實(shí)例在“自動(dòng)控制原理”教學(xué)中的應(yīng)用*

于巧娜 ， 高聯(lián)學(xué)

（濱州學(xué)院電氣工程學(xué)院，山東 濱州 256600）

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，自動(dòng)控制應(yīng)用的場(chǎng)合越來越多，尤其在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、航空航天、國防科技等領(lǐng)域?！白詣?dòng)控制原理”是自動(dòng)化專業(yè)必修課，是“現(xiàn)代控制原理”“電機(jī)控制”以及“自動(dòng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)”課程的基礎(chǔ)，只有學(xué)習(xí)了“自動(dòng)控制原理”，才能進(jìn)一步學(xué)習(xí)相關(guān)的控制課程[1-2]。學(xué)習(xí)“自動(dòng)控制原理”課程的目的是讓學(xué)生掌握經(jīng)典控制理論和狀態(tài)空間方法的相關(guān)知識(shí)，主要包括自動(dòng)控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立、穩(wěn)定性分析和穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算、根軌跡的繪制和頻率分析、系統(tǒng)的校正設(shè)計(jì)、非線性系統(tǒng)的分析方法、采樣系統(tǒng)理論和現(xiàn)代控制原理基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)的內(nèi)容理論性較強(qiáng)，學(xué)生理解起來比較困難，會(huì)出現(xiàn)學(xué)生掌握了相關(guān)知識(shí)但不知道具體的應(yīng)用場(chǎng)合、理論聯(lián)系實(shí)際的能力比較差的情況。因此，需在課堂上引入現(xiàn)代科學(xué)案例，提高學(xué)生對(duì)課程的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用能力，進(jìn)而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。課題組以具體的案例設(shè)計(jì)將現(xiàn)代科技與課程相關(guān)知識(shí)相結(jié)合，融入講課過程，以讓學(xué)生了解自動(dòng)控制應(yīng)用的場(chǎng)合，如何提出問題，如何運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)解決問題，以及最終如何驗(yàn)證問題是否得到真正解決。

1 案例導(dǎo)入

上課之前，通過視頻向同學(xué)們展示“哈勃遺產(chǎn)場(chǎng)”（HLF）照片圖組，吸引同學(xué)們的注意力。同時(shí)對(duì)圖片進(jìn)行介紹：哈勃遺產(chǎn)場(chǎng)是迄今最全面、最完整的宇宙圖譜，這些照片是由哈勃望遠(yuǎn)鏡在16年里拍攝的大約7 500張照片拼接成的，包含星系大概有65 000個(gè)，這些星系有的至少具有133億歲的高齡。然后展示現(xiàn)仍在服役的哈勃望遠(yuǎn)鏡的工作視頻。再介紹哈勃望遠(yuǎn)鏡的歷史：哈勃望遠(yuǎn)鏡是以天文學(xué)家愛德溫·哈勃的名字命名的，是運(yùn)行在地球軌道上的望遠(yuǎn)鏡，哈勃望遠(yuǎn)鏡接收來自地面控制中心的指令，按照指令要求拍攝照片并將照片通過無線數(shù)據(jù)的形式傳回地球，因其在地球大氣層之外，可以獲得絕佳的拍攝視角。于1990年發(fā)射之后，成為天文史上最重要的觀測(cè)儀器。哈勃望遠(yuǎn)鏡只有2.4米的鏡頭，但是卻可以將400英里以外的視場(chǎng)聚集在一個(gè)硬幣上。然而，哈勃望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)的圖片會(huì)存在一定的偏差，于1993年12月進(jìn)行了一次大規(guī)模的校正任務(wù)?，F(xiàn)根據(jù)已知的條件分析如何實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的校正過程，以及分析校正后的系統(tǒng)是否達(dá)到校正要求。

2 教學(xué)過程

實(shí)現(xiàn)哈勃望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)的校正，需要分析哈勃望遠(yuǎn)鏡所處的環(huán)境是什么，輸入信號(hào)是什么，干擾信息是什么。此時(shí)就需要教師將現(xiàn)實(shí)的輸入和干擾抽象為課本所學(xué)的信號(hào)類型，并引導(dǎo)學(xué)生分析典型外作用力，其主要包括以下方面。

根據(jù)上述信號(hào)類型，可以認(rèn)為哈勃望遠(yuǎn)鏡接收的指令信號(hào)為單位階躍信號(hào)和斜坡信號(hào)，受到來自外太空的干擾信號(hào)有階躍信號(hào)和脈沖信號(hào)[3]，而脈沖信號(hào)對(duì)系統(tǒng)的影響比較小，可以認(rèn)為對(duì)哈勃望遠(yuǎn)鏡的干擾信號(hào)主要為脈沖信號(hào)。因此，上述系統(tǒng)校正的目標(biāo)主要是選擇合適的K和K1值，使系統(tǒng)達(dá)到以下目標(biāo)：1）當(dāng)系統(tǒng)的輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)輸出的超調(diào)量不超過10%；2）當(dāng)系統(tǒng)的輸入為斜坡函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差達(dá)到最小值；3）系統(tǒng)在受到階躍信號(hào)的干擾下，系統(tǒng)受到的影響盡可能地小[4]。哈勃望遠(yuǎn)鏡指向系統(tǒng)模型如圖1所示。由圖1可知，系統(tǒng)有內(nèi)環(huán)，還需將系統(tǒng)框圖簡(jiǎn)化為最簡(jiǎn)系統(tǒng)。應(yīng)用動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換，可以將系統(tǒng)簡(jiǎn)化為如圖2所示的系統(tǒng)。

圖1 哈勃望遠(yuǎn)鏡指向系統(tǒng)

圖2 簡(jiǎn)化框圖

由圖2可以得出系統(tǒng)在指令信號(hào)和干擾信號(hào)下系統(tǒng)的輸出為：

對(duì)系統(tǒng)超調(diào)量分析時(shí)，需要知道只有系統(tǒng)接收到單位階躍信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)才會(huì)產(chǎn)生超調(diào)量。這里所涉及的相關(guān)知識(shí)為：控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，可以劃分為過渡過程和穩(wěn)態(tài)過程。過渡過程指的是系統(tǒng)從初始狀態(tài)到接近最終穩(wěn)態(tài)的響應(yīng)過程；穩(wěn)態(tài)過程指的是時(shí)間t趨向于無窮的輸出狀態(tài)。系統(tǒng)的性能指標(biāo)滿足：1）延遲時(shí)間，為輸出響應(yīng)曲線上升到穩(wěn)態(tài)值的50%時(shí)所需的時(shí)間；2）上升時(shí)間，為輸出響應(yīng)曲線上從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間；3）峰值時(shí)間，為輸出響應(yīng)曲線中輸出值超過穩(wěn)態(tài)值達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間[5]；4）超調(diào)量，在輸出響應(yīng)曲線上超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏離值和穩(wěn)態(tài)值之比時(shí)，即5）穩(wěn)態(tài)誤差，當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的實(shí)際值與期望值之差，即

系統(tǒng)的誤差分析中，首先要判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的定理主要有赫爾維茨判據(jù)、林納德-奇帕特判據(jù)、勞斯判據(jù)。勞斯判據(jù)又稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，勞斯于1877年提出的穩(wěn)定性判據(jù)能夠判定一個(gè)多項(xiàng)式方程中是否存在位于復(fù)平面右半部的正根，而不必求解方程。由此勞斯獲得了亞當(dāng)獎(jiǎng)。勞斯判據(jù)是一種代數(shù)判據(jù)方法。它是根據(jù)系統(tǒng)特征方程式來判斷特征根在S平面的位置，從而決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于不必求解方程，為系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判斷帶來了極大便利。假若勞斯陣列表中第一列系數(shù)均為正數(shù)，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。假若第一列系數(shù)有負(fù)數(shù)，則第一列系數(shù)符號(hào)的改變次數(shù)等于在右半平面上根的個(gè)數(shù)。勞斯判據(jù)不僅可以判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，即系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，而且也可檢驗(yàn)系統(tǒng)是否有一定的穩(wěn)定裕量，即相對(duì)穩(wěn)定性[6]。另外，勞斯判據(jù)還可用來分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響和鑒別延滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)前系統(tǒng)中，可以采用勞斯判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算只要應(yīng)用的是終值定理，若e(t)的拉普拉斯變換為E(s)，且存在，則有。上述定理需要注意的問題為：在計(jì)算系統(tǒng)誤差的終值（穩(wěn)態(tài)誤差）時(shí)，遇到的誤差的象函數(shù)一般是s的有理分式函數(shù)，這時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臉O點(diǎn)均在左半面，就可保證成立。sE(s)的極點(diǎn)均在左半面的條件中，蘊(yùn)涵了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件[7]。

介紹完相關(guān)的知識(shí)后，就可以繼續(xù)對(duì)哈倫望遠(yuǎn)鏡進(jìn)一步的求解。首先選擇K和K1值滿足對(duì)單位階躍輸入信號(hào)的超調(diào)量要求。令R(s)=A/S，D(S)=0，可以求出：

為了使超調(diào)量不超過10%，系統(tǒng)的阻尼比應(yīng)為0.6，同時(shí)可以求出在阻尼比為0.6時(shí)，系統(tǒng)的超調(diào)量為9.5%，滿足了系統(tǒng)對(duì)超調(diào)量的要求。因此，可以暫時(shí)認(rèn)定系統(tǒng)的阻尼比就為0.6[8-9]。

接下來對(duì)系統(tǒng)在輸入為單位斜坡函數(shù)信號(hào)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)輸入R(s)=Bt，t＞0時(shí)，根據(jù)誤差公式可以求得：

讓同學(xué)們自行推導(dǎo)由單位階躍干擾引起的穩(wěn)態(tài)誤差，其結(jié)果為（-1/K）。根據(jù)上述誤差結(jié)果可知，增大K可以減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差ess，也就是降低了干擾信號(hào)而引起的瞬態(tài)響應(yīng)[8]。因此，就需要求出一個(gè)比較大的K和較大的K/K1，以確保系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)為單位斜坡函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的輸出具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差[10]。與此同時(shí)，還需要確保前面已經(jīng)確定的阻尼比為0.6時(shí)，來減小超調(diào)量。

為了完成對(duì)哈倫望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，需要對(duì)系統(tǒng)的K值進(jìn)行求解。當(dāng)阻尼比為0.6時(shí)，系統(tǒng)的特征方程為[1]：

根據(jù)上述可知，若選擇K=25，則K1=6、K/K1=4.17。若選擇K=100，則K1=12、K/K1=8.33。在實(shí)際的應(yīng)用系統(tǒng)中，總是希望系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，因此，必須對(duì)K值進(jìn)行限制，讓系統(tǒng)工作在線性區(qū)域[2]。當(dāng)K=100時(shí)，可得出哈勃望遠(yuǎn)鏡指向系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3所示。同時(shí)可得出系統(tǒng)對(duì)單位階躍信號(hào)和單位階躍干擾的響應(yīng)如圖4所示，由圖可知，單位階躍響應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的影響并不是非常明顯。

圖3 哈勃望遠(yuǎn)鏡指向系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

圖4 系統(tǒng)對(duì)單位階躍信號(hào)和單位階躍干擾的瞬態(tài)響應(yīng)

最后，可得到系統(tǒng)對(duì)斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為：

由此可見，當(dāng)選擇K=100時(shí)，得到的是一個(gè)很好的系統(tǒng)。

3 小結(jié)

通過對(duì)哈勃望遠(yuǎn)鏡的校正系統(tǒng)設(shè)計(jì)，逐步引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)域系統(tǒng)的典型外作用力、控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)指標(biāo)、系統(tǒng)的誤差分析方法。讓學(xué)生掌握了相關(guān)知識(shí)的同時(shí)，也知道面對(duì)一個(gè)不太熟悉的系統(tǒng)應(yīng)該如何分析、如何計(jì)算，大幅度地提高了學(xué)生對(duì)“自動(dòng)控制原理”課程學(xué)習(xí)的興趣。