如分子、分母的最高次數(shù)為二次的分式函數(shù),可利用判別式法求函數(shù)的最值。

方法三:二次函數(shù)的性質(zhì)法

例3已知函數(shù)f(x)=4x2-mx+1在(-∞,-2)上單調(diào)遞減,在[-2,+∞)上單調(diào)遞增,則f(x)在[1,2]上的值域?yàn)開___。

又[1,2]?[-2,+∞),且f(x)在[-2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增。所以當(dāng)x=1 時(shí),f(x)取得最小值f(1)=4-m+1=21;當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得最大值f(2)=16-2m+1=49。

故f(x)在[1,2]上的值域?yàn)閇21,49]。

評(píng)注:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0),當(dāng)a＞0時(shí),頂點(diǎn)為圖像的最低點(diǎn),即當(dāng)x=時(shí),y的值最小;當(dāng)a＜0時(shí),頂點(diǎn)為圖像的最高點(diǎn),即當(dāng)x=時(shí),y的值最大。

方法四:基本不等式法

例4已知冪函數(shù)f(x)的圖像過(guò)點(diǎn),則函數(shù)g(x)=f(x)+的最小值為_____。

評(píng)注:利用基本不等式求最值時(shí),必須滿足的三個(gè)條件:一正、二定、三相等?！耙徽本褪歉黜?xiàng)必須為正數(shù);“二定”就是要求和的最小值,必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值,要求積的最大值,必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值;“三相等”就是檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件,判斷等號(hào)能否取到,只有等號(hào)能成立,才能利用基本不等式求最值。

方法五:分離常數(shù)法

例5當(dāng)-3≤x≤-1 時(shí),函數(shù)y=的最小值為____。

評(píng)注:求形如的函數(shù)的值域或最值,常用分離常數(shù)法求解。

方法六:反解法

例6函數(shù)的值域?yàn)開___。

評(píng)注:反解法求函數(shù)的值域,先由已知函數(shù)式解出x,再根據(jù)x的取值范圍列不等式求出值域。

方法七:換元法

例7函數(shù)y=x+的值域是_____。

評(píng)注:求形如y=+(cx+d)(ac≠0)或y=ax+b±的函數(shù)值域或最值,常用代數(shù)換元法或三角換元法,再結(jié)合函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解。

方法八:絕對(duì)值不等式法

例8函數(shù)y=|x+1|+|x-3|的值域?yàn)開___。

評(píng)注:含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì):|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。

方法九:數(shù)形結(jié)合法

例9函數(shù)f(x)=|x-1|+x2的值域?yàn)開___。

函數(shù)f(x)=|x-1|+x2=

作出分段函數(shù)f(x)的圖像(圖略)。由圖知函數(shù)f(x)=|x-1|+x2的值域?yàn)椤?/p>

評(píng)注:數(shù)形結(jié)合法包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面,其應(yīng)用大致可以分為兩種情形:一是借助于形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系,即以形作為手段,數(shù)作為目的,如利用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì);二是借助于數(shù)的精確性和嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性,即以數(shù)作為手段,形作為目的,如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。