磁約束問(wèn)題中守恒量的討論

魯 斌 馮子江

(浙江省余姚中學(xué) 浙江 寧波 315400)

“磁約束”在高中物理中常有涉及.人教版物理選修3-5“核聚變”一節(jié)中提到：“帶電粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)在均勻磁場(chǎng)中會(huì)由于洛倫茲力的作用而不飛散，因此有可能利用磁場(chǎng)來(lái)約束參加反應(yīng)的物質(zhì)，這就是磁約束.”并有“環(huán)流器” 的配圖(圖1).對(duì)于環(huán)流器的原理，我們往往從“磁鏡”的角度入手.本文提供兩個(gè)方案推導(dǎo)磁約束問(wèn)題中的守恒量，并給出需要滿足的條件.

圖1 環(huán)流器(即tokamak )

1 從高斯定理到磁矩守恒

1.1 高斯定理

如圖2所示，空間中有“磁鏡”結(jié)構(gòu)的磁場(chǎng)分布，在任意位置取一高斯面S.

圖2 磁場(chǎng)分布

將圖2中的高斯面S放大如圖3所示，磁場(chǎng)沿z軸方向的分量為Bz，沿半徑方向的分量為Br，根據(jù)高斯定理

圖3 高斯面

Br2πrdz+Bz+dzπr2=Bzπr2

(1)

即有

得到

(2)

1.2 帶電粒子的運(yùn)動(dòng)

假設(shè)此時(shí)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡為虛線1(圖4).

圖4 磁鏡

在半徑方向，有

得到

(3)

(4)

在z軸方向，有

(5)

將式(2)、(3)代入式(5)

(6)

又

(7)

式(7)代入式(6)后兩邊同乘以vz，有

(8)

根據(jù)能量守恒

(9)

將式(9)代入式(8)，有

(10)

1.3 磁矩

根據(jù)磁矩的定義

(11)

將式(3)、(4)代入式(11)，得到

(12)

1.4 磁矩守恒

將式(12)代入式(10)，有

(13)

則磁矩μ為常量.即在此過(guò)程中，磁矩為守恒量.即有

(14)

1.5 關(guān)于守恒量的討論

在上述推導(dǎo)中存在一定的近似.主要問(wèn)題在于要保證帶電粒子繞磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的曲率半徑r和高斯面的r保持一致.這樣才可將式(2)代入式(5)求解.實(shí)際上，由于磁場(chǎng)為非均勻場(chǎng)，導(dǎo)致帶電粒子的運(yùn)動(dòng)并非等距、等半徑的螺旋線，而是在高斯面附近的螺旋運(yùn)動(dòng)(圖5).

圖5 軌跡與高斯面

2 從渦旋電場(chǎng)到守恒量

2.1 渦旋電場(chǎng)做功

參照?qǐng)D4，粒子在1位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，從右往左觀察，粒子運(yùn)動(dòng)方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度方向如圖6所示.

圖6 磁場(chǎng)方向與渦旋電場(chǎng)

可以將粒子從1位置運(yùn)動(dòng)到2位置的過(guò)程等效為粒子的運(yùn)動(dòng)平面不變，磁場(chǎng)逐漸減小的過(guò)程.由于磁通量的變化，在空間中產(chǎn)生渦旋電場(chǎng)，其方向如圖6中E旋所示.此時(shí)渦旋電場(chǎng)的方向與電子運(yùn)動(dòng)方向相反，繞行一圈的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理，有

(15)

2.2 近似處理

(16)

繞行一周所需的時(shí)間T滿足式(4)，m的數(shù)量級(jí)為10-31，q的數(shù)量級(jí)為10-19,磁約束問(wèn)題中，Bz一般也不會(huì)太小，故滿足

則有

dz=vzdt≈vzT

(17)

2.3 守恒量的推導(dǎo)

將式(4)、(16)、(17)代入式(15)，得到

(18)

兩邊同時(shí)積分，有

(19)

則有

(20)

此式即為磁矩守恒.

2.4 關(guān)于守恒量的討論

2.5 另一個(gè)方法

我們也可直接從動(dòng)量定理進(jìn)行考查

則

(21)

此時(shí)從渦旋電場(chǎng)的方向與電子運(yùn)動(dòng)方向相反，有

-Eqdt=mdv⊥

(22)

將式(3)、(21)代入式(22)，得到

兩式同時(shí)積分，有

(23)

式(23)與磁矩守恒等價(jià).此方法要求渦旋電場(chǎng)線和運(yùn)動(dòng)軌跡嚴(yán)格重合.實(shí)際上，由于磁場(chǎng)的非均勻性，這兩者存在微小偏差.

3 關(guān)于角動(dòng)量守恒的條件

許多文獻(xiàn)利用角動(dòng)量守恒來(lái)導(dǎo)出守恒量.如圖7所示，洛倫茲力的方向指向軸線，則在z軸方向角動(dòng)量守恒，有

圖7 角動(dòng)量

L=mv⊥r=C

(24)

將式(3)代入式(24)，有

(25)

對(duì)于確定的粒子，m和q都是常數(shù)，則角動(dòng)量守恒與磁矩守恒是等價(jià)的.此推導(dǎo)的前提是洛倫茲力始終指向軸線，圓心總落在軸上.

如圖8所示，由于粒子所做的是螺旋運(yùn)動(dòng)，其受力不總是指向軸線，其圓心也不總是落在軸線.但如果磁場(chǎng)隨空間變化緩慢，則螺旋線與圓周的偏差不大，可保證受力與軸線偏差不大，從而保證角動(dòng)量近似守恒.

圖8 螺旋線運(yùn)動(dòng)

4 結(jié)束語(yǔ)

磁約束問(wèn)題還有著廣泛的運(yùn)用.如圖9所示，帶電粒子(如宇宙射線的帶電粒子)被地磁場(chǎng)捕獲，繞地磁感應(yīng)線做螺旋線運(yùn)動(dòng)，在近兩極處地磁場(chǎng)增強(qiáng)，做螺旋運(yùn)動(dòng)的粒子被折回，結(jié)果沿磁力線來(lái)回振蕩形成范阿侖輻射帶.

圖9 范阿侖輻射帶

由于地球體積很大，地磁場(chǎng)隨空間的變化非常緩慢，宇宙粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中近似滿足“磁矩守恒”或者“角動(dòng)量”守恒.

若帶電粒子無(wú)法滿足折返條件，粒子在兩極處的磁力線引導(dǎo)下，在兩極附近進(jìn)入大氣層，與大氣中的原子和分子碰撞并激發(fā)，產(chǎn)生光芒，形成極光.