廣義算子下約束Hamilton 系統(tǒng)的Noether 定理*

沈世磊， 宋傳靜

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

引 言

用奇異Lagrange 函數(shù)描述的系統(tǒng)稱(chēng)為奇異系統(tǒng)，在過(guò)渡到相空間描述時(shí)，其正則變量之間存在固有約束，稱(chēng)為約束Hamilton 系統(tǒng).奇異系統(tǒng)長(zhǎng)期活躍在物理學(xué)的眾多領(lǐng)域，如楊-Mills 場(chǎng)、旋量場(chǎng)、電磁場(chǎng)、超引力、超弦等理論都與其息息相關(guān).因此奇異系統(tǒng)的基本理論在物理學(xué)中，特別是在現(xiàn)代量子場(chǎng)論中有著不可或缺的作用[1-2].Nambu[3]率先研究了奇異Lagrange 系統(tǒng)的正則形式，此后Bergmann 等[4]也奠定了該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與量子化的基礎(chǔ).

Noether 定理是德國(guó)數(shù)學(xué)家Noether[5]在1918 年提出的，該定理首次揭示了對(duì)稱(chēng)性與守恒量之間的關(guān)系.眾所周知，Noether 對(duì)稱(chēng)性是指Hamilton 作用量在無(wú)限小變換下的不變性.通過(guò)Noether 定理可以找到不同力學(xué)系統(tǒng)的守恒量，而力學(xué)系統(tǒng)的守恒量對(duì)研究力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為及穩(wěn)定性都有指導(dǎo)意義，因此Noether 理論的研究一直以來(lái)是諸多學(xué)者關(guān)注的熱門(mén)課題，并且也取得了豐碩的成果[6-11].特別地，李子平[12]提出了奇異系統(tǒng)在相空間中的Noether 定理.

分?jǐn)?shù)階模型相比于整數(shù)階模型，能夠更好地描述復(fù)雜動(dòng)力學(xué)及物理行為.由于分?jǐn)?shù)階微積分具有記憶性和非局域性，因此被廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、光學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、信號(hào)圖像處理以及生物醫(yī)學(xué)工程等眾多領(lǐng)域[13-15].分?jǐn)?shù)階算子中應(yīng)用最為廣泛的是Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階算子[16]、Caputo 分?jǐn)?shù)階算子[17]、Riesz-Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階算子[18]以及Riesz-Caputo 分?jǐn)?shù)階算子[19].2010 年，Agrawal[20]提出了一種新的分?jǐn)?shù)階算子，稱(chēng)其為廣義分?jǐn)?shù)階算子.在特殊情形下，廣義分?jǐn)?shù)階算子可以退化為上述四種算子.

1996 年，Riewe[21-22]首次將分?jǐn)?shù)階微積分納入非保守力學(xué)系統(tǒng)，提出并初步研究了分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題，F(xiàn)rederico 等[23-24]、Agrawal[20]也進(jìn)一步研究了分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題.2007 年，F(xiàn)rederico 等[23-24]首次研究了分?jǐn)?shù)階Noether 對(duì)稱(chēng)性與守恒量并建立了Noether 定理.之后，分?jǐn)?shù)階Noether 對(duì)稱(chēng)性與守恒量的研究也取得了重大進(jìn)展[25-31].特別地，Song 等[32-33]利用Agrawal 提出的廣義分?jǐn)?shù)階算子給出了Birkhoff 系統(tǒng)以及Hamilton 系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱(chēng)性與守恒量，然而在廣義分?jǐn)?shù)階算子下，對(duì)奇異系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱(chēng)性與守恒量的研究還未涉及.因此本文進(jìn)一步研究了廣義分?jǐn)?shù)階算子下奇異系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱(chēng)性，建立并證明了該系統(tǒng)的Noether 定理，同時(shí)給出了廣義算子下相應(yīng)的守恒量.

1 預(yù) 備 知 識(shí)

2 廣義算子下奇異Lagrange 系統(tǒng)和初級(jí)約束

2.1 算子 AαM 下奇異Lagrange 系統(tǒng)和初級(jí)約束

注1 令κα(t,τ)=(t?τ)α?1/Γ(α)， 當(dāng)M=M1，M=M2以 及M=M3時(shí)，由式（17）、（26）分別得到左Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、右Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)以及Riesz-Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下的Lagrange 方程和初級(jí)約束.

2.2 算子 BαM 下奇異Lagrange 系統(tǒng)和初級(jí)約束

其中

3 廣義算子下約束Hamilton 方程及相容性條件

3.1 算子 AαM 下約束Hamilton 方程

3.2 算子 BαM 下約束Hamilton 方程

3.3 廣義算子下約束Hamilton 系統(tǒng)的相容性條件

注5 令κα(t,τ)=(t?τ)α?1/Γ(α)， 當(dāng)M=M1，M=M2以及M=M3時(shí)，由式（54）和（55）分別得到左Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、左Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、右Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、右Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、Riesz-Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)以及Riesz-Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下初級(jí)約束的相容性條件.

4 廣義算子下約束Hamilton 系統(tǒng)的Noether 定理

4.1 算子 AαM 下約束Hamilton 系統(tǒng)的Noether 定理

4.2 算子下約束Hamilton 系統(tǒng)的Noether 定理

注7 令 κα(t,τ)=(t?τ)α?1/Γ(α)， 當(dāng)M=M1，M=M2以 及M=M3時(shí)，由式（68）、（69）和定理3、定理4 分 別得到左Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、右Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、Riesz-Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)下分?jǐn)?shù)階約束Hamilton 系統(tǒng)的Noether 對(duì)稱(chēng)性與Noether 準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)性以及導(dǎo)致的守恒量.

5 算 例

6 結(jié) 論

分?jǐn)?shù)階微積分作為各個(gè)領(lǐng)域的重要工具，能夠更好地解決一些在整數(shù)階導(dǎo)數(shù)下無(wú)法解決的問(wèn)題，同時(shí)奇異系統(tǒng)也一直備受關(guān)注，如相對(duì)論運(yùn)動(dòng)粒子，楊-Mills 場(chǎng)等都是由奇異Lagrange 量所描述.本文提出并證明了廣義算子下約束 Hamilton 系統(tǒng)的Noether 定理.主要貢獻(xiàn)如下：

1） 給出了廣義算子下奇異Lagrange 方程以及初級(jí)約束.

2） 建立了廣義算子下約束Hamilton 系統(tǒng)，并由Poisson 括號(hào)導(dǎo)出該系統(tǒng)的相容性條件.

3） 建立并證明了廣義算子下約束Hamilton 系統(tǒng)的Noether 定理.

4） 若令 κα(t,τ)=(t?τ)α?1/Γ(α)， 且當(dāng)M=M1，M=M2以及M=M3時(shí)，可得到基于左（右）Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、左（右）Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、Riesz-Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Riesz-Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階約束Hamilton 系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性與守恒量.當(dāng)α →1時(shí)，廣義算子下的約束Hamilton 方程退化為經(jīng)典整數(shù)階情況，這與文獻(xiàn)[2]中的結(jié)果一致.

廣義算子下奇異系統(tǒng)還有很多問(wèn)題值得研究，如Lie 對(duì)稱(chēng)性、Mei 對(duì)稱(chēng)性等.此外，時(shí)間尺度微積分提供了一種可以同時(shí)研究離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的有效方法，所以時(shí)間尺度上廣義算子奇異系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性與守恒量也是值得研究的.

參考文獻(xiàn)（ References ） ：

［1］ 李子平. 經(jīng)典和量子約束系統(tǒng)及其對(duì)稱(chēng)性質(zhì)[M]. 北京: 北京工業(yè)大學(xué)出版社, 1993. （LI Ziping.Classical and Quantal Dynamics of Constrained Systems and Their Symmetrical Properties[M]. Beijing: Beijing Polytechnic University Press, 1993. （in Chinese））

［2］ 李子平. 約束哈密頓系統(tǒng)及其對(duì)稱(chēng)性質(zhì)[M]. 北京: 北京工業(yè)大學(xué)出版社, 1999. （LI Ziping.Constrained Hamiltonian Systems and Their Symmetrical Properties[M]. Beijing: Beijing Polytechnic University Press, 1999. （in Chinese））

［3］NAMBU Y. Generalized Hamiltonian dynamics[J].Physical Reviewed, 1973, 7（8）: 2405-2412.

［4］BERGMANN P G, GOLDBERG J. Dirac bracket transformations in phase space[J].Physical Review, 1955,98（2）: 531-538.

［5］NOETHER E. Invariant variations problems[C]//Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaftenzu G?ttingen.1918: 235-257.

［6］DJUKIC D S, VUJANOVIC B D. Noether’s theory in classical nonconservative mechanics[J].Acta Mechanica,1975, 23（1）: 17-27.

［7］ 梅鳳翔. 約束力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性與守恒量[M]. 北京: 北京理工大學(xué)出版社, 2004. （MEI Fengxiang.Symmetry and Conserved Quantities of Constrained Mechanical Systems[M]. Beijing: Beijing University of Technology Press,2004. （in Chinese））

［8］ 鄭明亮, 劉潔, 鄧斌. 覆冰輸電導(dǎo)線(xiàn)舞動(dòng)的Noether對(duì)稱(chēng)性和守恒量[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2021, 42（3）: 275-281.（ZHENG Mingliang, LIU Jie, DENG Bin. The Noether symmetry and conserved quantity of galloping iced power transmission lines[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2021, 42（3）: 275-281.（in Chinese））

［9］ 張毅. 弱非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程的Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)性與近似Noether守恒量[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 2020, 52（6）: 1765-1773.（ZHANG Yi. Noether quasi-symmetry and approximate Noether conservation laws for weakly nonlinear dynamical equations[J].Chinese Journal of Applied Mechanics, 2020, 52（6）: 1765-1773.（in Chinese））

［10］ 羅紹凱. 相對(duì)論Birkhoff系統(tǒng)的形式不變性與Noether守恒量[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2003, 24（4）: 414-422. （LUO Shaokai. Form invariance and Noether symmetrical conserved quantity of relativistic Birkhoffian systems[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2003, 24（4）: 414-422.（in Chinese））

［11］ZHAI X H, ZHANG Y. Noether symmetries and conserved quantities for Birkhoffian systems with time delay[J].Nonlinear Dynamics, 2014, 77: 73-86.

［12］ 李子平. 非完整非保守奇異系統(tǒng)正則形式的Noether定理及其逆定理[J]. 科學(xué)通報(bào), 1992, 23: 2204-2205. （LI Ziping.Noether theorem and its inverse theorem of regular form for nonholonomic nonconservative singular systems[J].Chinese Science Bulletin, 1992, 23: 2204-2205.（in Chinese））

［13］OLDHAM K B, SPANIER J.The Fractional Calculus[M]. San Diego: Academic Press, 1974.

［14］SUN Y, YANG X, ZHENG C, et al. Modelling long-term deformation of granular soils incorporating the concept of fractional calculus[J].Acta Mechanica Sinica, 2016, 32: 112-124.

［15］ 黃飛, 馬永斌. 移動(dòng)熱源作用下基于分?jǐn)?shù)階應(yīng)變的三維彈性體熱-機(jī)響應(yīng)[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2021, 42（4）: 373-384.（HUANG Fei, MA Yongbin. Thermomechanical responses of 3D media under moving heat sources based on fractional-order strains[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2021, 42（4）: 373-384.（in Chinese））

［16］GU Y J, WANG H, YU Y G. Stability and synchronization for Riemann-Liouville fractional-order time-delayed inertial neural networks[J].Neurocomputing, 2019, 340: 270-280.

［17］VELLAPPANDI M, KUMAR P, GOVINDARAJ V, et al. An optimal control problem for mosaic disease via Caputo fractional derivative[J].Alexandria Engineering Journal, 2022, 61（10）: 8027-8037.

［18］SONG C J, ZHANG Y. Noether symmetry and conserved quantity for fractional Birkhoffian mechanics and its applications[J].Fractional Calculus and Applied Analysis, 2018, 21（2）: 509-526.

［19］ALMEIDA R. Fractional variational problems with the Riesz-Caputo derivative[J].Applied Mathematics Letters,2012, 25（2）: 142-148.

［20］AGRAWAL O P. Generalized variational problems and Euler-Lagrange equations[J].Computers & MathematicsWith Applications, 2010, 59（5）: 1852-1864.

［21］RIEWE F. Nonconservative Lagrangian and Hamiltonian mechanics[J].Physical Review E, 1996, 53（2）: 1890-1899.

［22］RIEWE F. Mechanics with fractional derivatives[J].Physical Review E, 1997, 55（3）: 3581-3592.

［23］FREDERICO G S F, TORRES D F M. A formulation of Noether’s theorem for fractional problems of the calculus of variations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2007, 334（2）: 834-846.

［24］FREDERICO G S F, TORRES D F M. Fractional optimal control in the sense of Caputo and the fractional Noether’s theorem[J].International Mathematical Forum, 2008, 3（10）: 479-493.

［25］ZHOU Y, ZHANG Y. Noether’s theorems of a fractional Birkhoffian system within Riemann-Liouville derivatives[J].Chinese Physics B, 2014, 23（12）: 285-292.

［26］SONG C J. Noether symmetry for fractional Hamiltonian system[J].Physics Letters A, 2019, 383（29）: 125914.

［27］ZHAI X H, ZHANG Y. Noether symmetries and conserved quantities for fractional Birkhoffian systems with time delay[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2016, 36: 81-97.

［28］ 田雪, 張毅. Caputo Δ型分?jǐn)?shù)階時(shí)間尺度Noether定理[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào), 2021, 53（7）: 2010-2022. （TIAN Xue, ZHANG Yi. Caputo Δ-type fractional time-scales Noether theorem[J].Chinese Journal of Applied Mechanics, 2021,53（7）: 2010-2022.（in Chinese））

［29］ZHOU S, FU H, FU J L. Symmetry theories of Hamiltonian systems with fractional derivatives[J].Science China:Physics,Mechanics & Astronomy, 2011, 54（10）: 1847-1853.

［30］LUO S K, LI L. Fractional generalized Hamiltonian equations and its integral invariants[J].Nonlinear Dynamics, 2013, 73（1）: 339-346.

［31］ 張宏彬. 基于廣義分?jǐn)?shù)階算子Birkhoff系統(tǒng)Noether定理[J]. 動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào), 2019, 17（5）: 458-462. （ZHANG Hongbin. Noether’s theorem of Birkhoffian systems with generalized fractional operators[J].Journal of Dynamics and Control, 2019, 17（5）: 458-462.（in Chinese））

［32］SONG C J, SHEN S L. Noether symmetry method for Birkhoffian systems in terms of generalized fractional operators[J].Theoretical & Applied Mechanics Letters, 2021, 11（6）: 330-335.

［33］SONG C J, CHENG Y. Noethersymmetry method for Hamiltonian mechanics involving generalized operators[J].Advances in Mathematical Physics, 2021, 2021: 1959643.