錯(cuò)題正解 小題大做
——一道面試題的教育教學(xué)價(jià)值

●李寶

2016年5月，網(wǎng)易新聞[1]和搜狐教育[2]先后報(bào)道了國(guó)外一程序員參加微軟招聘慘遭淘汰的經(jīng)歷， 引發(fā)了國(guó)內(nèi)網(wǎng)友的極大關(guān)注。時(shí)至現(xiàn)在，共有2200多網(wǎng)民跟帖討論。之所以會(huì)引起公眾的關(guān)注，是因?yàn)槲④洺龅拿嬖囶}是一道數(shù)學(xué)題：

有一個(gè)直角三角形，斜邊長(zhǎng)10cm，從頂點(diǎn)到斜邊作垂線，垂線長(zhǎng)6cm，求直角三角形的面積（為了行文的方便，以下將此題稱(chēng)為“原題”）。

筆者曾就原題考查了一部分中學(xué)生、中學(xué)數(shù)學(xué)教師和在校的大學(xué)生，絕大多數(shù)人都和“程序員”的遭遇一樣，被這道題“坑了”：直接用三角形的面積公式（底×高÷2）算得三角形的面積為30。他們?yōu)槭裁村e(cuò)了？ 因?yàn)檫@是一道“錯(cuò)”題。當(dāng)然，許多人是“不知錯(cuò)” 而錯(cuò)答。下文首先從數(shù)學(xué)的角度證明原題是錯(cuò)題，然后從解題教學(xué)的角度給出原題的變式。

一、錯(cuò)題正解，一題多解

數(shù)學(xué)題可分為兩種，即求解題（或解答題，包括計(jì)算題）和證明題。波利亞在其《怎樣解題》一書(shū)中討論了“求解題”和“證明題”的主要部分、目標(biāo)及解的方法。求解題的主要部分是“未知量”“已知數(shù)據(jù)”和“條件”，目標(biāo)是要找到某個(gè)對(duì)象，即該題的未知量?！白C明題”的主要部分是“題設(shè)”以及要求證明或推翻的定理的“結(jié)論”，其目標(biāo)是要確定地表明某個(gè)清楚陳述的論斷是正確的還是錯(cuò)誤的[3]。但無(wú)論是哪一種，數(shù)學(xué)題都包括兩個(gè)部分：條件（已知）和待求解或待證明的結(jié)論。求解題中，一般只給出條件（一個(gè)或多個(gè)），結(jié)論需要通過(guò)解答（運(yùn)算、推理等）探求。證明題中，條件（一個(gè)或多個(gè)）和結(jié)論同時(shí)給出，（命題）結(jié)論成立與否，需要利用條件用“證明”的方法加以說(shuō)明。

要解題，需先“辨題”——辨別題型及題是否有解，明確解的方法和解的個(gè)數(shù)。而要說(shuō)明一道題是錯(cuò)題或無(wú)解，一般有兩種方法，一是舉反例，二是推矛盾。原題是一道求解題，背景是“直角三角形”，聯(lián)想與直角三角形有關(guān)的幾何性質(zhì)，可利用“幾何直觀”推矛盾。

解法1 以AB為直徑作圓，在圓上取不同于A、B的點(diǎn)C，連接AC和BC，則頂點(diǎn)C到AB的最大距離為半徑（見(jiàn)圖1），即斜邊長(zhǎng)為10cm的直角三角形其斜邊上的高的最大值為5cm，與題設(shè)的高為6cm矛盾，因此滿足題設(shè)條件的直角三角形不存在。

圖1

注 此解法用到了圓的一條性質(zhì)：直徑所對(duì)的圓周角為直角。同時(shí)，本解法可以直接用數(shù)學(xué)教學(xué)類(lèi)軟件如幾何畫(huà)板、超級(jí)畫(huà)板、Geogebra等演示，比較直觀。

在肯定了原題為錯(cuò)題的情況下，又可以綜合利用幾何知識(shí)推矛盾，實(shí)現(xiàn)一題多解。

解法2 若ABC為直角三角形，取斜邊的中點(diǎn)E，連接CE。那么，CE=5。而CD是斜邊上的高，則在直角三角形CDE中，有5=CE>CD=6，矛盾?；蛘?，從點(diǎn)到直線的距離的定義可知，6=CD≤CE=5，矛盾。故滿足條件的直角三角形不存在。

圖2

注 此解法用到了直角三角形的兩條性質(zhì)：一是“直角三角形中，斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半”；二是“直角三角形中，斜邊最長(zhǎng)”。而第二條性質(zhì)是由點(diǎn)到直線的距離邏輯導(dǎo)出的。

解法3 若ABC為直角三角形，如圖3，則由勾股定理和面積等積公式可得方程組：

圖3

由（1）（2）得

因此滿足條件的直角三角形不存在。

另解：由（1）（2）得（AC+BC）2=220，即有：

由（1）（4）可知，AC和BC是一元二次方程

注：此解法用到了勾股定理和等積公式，而在求解二元二次方程組的過(guò)程中， 用到了整體思想和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)，由（1）（2）變換得到（3）較為簡(jiǎn)單，但“另解”可訓(xùn)練學(xué)生的解題能力，并且是求解此類(lèi)方程的通法。

解法4 若ABC為直角三角形，如圖3，則根據(jù)三角形的相似或射影定理可得：

所以AD2－10AD+36=0， 因?yàn)棣?（－10）2－4×1×36=-44<0，所以方程無(wú)解，即滿足條件的直角三角形不存在。

注：此解法用到了三角形相似的知識(shí)（或直角三角形中的射影定理）和一元二次方程。

二、一題多變，小題大做

就解題教學(xué)而言，不僅要教會(huì)學(xué)生“辨題”，還要教會(huì)學(xué)生“變題”，舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力。對(duì)于求解題，可通過(guò)改變（增加、減少、替換）條件變題。對(duì)于證明題，可通過(guò)“四種命題”的關(guān)系變題，也可以通過(guò)替換條件或結(jié)論變題。

原題是關(guān)于三角形中的線段的關(guān)系問(wèn)題， 可通過(guò)改變條件變題（篇幅所限，以下各題只給出解答思路），實(shí)現(xiàn)一題多變、小題大做。

（一）保留“直角三角形”這個(gè)條件，弱化條件，將具體數(shù)字變?yōu)樽帜?，做一般化處?/h3>

變式1 設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c， 斜邊上的高為h。求三角形的面積。

注：若h≤c/2，面積可求。否則，面積不可求，因?yàn)闈M足條件的三角形不存在。

根據(jù)前文所述的解題過(guò)程和解題方法， 可在此題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步變式，得到：

變式2 設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c， 斜邊上的高為h。求直角邊長(zhǎng)。

注：若h≤c/2，利用前文的解法3或解法4，可求得AC和BC。否則，若h>c/2，滿足條件的直角三角形不存在，因此無(wú)解。

變式3 設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c， 斜邊上的高為h。求周長(zhǎng)。

注：若h≤c/2，利用式（1）和（2）可求出AC+BC，從而周長(zhǎng)可求。否則，若h>c/2，滿足條件的直角三角形不存在，因此無(wú)解。

變式4 設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c， 斜邊上的高為h。求作三角形。

注：分三種情況討論，h>c/2、h=c/2或h

（二）弱化條件，將“直角三角形”變?yōu)椤耙话闳切巍?，做一般化處?/h3>

變式5 已知三角形的一邊和這邊上的高，求三角形的面積。

（三）弱化條件，將“直角三角形”變?yōu)椤耙话闳切巍?，并替換條件或問(wèn)題

變式6 已知三角形的一邊和一邊上的高，求三角形的面積。

注：本題需討論，若高是給定邊上的高，同變式5；若高是給定邊鄰邊上的高，而三角形是直角三角形，面積可求，否則三角形的面積不可求。

變式7 已知三角形的一邊和這邊上的高，求三角形的周長(zhǎng)的取值范圍。

注1：當(dāng)高在三角形外時(shí)，周長(zhǎng)不可求。

注2：當(dāng)高在三角形內(nèi)（含同三角形的邊重合），設(shè)已知邊長(zhǎng)為c、高為h，則當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，周長(zhǎng)取得最大值當(dāng)三角形為等腰三角形時(shí)，周長(zhǎng)取得最小值本題可從代數(shù)和幾何兩個(gè)角度求解， 代數(shù)求解需用到均值不等式或兩次平方且運(yùn)算量較大，幾何求解需用到變換，簡(jiǎn)單且直觀。

注3：當(dāng)三角形為等腰三角形時(shí)，可獲得一個(gè)結(jié)論：在同底等高的三角形中，等腰三角形的周長(zhǎng)最小。

想到三角形中不僅有高，還有中線和角平分線，又可以將題變?yōu)椋?/p>

變式8 已知三角形的一邊和這邊上的中線，求三角形的面積。

注：此時(shí)的三角形不確定，通過(guò)設(shè)參可求得面積表達(dá)式，面積有最大值（當(dāng)中線變成高時(shí)）。

變式9 已知三角形的一邊和對(duì)角的平分線，求三角形的面積。

注：此時(shí)的三角形不確定，通過(guò)設(shè)參可求得面積表達(dá)式，面積有最大值（當(dāng)角平分線變成高時(shí)）。

三、一題多思，教學(xué)雙贏

原題乍一看很簡(jiǎn)單，似乎小學(xué)生都會(huì)做，是一道“小題”。而從前文的探討中可以看到， 對(duì)原題的正解，綜合運(yùn)用了平面幾何與代數(shù)的知識(shí)和方法，涉及一元二次方程、一元二次函數(shù)、三角形、相似、勾股定理、銳角三角函數(shù)、圓、周長(zhǎng)、面積等，因此這是一道典型的“大題”。

對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解，一般來(lái)說(shuō)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：①判斷解的存在性，在有解的情況下還需探討解的個(gè)數(shù)（不至于漏解）。②探索求解的方法，盡可能綜合考慮代數(shù)法、幾何法，做到一題多解。③求解，保證運(yùn)算、推理準(zhǔn)確無(wú)誤。④回顧與檢查，做到一題多思、一題多變。遺憾的是，長(zhǎng)期的“掐兩頭、燒中段”式的教學(xué)及“題海”式訓(xùn)練，早已讓一些教師和學(xué)生忘記了題的“解的存在性”，拿到題就做，找到答案就行。至于答案是否正確，由于沒(méi)有“回顧”，致使對(duì)明顯的錯(cuò)誤視而不見(jiàn)。

回到文章開(kāi)始的情境，為什么有那么多的人會(huì)掉進(jìn)陷阱呢？對(duì)面試者“為啥我的答案錯(cuò)誤”的問(wèn)題，面試考官回答：“如果你稍微認(rèn)真地想想，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這樣的三角形是不存在的。”這樣的回答暴露了出題者的初衷：他們真正的意圖是考察面試者是否有冷靜的頭腦以及良好的分析問(wèn)題的能力。因此，此題是出題者有意出的“錯(cuò)題”。

盡管中、高考考試一般不出錯(cuò)題（曾經(jīng)有），但教學(xué)中我們應(yīng)時(shí)不時(shí)地有意出錯(cuò)題。因?yàn)?，在錯(cuò)題正解的過(guò)程中，能培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的“邏輯推理”“直觀想象”和“數(shù)學(xué)運(yùn)算”等學(xué)科核心素養(yǎng)；在錯(cuò)的陣痛中，能培養(yǎng)“中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”提出的“理性思維”“批判質(zhì)疑”“勇于探究”“勤于反思”等核心素養(yǎng)。