淺談通過數(shù)學(xué)周記培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)反思習(xí)慣

寧小紅

反思即反省，“反思”在現(xiàn)代漢語中的解釋是“思考過去的事情，從中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)”。從心理學(xué)的角度看，反思就是元認(rèn)知，是對自己的認(rèn)識過程及結(jié)果的認(rèn)識，是全方位地對問題及解決問題的思維過程進(jìn)行全面考察分析和思考的活動。其中，《中國高考評價體系》就提到了學(xué)生應(yīng)該具備“思維認(rèn)知能力”的數(shù)學(xué)能力。經(jīng)過素質(zhì)教育的培養(yǎng)，思維認(rèn)知能力強(qiáng)的學(xué)習(xí)者應(yīng)當(dāng)能夠獨(dú)立思考，通過自己的邏輯思辨，發(fā)表獨(dú)立的、有創(chuàng)造性的看法，能夠從多個視角觀察、思考同一個問題。

不少研究表明，數(shù)學(xué)日記有助于學(xué)生反思數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的發(fā)展。通過數(shù)學(xué)日記培養(yǎng)學(xué)生反思習(xí)慣在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要意義。數(shù)學(xué)日記提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的價值與意義是國內(nèi)外眾多研究者所一致認(rèn)同的，但是數(shù)學(xué)日記在實(shí)際的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施卻受到許多時間空間的限制。在高考備考的壓力下和多科作業(yè)的負(fù)擔(dān)下，學(xué)生通過每天寫數(shù)學(xué)日記的形式來進(jìn)行反思每天的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程顯得困難。因此我們換了種少受時間空間限制的方式，通過實(shí)施數(shù)學(xué)周記的形式來實(shí)踐探索其對學(xué)生數(shù)學(xué)反思習(xí)慣的培養(yǎng)。通過一年多的行動研究，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)周記有助于培養(yǎng)學(xué)生以下幾方面的反思習(xí)慣。

一、 對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容進(jìn)行反思

在《中國高考評價體系》中，必備知識是指即將進(jìn)入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者在面對與學(xué)科相關(guān)的生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時，高質(zhì)量地認(rèn)識問題、分析問題、解決問題所必須具備的知識。高中數(shù)學(xué)必備知識內(nèi)容豐富，高二的數(shù)學(xué)內(nèi)容又相較高一難度上增加了不少，學(xué)生經(jīng)過了一周的學(xué)習(xí)之后，難免會出現(xiàn)對一些數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、公式法則、性質(zhì)理解得不夠深入，掌握得不夠好的現(xiàn)象。那么這個時候，教師可以針對本周內(nèi)的某個重難點(diǎn)知識內(nèi)容，提出一些問題，讓學(xué)生通過寫作的方式對某個概念、某個命題進(jìn)行深入的思考探索，幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵，掌握命題中對象的關(guān)系及相關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律。例如在學(xué)完二面角的相關(guān)概念后，我們在這周內(nèi)學(xué)生的練習(xí)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生沒能很好地理解這個概念，因此在周末的時候，我們設(shè)計(jì)了若干問題，讓學(xué)生在周記本上用寫作的方式回答。

設(shè)計(jì)如下：

1. 二面角的平面角如何定義？請用文字語言、圖形語言和符號語言描述一下；

2. 你認(rèn)為為什么這樣定義二面角的平面角？

3. 二面角的平面角有多少個？它們有什么關(guān)系？

4. 作出兩個平面，畫出兩個二面角的平面角，并說說畫二面角的平面角的注意要點(diǎn)；

5. 試作出正方體，連接各面的對角線，探究圖形中二面角的大??；

6. 挑一個本周內(nèi)你遇到的不會做的與二面角相關(guān)的題目，進(jìn)行再次探究。

通過對這一組問題的探究，學(xué)生對二面角的平面角概念進(jìn)行了深入的反思，對概念進(jìn)行再建構(gòu)。明確概念的內(nèi)涵外延，并對概念進(jìn)行了初步的應(yīng)用。當(dāng)然，在我們的實(shí)踐過程中還采取其他的方式來促使學(xué)生對相關(guān)知識進(jìn)行反思，例如開放性地讓學(xué)生談自己在一周學(xué)習(xí)過程中遇到哪些困難，對哪些知識點(diǎn)理解不夠到位，讓他們通過查找資料自學(xué)并寫下自學(xué)后對相關(guān)知識的認(rèn)識與感悟；再如當(dāng)學(xué)習(xí)完某一章節(jié)知識的時候，我們還通過指導(dǎo)學(xué)生畫思維圖來梳理相關(guān)知識的聯(lián)系與區(qū)別，使學(xué)生加強(qiáng)對知識的整體性把握，如圖1所示。

圖1

二、 對數(shù)學(xué)解題過程進(jìn)行反思

在教學(xué)過程中，我們經(jīng)常會遇到這樣一個問題，在某一不是很難的類型題上教師多次講解，學(xué)生多次練習(xí)，學(xué)生還是掌握不到位。那么這時候除了教師要合理組織相關(guān)內(nèi)容，再次講解清晰之外，更重要的是學(xué)生自己要再深入分解問題、分析條件目標(biāo)、掌握解決問題的思維方法。所以在我們的教學(xué)中如果出現(xiàn)這種情況，我們會再找一兩道相關(guān)的典型題，讓學(xué)生在周末的時候，從背景分析(即知識點(diǎn)分析)、條件分析、目標(biāo)分析、思路分析(可從多角度考慮，嘗試多種方法)、解題過程呈現(xiàn)、解題回顧(歸納解題方法策略，分析此類題的難點(diǎn)與關(guān)鍵點(diǎn))等六個方面對題目進(jìn)行全面深入地分析，使學(xué)生把握問題的本質(zhì)，體悟題目中蘊(yùn)含的思想方法。例如在我們的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生對“最短弦、最長弦”和“切線長最短”的類型題掌握得不好，因此我們設(shè)計(jì)如下兩個問題，讓學(xué)生從以上六個方面進(jìn)行反思。

反思題1 直線l：2mx+y-m-1=0與圓C：x2+(y-2)2=4交于A、B兩點(diǎn)，則當(dāng)弦AB最短時，直線l的方程為。

反思題2 已知P為直線l：x+3y-12=0上一點(diǎn)，過P作圓C：(x-2)2+y2=1的切線，則切線長最短時的切線方程為。

通過這兩個典型題的深入探究，可使學(xué)生抓住解決此類型題的關(guān)鍵是要將弦長或切線長轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離與半徑的勾股關(guān)系，從中體悟轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法。如此反思，從效果上來看，比聆聽教師多次“強(qiáng)調(diào)”效果要好，因?yàn)檫@促進(jìn)了學(xué)生對這道題解答時包含的過程性知識(對知識結(jié)果和知識應(yīng)用的體驗(yàn)，且是內(nèi)隱的、動態(tài)變化的)和程序性知識(題目該如何解答，每一個步驟是怎樣的)的整理和反思。反思是一種習(xí)慣和意識，不斷地反思，才會不斷進(jìn)步，如圖2所示。

圖2

三、 對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行反思

數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)解題及數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)認(rèn)識，對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)具有非常重要的意義。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)中的一般性的原理，它有高度的概括性，有助于學(xué)習(xí)的遷移，所以在平時的教學(xué)中要注重數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。在高中的許多數(shù)學(xué)內(nèi)容中以及數(shù)學(xué)問題中都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想方法。通過周記的形式使學(xué)生對這些數(shù)學(xué)知識內(nèi)容和問題進(jìn)行深入探究反思，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟。例如讓學(xué)生在周記中對數(shù)學(xué)概念的形成過程進(jìn)行反思，并讓學(xué)生思考在概念形成過程中應(yīng)用了哪些思想方法。再如在題目探究型周記中，設(shè)計(jì)解題回顧環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生對整個解題過程進(jìn)行反思，總結(jié)題目中的知識內(nèi)容，挖掘蘊(yùn)含在題目中的數(shù)學(xué)思想方法，顯化數(shù)學(xué)思想方法，在這個過程中逐步培養(yǎng)學(xué)生從思想方法的高度審視平時遇到的數(shù)學(xué)問題。

有位同學(xué)在學(xué)完“平面向量的應(yīng)用”后，在周記中說道：“老師在講‘平面向量的應(yīng)用’這一節(jié)內(nèi)容時，著重講了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，讓我印象非常深刻。在解題中先確定已知模和夾角的平面向量基底，然后將目標(biāo)中的未知向量通過向量基本運(yùn)算先轉(zhuǎn)化為基底表示，再往下運(yùn)算。這種將未知量轉(zhuǎn)化為已知量的思維方式真的太妙了！”我對這位同學(xué)的批語是：“很高興看到你對轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法有較深的體悟，如果你能在平時的解題和學(xué)習(xí)過程中也多用轉(zhuǎn)化與化歸去思考問題你會發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想有更廣的應(yīng)用。”

四、 對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法進(jìn)行反思

定期地反思近段時期自己在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法上的不足，總結(jié)自己這段時間以來好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，可以促使學(xué)生發(fā)展自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。而數(shù)學(xué)周記可以給學(xué)生提供一個很好的自我反思總結(jié)的路徑，在周記中引導(dǎo)學(xué)生反思自己一周以來做得好的與不足的地方。在每周的周記內(nèi)容中我們可以設(shè)計(jì)這樣的問題：通過一周的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)你覺得有哪些收獲與成就？在一周的學(xué)習(xí)過程中有哪些不足？接下來如何改進(jìn)？有同學(xué)在周記中寫道：“這周做得不夠好的是錯題沒有及時提問解決，導(dǎo)致問題堆積，下次遇到問題要規(guī)定時間，及時處理?！薄熬€性回歸分析這節(jié)課沒來得及進(jìn)行課前預(yù)習(xí)，上課沒能很好地跟上老師的節(jié)奏，以后新課要提前預(yù)習(xí)，帶著問題去聽課?！薄爸苋龑懽鳂I(yè)前沒有先去梳理當(dāng)天學(xué)習(xí)的新內(nèi)容，對所學(xué)新知識不夠熟悉，導(dǎo)致晚修寫作業(yè)效率低下，占用太多時間，下次要注意。”……通過這樣的反思，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)自己的不足并進(jìn)行及時的調(diào)整，可以促使學(xué)生養(yǎng)成定期對自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行自我監(jiān)控和調(diào)節(jié)的良好習(xí)慣，進(jìn)而提升學(xué)生的元認(rèn)知能力。

五、 對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感態(tài)度進(jìn)行反思

“數(shù)學(xué)情感”存在于教學(xué)過程的各個環(huán)節(jié)之中，具有積極性、消極性、雙重性與不確定性。長期以來，數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生的數(shù)學(xué)情感關(guān)注較少，教學(xué)活動多數(shù)是針對高考去設(shè)計(jì)與實(shí)施。很多教師下課后，很少與學(xué)生進(jìn)行交流，至多通過平時的批改作業(yè)了解學(xué)生的一些解題情況，所以數(shù)學(xué)教師也需關(guān)注學(xué)生的情感體驗(yàn)(興趣感、成功感、焦慮感和厭倦感)。

數(shù)學(xué)周記可作為師生間進(jìn)行交流的有效媒介，它可以幫助教師發(fā)現(xiàn)、了解學(xué)生的個體差異，減輕學(xué)生的心理壓力和精神憂慮，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)自信心，使之在輕松愉快的環(huán)境中能動地掌握數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，從而達(dá)到普遍提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的效果。實(shí)際上，近幾年有非常多的研究表明，非智力因素對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有非常重要的助推作用。而在我們的實(shí)際教學(xué)中也可以發(fā)現(xiàn)，凡對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有強(qiáng)烈興趣的學(xué)生，都能夠積極主動地進(jìn)行數(shù)學(xué)探索，所以這類學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)都不會差。在周記中我們可以向?qū)W生提出這樣的問題：在這一周的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，有什么經(jīng)歷是讓你覺得有趣或愉悅的？有什么經(jīng)歷是讓你感到糟糕或焦慮的？你有什么話想對老師說？

一個學(xué)生寫道：“我的數(shù)學(xué)很差，高中之后數(shù)學(xué)更差，覺得數(shù)學(xué)老師離我好遠(yuǎn)好遠(yuǎn)，永遠(yuǎn)都跟不上老師的步驟。我上課時，都不敢看你，生怕你會提問我，我也不敢來問你問題，怕您覺得我問的問題太簡單了……”我寫下了：“你應(yīng)該重拾信心和對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，老師和你一起努力，從現(xiàn)在的開始，一點(diǎn)一點(diǎn)努力把數(shù)學(xué)提高。記得多來找我。加油！”

還有一位同學(xué)在某一周的數(shù)學(xué)周記上寫道：“又是被數(shù)學(xué)折服的一周，我認(rèn)為老師講哲學(xué)很有幾把刷子，對學(xué)生的心理也分析得很透徹，真不考慮去考個心理輔導(dǎo)證嗎？或許大家就不會在數(shù)學(xué)的世界里煩惱了，雖然我認(rèn)為寫數(shù)學(xué)就是煩惱！希望老師您可以多給我們煲煲心靈雞湯，這樣似乎就可以給已經(jīng)被數(shù)學(xué)海洋推得無所適從的我一塊沖浪板，雖然摔下板的概率不算低，但起碼有個底，總好過赤腳踏上浪尖啦！”我在這位同學(xué)的周記上回復(fù)道：“謝謝你對老師的認(rèn)可與信任，向我傾訴了你對數(shù)學(xué)的情感，雖然你過去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感體驗(yàn)不是很好，但是我相信只要我們攜手共同努力，慢慢調(diào)整心態(tài)，慢慢進(jìn)步，我們一定可以在數(shù)學(xué)的海洋中自由暢快地游玩！”

通過這樣的交流對話，學(xué)生找到了和老師深入交流的窗口，學(xué)生可以在周記中表達(dá)其內(nèi)心深處對數(shù)學(xué)的真實(shí)情感，對那些失去數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心的同學(xué)可以及時得到教師的鼓勵、肯定與指導(dǎo)，對緩解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)焦慮有很大幫助。同時對教師而言，可以及時了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感動態(tài)，可以在后續(xù)的教學(xué)中進(jìn)行及時的干預(yù)與調(diào)整。對拉近師生關(guān)系、改變學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)知、培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的親近感有很大的幫助。

六、 對數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思

學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中的學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)專注力對其學(xué)好數(shù)學(xué)至關(guān)重要，因?yàn)閿?shù)學(xué)課堂是學(xué)生在校學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最重要場所和最重要環(huán)節(jié)。如果學(xué)生能養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)習(xí)慣，將對其高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生很好的助推作用。反之，將對其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生不良影響。所以，通過周記幫助學(xué)生反思每周在課堂中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程顯得很有必要，通過反思學(xué)生可以對自己的課堂行為進(jìn)行及時的調(diào)整，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)習(xí)慣和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)反思習(xí)慣，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

有同學(xué)在自己的周記中寫道：“學(xué)條件概率這一節(jié)課的時候，我走神了，沒有緊跟老師的思路節(jié)奏，導(dǎo)致沒有很好地理解條件概率的定義，條件概率公式也沒有搞懂，導(dǎo)致課后花了很長的時間惡補(bǔ)后才勉強(qiáng)把這一塊知識搞清楚。下次切記不能輕易走神，多跟老師進(jìn)行眼神互動，緊跟著老師的節(jié)奏走。”還有同學(xué)寫道：“通過回憶自己的課堂學(xué)習(xí)過程，我發(fā)現(xiàn)自己的專注能力真的很差，很容易受到外界因素的干擾，例如窗外有個人走過，我會不自主地望向窗外，老師背身板書的時候容易開小猜，決心改正過來?！蔽医o這位同學(xué)的回復(fù)是：“看到你能真誠地反思自己在課堂中存在的問題老師真的很開心，更開心的是看到你通過反思，發(fā)現(xiàn)了自己存在的不足，并且下定決心改過。我相信只要我們平時有意識地去鍛煉我們的專注能力，你的專注能力就會逐步提高?！?/p>

七、 對數(shù)學(xué)素養(yǎng)進(jìn)行反思

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不是簡單一句話。數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)探索的時間和空間是有限的，這就需要滲透到平時學(xué)習(xí)中。學(xué)生通過數(shù)學(xué)周記的形式有更大的空間進(jìn)行探索和了解數(shù)學(xué)文化。在講到楊輝三角與二項(xiàng)式定理的關(guān)系后，周記自行探索楊輝三角里面有豐富的數(shù)學(xué)規(guī)律。

一個學(xué)生在周記中寫道：“如圖3我發(fā)現(xiàn)第一斜列均為1，第二斜列則為自然數(shù)，第三斜數(shù)值是1、3、6、10……，這種熟悉的數(shù)據(jù)讓我想起來，第三斜列為三角形數(shù)。第四斜列是什么呢？我雖然不知道，但可以肯定是數(shù)學(xué)中特有的。我還發(fā)現(xiàn)里面隱藏了斐波那契列，如圖斜線相加在一起，分別是1、1、2、3、5、8、13、21……，當(dāng)我發(fā)現(xiàn)的時候我太不可思議，原以為只是簡單的二項(xiàng)定理展開式的系數(shù)。沒想到卻有這么豐富數(shù)學(xué)內(nèi)含，感覺自己喜歡上數(shù)學(xué)了?！崩蠋熃o的點(diǎn)評是：“你探索得很好，能從楊輝三角到三角形數(shù)，再到斐波那契列?？磥韺?shù)學(xué)文化也是了解不少喲。老師告訴你第四斜列是四面體數(shù)，第五斜列之后等你上了大學(xué)可以再去研究。其實(shí)里面很多有趣的性質(zhì)，我們可以一起繼續(xù)探索?！睂W(xué)生通過數(shù)學(xué)周記對問題進(jìn)行探索，并記錄過程和感悟，也對數(shù)學(xué)文化有了進(jìn)一步認(rèn)識。

圖3

八、 結(jié)語

新課程背景下，數(shù)學(xué)周記是在教師引導(dǎo)下著眼于發(fā)展學(xué)生的興趣、需求和個人特長，并關(guān)注學(xué)生的個性發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生從被動地學(xué)習(xí)，逐步走向主動探索及反思，進(jìn)而養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)反思習(xí)慣。這種的數(shù)學(xué)反思習(xí)慣，在情感、態(tài)度與價值觀方面，也在數(shù)學(xué)思維能力以及數(shù)學(xué)創(chuàng)造性等方面，都有非常積極的影響。培養(yǎng)數(shù)學(xué)反思習(xí)慣，還可以有更多的形式，希望在以后的教學(xué)與研究過程中不斷地探究與總結(jié)。