空間各向同性均勻噪聲場中的子陣輸出噪聲相關(guān)性*

雷志雄，陳 鵬

(1.中國西南電子技術(shù)研究所，成都 610036；2.長安大學(xué) 信息工程學(xué)院，西安 710064)

0 引 言

空間各向同性均勻噪聲場是信號處理領(lǐng)域中常用的一種噪聲場，它假設(shè)相互獨(dú)立的噪聲從各個方向以等概率入射并疊加在傳感器所在位置處[1-2]。在空間各向同性均勻噪聲場中，當(dāng)波束形成器指向平面波信號入射方向，陣列的指向性指數(shù)就等于陣增益，指向性指數(shù)(Directivity Index，DI)可以作為陣增益的估計[3]。由此可見，空間各向同性均勻噪聲場模型可用于設(shè)計電磁學(xué)、聲學(xué)陣列[4-7]，并且可以分析陣列的最優(yōu)性能、優(yōu)化陣列波束以及評估目標(biāo)方位估計性能等[8]。

為了得到更好的陣處理結(jié)果，通常采用增加陣元數(shù)、擴(kuò)大孔徑以及采用超指向性或超增益波束形成方法，如最小方差無失真波束形成(Minimum Variance Distortionless Response,MVDR)、特征波束分解與綜合方法等來提高陣增益和方位分辨力。在設(shè)計超指向性或超增益波束形成器時[3,9-11]，往往需要得到陣列的噪聲相關(guān)系數(shù)矩陣，對于空間各向同性均勻噪聲場中的無指向性陣元，其接收的環(huán)境噪聲譜密度分布和方向無關(guān)，而陣元間的噪聲相關(guān)系數(shù)為波數(shù)-距離的sinc函數(shù)[12]。

當(dāng)陣元間距等于接收信號頻率的半波長時，陣元間噪聲相關(guān)系數(shù)為0，MVDR方法退化為常規(guī)波束形成方法(Conventional Beamforming,CBF)[13]。陣元間噪聲相關(guān)系數(shù)不為0時，通過超指向性方法對接收的空間噪聲進(jìn)行“預(yù)白化濾波”，使得加權(quán)后的各陣元接收的空間噪聲解除相關(guān)性，從而最大化陣增益[14]。

而上述這些方法存在一些弊端，如大孔徑陣列隨著陣元數(shù)的增加直接處理較難，超增益波束形成方法需要進(jìn)行復(fù)雜求逆運(yùn)算[15-16]且計算復(fù)雜度隨陣元數(shù)增加而急劇增大等。為了克服上述問題，可以對接收信號進(jìn)行子陣處理[17]。子陣處理利用不同的子陣劃分方法，按照一定的準(zhǔn)則將陣列劃分成若干個小的子陣，并對子陣輸出進(jìn)行綜合處理，可以有效降低計算復(fù)雜度，提升穩(wěn)健性[18-19]。在子陣處理中，子陣可以等效為在其中心位置的一個指向性陣元，對于空間各向同性均勻噪聲場中的指向性陣元，輸出噪聲的譜密度隨方位變化。在實(shí)際應(yīng)用中，無指向性陣元在高頻范圍中由于陣元位置誤差等影響，輸出噪聲也表現(xiàn)出具有方向性[11]。與無指向性陣元不同的是，除了陣元間距，陣元間噪聲相關(guān)系數(shù)還和指向性陣元的波束指向性有關(guān)，噪聲相關(guān)性如果再用簡單的波數(shù)-距離的sinc函數(shù)來描述，會導(dǎo)致噪聲互相關(guān)矩陣的估計存在誤差，造成波束形成和方位估計性能急劇下降等問題。

針對指向性陣元的噪聲相關(guān)系數(shù)問題，Elko等人[4]提出了在各向同性均勻噪聲場中的指向性陣元間噪聲相關(guān)系數(shù)計算方法，并利用差分傳聲器陣列的空間波束響應(yīng)可表示為cosnφ多項(xiàng)式的性質(zhì)，得到了陣列輸出噪聲相關(guān)系數(shù)的解析形式[8]。但該方法對于任意指向性的直線陣列，難以得到輸出噪聲相關(guān)系數(shù)的解析解。

本文首先給出了任意指向性的共線線列子陣在空間各向同性均勻噪聲場中噪聲相關(guān)系數(shù)的解析解，得到了子陣常規(guī)波束形成的輸出噪聲相關(guān)性的一般形式，從而可以精確對線列子陣間的噪聲協(xié)方差矩陣進(jìn)行建模。在理論推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，利用數(shù)值仿真進(jìn)行了驗(yàn)證，并討論了子陣間噪聲系數(shù)隨子陣間距變化的趨勢與子陣波束指向角、陣元數(shù)等子陣參數(shù)的關(guān)系。

1 噪聲相關(guān)性理論模型

1.1 空間任意子陣輸出噪聲相關(guān)性

考慮一個陣列包含兩個任意子陣，如圖1所示，兩個子陣分別包含M個無指向性陣元。

圖1 任意子陣結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)表示

兩個子陣的陣元位置分別為

pi,m=[xi,m,yi,m,zi,m]T。

(1)

式中：m為子陣中的陣元編號,m=1,2,…,M;i為子陣編號,i=1,2。假設(shè)信號沿垂直俯仰角θ和水平方位角φ入射，則信號方向矢量為

v(θ,φ)=-[sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ]T。

(2)

則子陣i的接收向量可表示為

ai(θ,φ)e-jkvT(pi,1-p1,1)x(f)。

(3)

式中：x(f)為子陣1的1號陣元接收的頻域快拍；ai(θ,φ)表示子陣i接收某一角度信號的導(dǎo)向矢量；j為虛數(shù)單位；k=ω/c為波數(shù)，ω為角頻率，ω=2πf，c為信號在介質(zhì)中的傳播速度；[·]T為轉(zhuǎn)置。

對各個子陣分別進(jìn)行波束形成后，子陣的加權(quán)向量wi可表示為

(4)

可得到子陣的頻域輸出

(5)

進(jìn)而可以得到子陣的輸出功率譜密度

(6)

式中：Sx(f)=x(f)xH(f)為子陣1的第1號陣元接收向量的功率譜密度。

根據(jù)定義，子陣1和子陣2輸出的互功率譜密度可以寫為

(7)

對于任意一個噪聲場，陣元接收的空間噪聲可以看作各個方向的獨(dú)立噪聲從遠(yuǎn)場入射到陣元的噪聲疊加，相關(guān)系數(shù)由下式計算：

(8)

∮ASy1y2(f)dA=

r2sinθdθdφ。

(9)

波束輸出的功率譜為

r2sinθdθdφ。

(10)

1.2 共線子陣的噪聲相關(guān)系數(shù)

如圖2所示，若將兩個線列子陣都放置在坐標(biāo)系z軸上，此時兩個子陣是共線的。令zi,m表示第i個子陣的第m個陣元在z軸上的位置，將子陣1的第1號陣元置于坐標(biāo)原點(diǎn)，即z1,1=0，此時到達(dá)各陣元的信號時間差和子陣的波束響應(yīng)只隨信號的到達(dá)角變化。

圖2 共線線列子陣結(jié)構(gòu)

將式(9)和式(10)代入式(8)，化簡得到在三維各向同性均勻噪聲場中，兩個子陣首個陣元的坐標(biāo)距離為子陣2的第1號陣元坐標(biāo)z2,1，共線線列子陣輸出噪聲相關(guān)系數(shù)γy1y2可以用波束響應(yīng)表示為[20]

(11)

式(11)計算子陣輸出的噪聲相關(guān)系數(shù)需要對各子陣的波束響應(yīng)進(jìn)行積分。Elko在2000年提出了差分傳聲器陣列間的噪聲相關(guān)系數(shù)計算方法，其中N階差分傳聲器陣列波束圖可以寫為cosn(θ)的多項(xiàng)式，進(jìn)而可以得到陣列間噪聲相關(guān)系數(shù)的解析解。而更為一般的波束形成方法需要先計算兩個子陣的空間波束響應(yīng)，再利用式(11)進(jìn)行數(shù)值積分。因此，更為一般的子陣空間波束響應(yīng)難以解析地得到，導(dǎo)致數(shù)值積分計算不僅存在誤差，而且計算過程較為復(fù)雜。

在此，本文推導(dǎo)出三維各向同性均勻噪聲場中，利用子陣波束形成器的權(quán)值向量計算子陣間噪聲相關(guān)系數(shù)的解析方法。

根據(jù)定義，子陣的波束響應(yīng)P1和P2可展開為

(12)

將式(12)代入式(9)，子陣輸出互功率譜可寫為

(13)

上式中的積分項(xiàng)可簡化為

(14)

將式(14)代入式(13)中，得到子陣輸出互功率譜的解析表示為

(15)

同理，可以得到兩個子陣輸出的功率譜分別為

(16)

將式(15)和式(16)代入式(8)，可得

(17)

由上式可知，空間各向同性均勻噪聲場中，子陣輸出的噪聲相關(guān)系數(shù)可以用兩個子陣的加權(quán)向量以及子陣的陣元坐標(biāo)解析地計算，不僅避免了數(shù)值雙重積分帶來的誤差，同時計算的復(fù)雜度大大降低。

對于兩個陣型完全相同的子陣，且加權(quán)向量也完全相同時，簡化式(17)可以得到

(18)

進(jìn)一步，若兩個子陣是完全相同的均勻線列陣，且子陣的陣元間距為d，則

(19)

當(dāng)子陣內(nèi)采用的是常規(guī)波束形成時，子陣的加權(quán)向量為wCBF=a(θ)/M，此時有

(20)

將式(20)代入式(19)，得到

(21)

2 仿真及結(jié)果分析

空間各向同性均勻噪聲場可以看作來自空間中各個不同方向噪聲源產(chǎn)生的遠(yuǎn)場平面波疊加，且這些噪聲源互不相關(guān)且均是平穩(wěn)的隨機(jī)噪聲[21]。本文仿真中，聲速均取水下的典型聲速1 500 m/s，均勻噪聲場由均勻分布在半徑遠(yuǎn)大于陣列孔徑的空間球面上的360個獨(dú)立噪聲源構(gòu)成，噪聲源產(chǎn)生的復(fù)高斯隨機(jī)序列的采樣頻率為8 000 Hz，序列長度為2 000點(diǎn)。對于每個陣元，將接收的所有方向的噪聲疊加，再將噪聲通過中心頻率為1 kHz的帶通濾波器(帶通頻率范圍為980～1 020 Hz)，最終得到子陣中每個陣元的窄帶噪聲。

2.1 共線子陣的噪聲相關(guān)性分析

由式(21)可知，子陣噪聲相關(guān)性受子陣陣元數(shù)、子陣的波束指向角以及子陣中心間距三個變量影響。假設(shè)子陣為均勻線列陣，陣元間距為0.75 m，且兩個子陣陣元數(shù)以及加權(quán)系數(shù)都相同，采用常規(guī)波束形成。在子陣共線場景下，分別對子陣陣元數(shù)、子陣波束指向角和子陣中心間距對噪聲相關(guān)系數(shù)的影響進(jìn)行分析。

2.1.1 子陣陣元數(shù)的影響

當(dāng)兩個子陣的波束指向角都為90°時，子陣陣元數(shù)取1、3、6、9。按照公式(12)進(jìn)行500次蒙特卡洛仿真，得到常規(guī)波束加權(quán)下噪聲相關(guān)系數(shù)的仿真值；按照公式(19)計算常規(guī)波束加權(quán)下噪聲相關(guān)系數(shù)理論曲線。如圖3所示，隨著陣元數(shù)增加，子陣間噪聲相關(guān)系數(shù)隨子陣中心間距的變化趨于平緩，四條曲線先是單調(diào)下降，最后在噪聲相關(guān)系數(shù)為0附近呈振蕩衰減并趨于0?？梢钥闯?，四條曲線的第一個零點(diǎn)，即子陣噪聲相關(guān)半徑分別為0.5、1.5、3、4.5個波長，此時，兩個子陣組成的陣列是陣元總數(shù)為2M的均勻直線陣。也就是說，當(dāng)兩個完全相同的M元子陣通過常規(guī)波束形成指向90°時，子陣間的相關(guān)半徑為0.5Mλ。

(a)M=1

2.1.2 子陣波束指向角的影響

固定子陣陣元數(shù)M=9，波束指向角θ從0°端射方向變化到90°正橫方向。如圖4所示，子陣波束指向角指向0°時，噪聲相關(guān)系數(shù)隨子陣間距波長比變化劇烈，類似衰減余弦曲線。隨著波束指向角的增大，噪聲相關(guān)性波動幅度減小且波動頻率也減小，曲線更快趨于平穩(wěn)。當(dāng)波束指向90°時，噪聲相關(guān)系數(shù)曲線隨著間距波長比單調(diào)下降，在曲線第一次穿過零點(diǎn)后，逐漸趨近于0，振蕩幾乎消失。

(a)0°

為了進(jìn)一步研究波束指向角對子陣噪聲相關(guān)性的影響，采用Chebyshev加權(quán)方式進(jìn)行對比，給定旁瓣級為-60 dB。同樣按照公式(12)進(jìn)行500次蒙特卡洛仿真，得到噪聲相關(guān)系數(shù)的仿真值；分別按照公式(19)計算Chebyshev加權(quán)下噪聲相關(guān)系數(shù)理論曲線。如圖5所示，隨著波束指向角的增大，和采用CBF加權(quán)時類似，噪聲相關(guān)性函數(shù)趨于平緩且噪聲相關(guān)半徑逐漸增大，可以看出，此時影響噪聲相關(guān)性的最重要因素為主瓣寬度。和圖4相比，波束指向90°時，Chebyshev加權(quán)和CBF加權(quán)的主瓣寬度分別為36°和22°，主瓣寬度的增加導(dǎo)致噪聲相關(guān)半徑的減小，即零點(diǎn)更小，且波動幅度變小。

(a)0°

2.2 子陣噪聲相關(guān)性對子陣波束形成的影響

假設(shè)空間各向同性均勻噪聲場中，存在一個包含100個無指向性陣元的均勻直線陣。對陣列采用MVDR以及分子陣MVDR兩種波束形成方法進(jìn)行波束形成，并使波束指向端射方向。分子陣處理時，將陣列按陣元編號均分為10個子陣，每個子陣包含10個相鄰無指向性陣元，子陣間無覆蓋。對每個子陣進(jìn)行MVDR波束形成，利用式(17)計算每個子陣輸出噪聲的互相關(guān)矩陣，再次對輸出進(jìn)行MVDR波束形成，最終得到一個總的加權(quán)系數(shù)向量。分別計算波束形成器的白噪聲增益(White Noise Gain,WNG)，該指標(biāo)反映了波束形成器對誤差的敏感程度，其值越高，波束形成器越穩(wěn)健。

如圖6所示，MVDR波束形成過程中需要對100階的陣元噪聲協(xié)方差矩陣求逆，在陣元間距波長小于0.44時，陣元間噪聲相關(guān)系數(shù)較大，使得噪聲協(xié)方差矩陣近似奇異，從而引起100階的噪聲協(xié)方差矩陣求逆出現(xiàn)誤差，導(dǎo)致波束形成性能急劇下降。對于子陣MVDR方法，子陣內(nèi)陣元間10階的噪聲協(xié)方差矩陣求逆相對于100階求逆，不容易出現(xiàn)奇異值和誤差。但子陣間MVDR波束形成時，由于波束指向端射方向，根據(jù)圖4(a)的規(guī)律，子陣間噪聲相關(guān)系數(shù)波動較大。相鄰兩個子陣聲學(xué)中心的間距為10倍陣元間距，當(dāng)子陣聲學(xué)中心間距位于子陣輸出噪聲相關(guān)系數(shù)絕對值最大值時，子陣間MVDR波束形成的WNG升高，使得子陣MVDR方法的指向性指數(shù)出現(xiàn)周期性凹槽，WNG出現(xiàn)周期性凸起。相比較于MVDR方法，本文方法穩(wěn)健性較高，且指向性指數(shù)也維持在一個較高的水平。因此在劃分子陣時，需要合適的子陣陣元數(shù)保證子陣內(nèi)的噪聲協(xié)方差矩陣求逆時不會出現(xiàn)奇異值，且需要考慮子陣波束指向?qū)ψ雨囕敵鲈肼曄嚓P(guān)性的影響，從而保證子陣波束形成的性能。

圖6 100元均勻直線陣波束主瓣指向端射方向時兩種波束形成的白噪聲增益對比圖

3 結(jié) 論

本文研究了子陣在空間各向同性均勻噪聲場中輸出噪聲的相關(guān)性，給出了基于子陣加權(quán)向量的共線子陣在三維均勻噪聲場中輸出噪聲相關(guān)系數(shù)的解析計算公式。利用該公式，分析了子陣不同參數(shù)對輸出噪聲相關(guān)性的影響，結(jié)果表明子陣陣元數(shù)、子陣波束指向角和子陣中心間距是影響子陣輸出噪聲相關(guān)性的最主要因素，而子陣波束旁瓣的影響較小。隨著子陣間距的增大，輸出噪聲相關(guān)性總體上趨近于0。主瓣寬度決定了相關(guān)系數(shù)隨間距變化曲線的衰減強(qiáng)弱，主瓣寬度越寬，噪聲相關(guān)系數(shù)隨子陣間距變化曲線的波動幅度越小，兩個子陣的噪聲相關(guān)半徑越小。波束指向和陣列端射方向夾角決定了相關(guān)系數(shù)變化曲線的波動頻率，夾角為0°時波動頻率最大，相關(guān)系數(shù)波動最為劇烈；隨著夾角的增大，當(dāng)夾角為90°時，噪聲相關(guān)系數(shù)曲線波動最小，幾乎單調(diào)下降到0附近。針對共線線列子陣的噪聲相關(guān)性分析，進(jìn)行了蒙特卡洛仿真，結(jié)果驗(yàn)證了本文理論的正確性。隨后進(jìn)一步對子陣波束形成進(jìn)行了數(shù)值仿真，結(jié)果表明通過子陣處理，可以有效提高M(jìn)VDR波束形成的穩(wěn)健性。