一種具有部分運(yùn)動(dòng)解耦和符號(hào)式位置正解的空間2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)與動(dòng)力學(xué)建模

黃凱偉 沈惠平 李 菊 朱忠頎 楊廷力

常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心，常州，213016

0 引言

少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有驅(qū)動(dòng)件少、控制簡(jiǎn)單、制造容易等優(yōu)勢(shì)，已成為機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一，其中，具有三自由度的兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng)(2T1R)并聯(lián)機(jī)構(gòu)可用于空間抓放定位、調(diào)姿等場(chǎng)合，應(yīng)用范圍廣泛[1]，該機(jī)構(gòu)主要分為平面型、空間型兩種：平面型2T1R機(jī)構(gòu)主要有典型的3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其衍生機(jī)構(gòu)[2-4](如3-PRR、3-RPR等)，其轉(zhuǎn)動(dòng)軸線(xiàn)方向平行于動(dòng)平臺(tái)的法線(xiàn)；空間型2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)[5-10]的轉(zhuǎn)動(dòng)軸線(xiàn)平行于動(dòng)平臺(tái)的平面。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模對(duì)機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能分析和實(shí)時(shí)控制策略至關(guān)重要[11]，常用的動(dòng)力學(xué)分析方法有Newton-Euler法[12-13]、動(dòng)力學(xué)普遍方程[14-15]、Lagrange方程[16-17]、Hamilton正則方程[18]、Kane方法[19-20]等。

SHIAU等[12]采用New-Euler法對(duì)3-RPS混聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模；郝秀清等[13]運(yùn)用Newton-Euler法推導(dǎo)出了3-PTT并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程；KALANI等[14]基于虛功原理提出了一種能縮短計(jì)算時(shí)間、提高精度的改進(jìn)型動(dòng)力學(xué)普遍方程，并對(duì)Gough-Stewart機(jī)構(gòu)進(jìn)行了正逆動(dòng)力學(xué)分析；賈曉輝等[15]依據(jù)虛功原理構(gòu)建了3-RRPR柔性機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)逆解模型，并利用其中的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣確定了系統(tǒng)固有頻率的求解表達(dá)式；THANH等[16]通過(guò)Lagrange方程解決了一種冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題；徐奕柳等[17]基于Lagrange方程建立了PURU+RR+S球面踝關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)學(xué)模型；尤晶晶等[18]利用Hamilton正則方程對(duì)并聯(lián)式六維加速度傳感器進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)研究；姚建濤等[19]采用Kane方法分別建立了基座固定和基座運(yùn)動(dòng)兩種情況下并聯(lián)調(diào)整機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程；ZHAO等[20]建立了基于Kane方程的四足機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，得到了每個(gè)滑塊上的驅(qū)動(dòng)力。

上述方法中，有些建模步驟較為繁瑣，需要對(duì)所有構(gòu)件進(jìn)行力學(xué)分析(如Newton-Euler法)；有些無(wú)法求出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)副的支反力(如Lagrange方程)；而有些則需要引入稍復(fù)雜的偏速度、廣義速率等概念(如Kane方法)。

楊廷力[21]提出了一種基于虛功原理的序單開(kāi)鏈法，該方法以子運(yùn)動(dòng)鏈(sub-kinematic chain，SKC)為基本單元，建模思路清晰，能得到若干重要運(yùn)動(dòng)副(即連接各SKC的運(yùn)動(dòng)副)處的支反力，這對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)是至關(guān)重要的。但該方法自推出以來(lái)主要用于平面機(jī)構(gòu)，還未曾用于空間機(jī)構(gòu)的逆向動(dòng)力學(xué)建模。

本文首先根據(jù)基于方位特征(position and orientation characteristic，POC)方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)理論及方法[22]，設(shè)計(jì)并提出了一種含有一條冗余驅(qū)動(dòng)支鏈、零耦合度且運(yùn)動(dòng)部分解耦的空間兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng)(2T1R)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)的優(yōu)勢(shì)是：①零耦合度使機(jī)構(gòu)具有符號(hào)式位置正解；②含三個(gè)最小SKC，且分別含有驅(qū)動(dòng)副，使機(jī)構(gòu)具有部分運(yùn)動(dòng)解耦特性；③全由轉(zhuǎn)動(dòng)副R構(gòu)成，使機(jī)構(gòu)易于制造；④依據(jù)冗余驅(qū)動(dòng)消除奇異位置原理[23-24]，冗余驅(qū)動(dòng)支鏈能避開(kāi)機(jī)構(gòu)的奇異位置，且能使機(jī)構(gòu)整體的剛度特性提高20%左右[7]。該機(jī)構(gòu)可設(shè)計(jì)成具有較大剛度的管材彎曲加工并聯(lián)裝備，可應(yīng)用于需要制造小批量、多品種曲線(xiàn)形狀管材的汽車(chē)、五金、電子產(chǎn)品等領(lǐng)域。然后根據(jù)基于拓?fù)涮卣鞯倪\(yùn)動(dòng)學(xué)建模原理，給出了該機(jī)構(gòu)的符號(hào)式位置正解，同時(shí)，基于雅可比矩陣求出了機(jī)構(gòu)各構(gòu)件的速度/加速度值，并利用基于虛功原理的序單開(kāi)鏈法[21]建立了該空間機(jī)構(gòu)的逆向動(dòng)力學(xué)模型，求解分析了機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力矩及部分運(yùn)動(dòng)副的支反力。

1 2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)及其拓?fù)浞治?/h2>

1.1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

根據(jù)基于POC方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)方法以及受文獻(xiàn)[7]的啟發(fā)，本文設(shè)計(jì)了一種全由轉(zhuǎn)動(dòng)副組成、零耦合度且部分運(yùn)動(dòng)解耦的2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 全轉(zhuǎn)動(dòng)副空間型2T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)Fig.1 Design of spatial 2T1R parallel mechanism with full rotation pairs

動(dòng)平臺(tái)1由三條支鏈(Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ)連接于靜平臺(tái)0，其中，混合支鏈Ⅰ為一平面五桿機(jī)構(gòu)(R11—R12—R13—R22—R21)，也可視為由兩條相同的RRR支鏈(即支鏈A、B)串聯(lián)而成；簡(jiǎn)單支鏈Ⅱ由三個(gè)相互平行的R副(R31—R32—R33)串聯(lián)而成；冗余支鏈Ⅲ也由三個(gè)相互平行的R副(R41—R42—R43)串聯(lián)而成。動(dòng)平臺(tái)1上的轉(zhuǎn)動(dòng)副R13、R23處為復(fù)合鉸鏈，該機(jī)構(gòu)中各個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線(xiàn)均平行于靜平臺(tái)0所在平面的y軸。

1.2 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析

1.2.1機(jī)構(gòu)的POC計(jì)算

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC方程為

Mbk=∪MJi

(1)

Mpa=∩Mbk

(2)

式中，MJi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的POC集；Mbk為第k條支鏈末端的POC集，k?、?、Ⅱ、Ⅲ；Mpa為機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的POC集。

首先，計(jì)算各條支鏈的POC集。第Ⅰ條混合支鏈由兩條相同的RRR支鏈(即支鏈A、B)串聯(lián)而成，由式(1)可得

其中，t2表示二維移動(dòng)；r1表示一維轉(zhuǎn)動(dòng)；t2(⊥R13)表示在垂直于R13軸線(xiàn)方向的平面內(nèi)存在二維移動(dòng)；r1(∥R13)表示平行于R13軸線(xiàn)方向存在一維轉(zhuǎn)動(dòng)。

第Ⅱ、Ⅲ條支鏈分別由三個(gè)相互平行的R副串聯(lián)而成，其末端的POC集分別為

然后，計(jì)算由支鏈Ⅰ、Ⅱ及轉(zhuǎn)動(dòng)副R23構(gòu)成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC集，可表示為

(3)

其中，MJR23為轉(zhuǎn)動(dòng)副R23的POC集。

最后，計(jì)算并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的POC集。由式(2)可得

(4)

由式(3)和式(4)可知，支鏈Ⅰ、Ⅱ及轉(zhuǎn)動(dòng)副R23組成子并聯(lián)機(jī)構(gòu)后，即可實(shí)現(xiàn)兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng)的輸出運(yùn)動(dòng)，支鏈Ⅲ并不會(huì)影響機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的POC。

1.2.2機(jī)構(gòu)的自由度分析

首先，確定第1個(gè)獨(dú)立回路的自由度F1。混合支鏈Ⅰ為第1個(gè)獨(dú)立回路(即第1個(gè)子并聯(lián)機(jī)構(gòu))，也是第1條單開(kāi)鏈(single open chain，SOC)?；旌现ф湤袷且粋€(gè)平面五桿機(jī)構(gòu)，因此第1個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)ξL1=3，則第1個(gè)子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為

式中，fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度；c為運(yùn)動(dòng)副數(shù)；ξLj為第j個(gè)SOC的獨(dú)立位移方程數(shù)。

然后，確定第2個(gè)獨(dú)立回路的自由度F2。混合支鏈Ⅰ、轉(zhuǎn)動(dòng)副R23及支鏈Ⅱ組成第2個(gè)獨(dú)立回路(即第2個(gè)子并聯(lián)機(jī)構(gòu))，其獨(dú)立位移方程數(shù)為

其中，dim{·}表示POC集的維數(shù)。則第2個(gè)子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度為

最后，確定并聯(lián)機(jī)構(gòu)整體的自由度Fpa。第2個(gè)子并聯(lián)機(jī)構(gòu)與支鏈Ⅲ組成第3個(gè)獨(dú)立回路，其獨(dú)立位移方程數(shù)為

則機(jī)構(gòu)整體的自由度為

因此，該機(jī)構(gòu)整體的自由度為3，當(dāng)取R11、R21、R31作為驅(qū)動(dòng)副時(shí)，動(dòng)平臺(tái)1可實(shí)現(xiàn)oxz平面內(nèi)的兩平移和繞y軸旋轉(zhuǎn)(2T1R)的輸出運(yùn)動(dòng)。

由于支鏈Ⅲ既不影響機(jī)構(gòu)整體的自由度，又不影響機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的POC，因此支鏈Ⅲ為冗余支鏈。此外，支鏈Ⅲ上可以存在驅(qū)動(dòng)，只有當(dāng)機(jī)構(gòu)處于奇異位置時(shí)，該驅(qū)動(dòng)電機(jī)才會(huì)工作，并帶動(dòng)機(jī)構(gòu)避開(kāi)奇異位置，因此，支鏈Ⅲ可以作為冗余驅(qū)動(dòng)支鏈。

1.2.3機(jī)構(gòu)的耦合度計(jì)算

由基于單開(kāi)鏈單元的機(jī)構(gòu)組成原理[22]可知，任意機(jī)構(gòu)可分解為若干個(gè)子運(yùn)動(dòng)鏈(SKC)，每一個(gè)SKC可分解為約束度為正、零、負(fù)的單開(kāi)鏈(SOC)，將第j個(gè)SOC的約束度定義為

(5)

式中，cj為第j個(gè)SOC的運(yùn)動(dòng)副數(shù)；Ij為第j個(gè)SOC的驅(qū)動(dòng)副數(shù)。

因此，機(jī)構(gòu)的耦合度κ定義為

(6)

1.2.2節(jié)已求得ξL1=ξL2=ξL3=3，由式(5)得到各個(gè)回路的約束度分別為

上述三個(gè)回路分別構(gòu)成對(duì)應(yīng)的SKC1、SKC2和SKC3，因此，該機(jī)構(gòu)包含3個(gè)SKC，它們的耦合度可由式(6)求得，即

因此，機(jī)構(gòu)的耦合度為零。三個(gè)SKC連接處的運(yùn)動(dòng)副R23、R43為本機(jī)構(gòu)受力的薄弱處，本文將R23、R43定義為重要運(yùn)動(dòng)副。重要運(yùn)動(dòng)副的受力求出后，各SKC內(nèi)其他運(yùn)動(dòng)副的受力則易求出。

至此，該機(jī)構(gòu)的三個(gè)主要拓?fù)涮卣?方位特征POC、自由度F、耦合度κ)已求出[25]，為后續(xù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模和動(dòng)力學(xué)建模奠定了基礎(chǔ)。

2 機(jī)構(gòu)的位置分析

2.1 位置正解

2.1.1基于拓?fù)涮卣鞯倪\(yùn)動(dòng)學(xué)建模原理

由基于單開(kāi)鏈的機(jī)構(gòu)組成原理[22]可知，機(jī)構(gòu)可分解為若干個(gè)SKC，而每個(gè)SKC又可分解出約束度為正值、零、負(fù)值3種形式的SOC，因此，機(jī)構(gòu)位置正解的求解可轉(zhuǎn)換為3種不同形式SOC的位置求解。對(duì)于本機(jī)構(gòu)，3個(gè)SKC的耦合度均為零(即所有SOC的約束度為零)，因此，可直接求出各個(gè)SKC的符號(hào)式位置正解，從而求出整個(gè)機(jī)構(gòu)的符號(hào)式位置正解[26]。

2T1R機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模如圖2所示(為便于后文表達(dá)，圖2中各點(diǎn)表示圖1中對(duì)應(yīng)位置上運(yùn)動(dòng)副的中心點(diǎn)，如點(diǎn)A1為運(yùn)動(dòng)副R11的中心點(diǎn)，其他類(lèi)同)，靜平臺(tái)0是一個(gè)以Ad(d=1，2，3，4)為頂點(diǎn)構(gòu)成的正方形，其邊長(zhǎng)為l1；動(dòng)平臺(tái)1是一個(gè)以Cd為頂點(diǎn)構(gòu)成的正三角形，其邊長(zhǎng)為l3；其余各桿件的長(zhǎng)度均為l2，設(shè)桿件AdBd與x軸負(fù)方向的夾角分別為θd。

圖2 2T1R機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模Fig.2 Kinematics modeling of 2T1R mechanism

靜坐標(biāo)系{o}(oxyz)的原點(diǎn)在靜平臺(tái)0的質(zhì)心o處，且x軸與A1A2連線(xiàn)平行，y軸與A1A2連線(xiàn)垂直；動(dòng)坐標(biāo)系{p}(puvw)在動(dòng)平臺(tái)1的質(zhì)心p處建立，且u軸與C3C4連線(xiàn)平行，v軸指向點(diǎn)C1，z軸、w軸的方向由右手定則確定。

設(shè)動(dòng)坐標(biāo)系{p}的原點(diǎn)p相對(duì)于靜坐標(biāo)系{o}的原點(diǎn)o的位置坐標(biāo)為p=(xp，yp，zp)，動(dòng)平臺(tái)繞y軸旋轉(zhuǎn)的角度(即姿態(tài)角)為α。

2.1.2SKC1(A1—B1—C1—B2—A2)的位置求解

由拓?fù)浞治隹芍?，SKC1由運(yùn)動(dòng)副R11、R12、R13、R22、R21組成，可表示為R11—R12—R13—R22—R21，其中各個(gè)運(yùn)動(dòng)副的中心點(diǎn)依次為A1、B1、C1、B2、A2，則SKC1可簡(jiǎn)寫(xiě)為A1—B1—C1—B2—A2，其他類(lèi)同。

已知θ1、θ2及各桿件的尺寸參數(shù)，可得

A1=(l1/2，l1/2，0)TA2=(-l1/2，l1/2，0)T

A3=(-l1/2，-l1/2，0)TA4=(l1/2，-l1/2，0)T

B1=(l1/2-l2cosθ1，l1/2，l2sinθ1)T

B2=(-l1/2-l2cosθ2，l1/2，l2sinθ2)T

由1.2節(jié)可知，動(dòng)平臺(tái)會(huì)產(chǎn)生xoz平面內(nèi)的兩平移和繞y軸旋轉(zhuǎn)的2T1R輸出運(yùn)動(dòng)，則

由桿長(zhǎng)約束B(niǎo)1C1=B2C2=l2，建立如下位置方程：

解得

(7)

m=1+a2n=2(ab-azB1-xB1)

由式(7)可以看出，動(dòng)平臺(tái)1的兩維平移運(yùn)動(dòng)量xp、zp僅由驅(qū)動(dòng)副R11、R21的輸入角θ1、θ2確定，因此，該機(jī)構(gòu)具有輸入-輸出部分運(yùn)動(dòng)解耦性。

2.1.3SKC2(C2—C3—B3—A3)的位置求解

由桿長(zhǎng)約束條件B3C3=l2，可得

(xp+l1/2+l2cosθ3)cosα=0

整理可得

Asinα+Bcosα+C=0

A=zp-l2sinθ3B=-xp-l1/2-l2cosθ3

S=zp-l2sinθ3R=xp+l1/2+l2cosθ3

解得

(8)

從而求得該機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)角α。

2.1.4SKC3(A4—B4—C4)的位置求解

設(shè)冗余驅(qū)動(dòng)支鏈Ⅲ的隨動(dòng)角為θ4，則點(diǎn)B4、C4的坐標(biāo)分別為

其中，oC4、pC4分別為點(diǎn)C4在靜坐標(biāo)系{o}和動(dòng)坐標(biāo)系{p}下的坐標(biāo)。

由桿長(zhǎng)約束B(niǎo)4C4=l2，可得

Dsinθ4+Ecosθ4+F=0

D=2l2(l3sinα/2-zp)

E=-2l2(l1/2-xp-l3cosα/2)

F=(l1/2-xp-l3cosα/2)2+(l3sinα/2-zp)2

解得

(9)

至此，機(jī)構(gòu)位置正解已全部完成。

2.2 位置逆解

已知?jiǎng)悠脚_(tái)1上p點(diǎn)坐標(biāo)(xp，yp，zp)和姿態(tài)角α，求輸入角θ1、θ2、θ3。

由2.1節(jié)已求得B1、B2、B3、C1、C2、C3點(diǎn)坐標(biāo)，求解由B1C1、B2C2、B3C3的桿長(zhǎng)約束建立的位置方程，可得

(10)

t1=t2=2l2zpt3=2l2zp+l2l3sinα

M3=2l2(-xp+l3cosα/2-l1/2)-

(-xp+l3cosα/2-l1/2)2-(zp+l3sinα/2)2

N3=2l2(-xp+l3cosα/2-l1/2)+

(-xp+l3cosα/2-l1/2)2+(zp+l3sinα/2)2

由此可求得輸入角θ1、θ2、θ3，且由式(9)可得隨動(dòng)角θ4的值。

綜上所述，當(dāng)給定動(dòng)平臺(tái)1上p點(diǎn)的坐標(biāo)(xp，yp，zp)和姿態(tài)角α?xí)r，輸入角θ1、θ2、θ3以及隨動(dòng)角θ4各有兩組解，故逆解數(shù)為24=16，即機(jī)構(gòu)有16種構(gòu)型。

2.3 正逆解驗(yàn)算

取機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)分別如下：l1=400 mm，l2=200 mm，l3=462 mm。取輸入角θ1、θ2、θ3分別為10°、20°、30°。由MATLAB軟件計(jì)算2.1節(jié)的位置正解公式可得機(jī)構(gòu)在理論上存在4組位置正解，見(jiàn)表1。通過(guò)對(duì)比三維CAD模型可知第4組數(shù)據(jù)是實(shí)際位置正解。

表1 機(jī)構(gòu)的正解數(shù)值

取表1中第4組數(shù)據(jù)代入位置逆解公式(式(10))，可求得輸入角θ1、θ2、θ3的8組理論逆解數(shù)值，見(jiàn)表2。

表2 機(jī)構(gòu)的逆解數(shù)值

由表2可知，第4*組逆解數(shù)值與正解求解時(shí)設(shè)定的3個(gè)輸入角一致，因此，正逆解公式推導(dǎo)正確。

3 機(jī)構(gòu)的速度與加速度分析

3.1 動(dòng)平臺(tái)的速度與加速度

Jpν=Jqω

(11)

f11=-2(xB1-xp)f12=-2(zB1-zp)f13=0

f21=-2(xB2-xp)f22=-2(zB2-zp)f23=0

f31=-2(xB3-xC3)f32=-2(zB3-zC3)

f33=l3sinα(xC3-xB3)+l3cosα(zC3-zB3)

g11=2l2sinθ1(xB1-xp)+2l2cosθ1(zB1-zp)

g22=2l2sinθ2(xB2-xp)+2l2cosθ2(zB2-zp)

g33=2l2sinθ3(xB3-xC3)+2l2cosθ3(zB3-zC3)

當(dāng)機(jī)構(gòu)不存在奇異位置時(shí)Jp可逆，可得

(12)

依據(jù)式(12)即可求得動(dòng)平臺(tái)原點(diǎn)的輸出速度。

則動(dòng)平臺(tái)的移動(dòng)速度矩陣、轉(zhuǎn)動(dòng)速度矩陣與三個(gè)輸入角之間的關(guān)系可表示為

(13)

(14)

將式(12)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得到動(dòng)平臺(tái)p點(diǎn)加速度與輸入加速度之間的映射關(guān)系為

(15)

其中，k1、k2、k3為矩陣Jp和Jq中各項(xiàng)元素對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)(k1、k2、k3的具體值可掃描本文首頁(yè)OSID二維碼獲得)。

3.2 桿件的速度與加速度

3.2.1桿件A1B1的速度與加速度

B1點(diǎn)的速度為

vB1=vA1+ω11×(l2c11)

(16)

式中，vA1為驅(qū)動(dòng)副R11的線(xiàn)速度，因驅(qū)動(dòng)副在機(jī)架上，故vA1=0；ω11為驅(qū)動(dòng)桿A1B1的角速度；c11為桿件A1B1的單位向量。

對(duì)式(16)求導(dǎo)，可得B1點(diǎn)的加速度為

aB1=aA1+l2ε11×c11+l2ω11×(ω11×c11)

(17)

式中，aA1為驅(qū)動(dòng)副R11的線(xiàn)加速度；ε11為驅(qū)動(dòng)桿A1B1的角加速度。

于是，桿件A1B1質(zhì)心的速度、加速度分別為

vmid，11=vB1/2

(18)

amid，11=aB1/2

(19)

3.2.2桿件B1C1的速度與加速度

vC1=vB1+ω12×(l2c12)

(20)

在式(20)等號(hào)兩邊同時(shí)叉乘c12，可得桿件B1C1的角速度為

(21)

在式(20)等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，可得

(22)

在式(22)等號(hào)兩邊同時(shí)叉乘c12，可得桿件B1C1角加速度為

(23)

于是，桿件B1C1質(zhì)心的速度、加速度分別為

3.2.3其余構(gòu)件的速度與加速度

其余構(gòu)件的速度和加速度的求法與前文類(lèi)似，故直接給出結(jié)果。桿件AdBd(d=2，3，4)質(zhì)心的速度、加速度分別為

(24)

(25)

vBd=vAd+ωd1×(l2cd1)

aBd=aAd+l2εd1×cd1+l2ωd1×(ωd1×cd1)

其中，cd1、ωd1、εd1分別為相應(yīng)構(gòu)件的單位向量、角速度、角加速度。

桿件BdCd(d=2，3，4)質(zhì)心的速度、加速度分別為

(26)

(27)

其中，vCd、aCd分別為點(diǎn)Cd的已知速度和加速度。則桿件BdCd的角速度、角加速度分別為

(28)

(29)

3.3 算例與仿真

給定3個(gè)驅(qū)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)規(guī)律分別為：θ1=πt/18，θ2=πt/15，θ3=πt/10。

依據(jù)式(12)，通過(guò)MATLAB計(jì)算得到動(dòng)平臺(tái)p點(diǎn)的理論速度值，并與ADAMS仿真得到的速度值進(jìn)行對(duì)比，如圖3所示；依據(jù)式(15)，通過(guò)MATLAB計(jì)算得到動(dòng)平臺(tái)p點(diǎn)的理論加速度值，并與ADAMS仿真得到的加速度值進(jìn)行對(duì)比，如圖4所示。

圖3 動(dòng)平臺(tái)的理論速度與仿真速度曲線(xiàn)Fig.3 The theoretical and simulation speed curve of the moving platform

圖4 動(dòng)平臺(tái)的理論加速度與仿真加速度曲線(xiàn)Fig.4 The theoretical and simulation acceleration curve of the moving platform

由圖3和圖4可以發(fā)現(xiàn)：該機(jī)構(gòu)速度、加速度的理論值與對(duì)應(yīng)仿真值基本一致，由此驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。

4 機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析

將主動(dòng)臂在驅(qū)動(dòng)力矩作用下產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角定義為廣義坐標(biāo)，即q=(θ1,θ2,θ3)T，所對(duì)應(yīng)的廣義虛位移為Δq=(Δθ1,Δθ2,Δθ3)T。依據(jù)式(16)～式(29)，各構(gòu)件的虛位移與機(jī)構(gòu)的廣義虛位移之間的關(guān)系可表示為：ΔX=J1Δq，Δα=J2Δq，ΔXde=JdevΔq，Δθde=JdeωΔq(d=1，2，3，4；e=1，2，其中，e=1表示桿件AB，e=2表示桿件BC)。其中，桿件A1B1的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)虛位移分別為ΔX11、Δθ11，移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)速度雅可比矩陣分別為J11v、J11ω；桿件B1C1的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)虛位移分別為ΔX12、Δθ12，移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)速度雅可比矩陣分別為J12v、J12ω；桿件A2B2的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)虛位移分別為ΔX21、Δθ21，移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)速度雅可比矩陣分別為J21v、J21ω；其余桿件類(lèi)同。本文采用基于虛功原理的序單開(kāi)鏈法[21]來(lái)構(gòu)建2T1R機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。

4.1 基于虛功原理的序單開(kāi)鏈法基本原理

4.2 受力分析

作用于構(gòu)件質(zhì)心上的力有重力和慣性力，而作用于構(gòu)件質(zhì)心上的力矩則僅為慣性力矩。對(duì)于動(dòng)平臺(tái)，作用在質(zhì)心的力和力矩分別為

(30)

對(duì)于各支鏈，假設(shè)重力是唯一的外力，則作用在各構(gòu)件上的力和力矩分別為

Fde=mdeg-mdeamid，de

(32)

Mde=-oIdeεde-ωde×(oIdeωde)

(33)

式中，mde為對(duì)應(yīng)構(gòu)件的質(zhì)量；amid，de為對(duì)應(yīng)構(gòu)件質(zhì)心的加速度；oIde為靜坐標(biāo)系{o}下各構(gòu)件質(zhì)心處的慣量矩陣；ωde、εde分別對(duì)應(yīng)構(gòu)件的角速度和角加速度；d=1,2,3,4;e=1,2。

4.3 動(dòng)力學(xué)方程

4.3.1SKC3的動(dòng)力學(xué)求解

對(duì)于SKC3，解除運(yùn)動(dòng)副R43處的約束，將點(diǎn)C4處的運(yùn)動(dòng)副支反力FC4轉(zhuǎn)化為未知外力，由虛功原理可得

(34)

其中，ΔXC4為點(diǎn)C4處的移動(dòng)虛位移。

在靜坐標(biāo)系{o}下，以桿B4C4為研究對(duì)象，并將桿B4C4上所有的力對(duì)點(diǎn)B4取矩，可得

oI42ε42+ω42×(oI42ω42)

(35)

其中，c42為桿件B4C4的單位向量。

聯(lián)立式(34)、式(35)，可計(jì)算出點(diǎn)C4處的運(yùn)動(dòng)副支反力為

q1=xC4-xB4q2=yC4-yB4q3=zC4-zB4

其中，E1、E2、E3分別為單位矩陣E3×3的第1、2、3行向量；vC4x、vC4z分別為點(diǎn)C4在x、z方向的速度分量。

4.3.2SKC2的動(dòng)力學(xué)求解

對(duì)于SKC2，解除運(yùn)動(dòng)副R23處的約束，將點(diǎn)C2處的運(yùn)動(dòng)副支反力FC2轉(zhuǎn)化為未知外力，由虛功原理可得

(36)

其中，ΔXC2為點(diǎn)C2處的移動(dòng)虛位移，M3為驅(qū)動(dòng)副R31的驅(qū)動(dòng)力矩。

在靜坐標(biāo)系{o}下，以動(dòng)平臺(tái)為研究對(duì)象，并將動(dòng)平臺(tái)上所有的力對(duì)點(diǎn)C3取矩，可得

(37)

其中，c43、c23、cp3分別為點(diǎn)C4、C2、p到點(diǎn)C3的單位向量。

4.3.3SKC1的動(dòng)力學(xué)求解

SKC1上無(wú)需解除運(yùn)動(dòng)副，可直接求解，有

(38)

4.4 數(shù)值仿真算例

本文機(jī)構(gòu)各構(gòu)件的尺寸參數(shù)如表3所示。本文僅考慮動(dòng)平臺(tái)的自身重力(即f=0、τ=0)，采用與3.3節(jié)相同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，首先通過(guò)MATLAB編程計(jì)算得到驅(qū)動(dòng)力矩的理論值，然后將虛擬樣機(jī)導(dǎo)入ADAMS中，設(shè)定機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副的約束類(lèi)型，施加豎直向下的重力，并選取仿真步長(zhǎng)為0.01 s、仿真時(shí)間為5 s，對(duì)虛擬樣機(jī)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真研究，得到驅(qū)動(dòng)力矩的仿真值，如圖5所示。同理可分別得到運(yùn)動(dòng)副R43、R23處支反力的理論值和仿真值(支反力的曲線(xiàn)圖可掃描本文首頁(yè)OSID二維碼獲得)。

將MATLAB理論計(jì)算值與ADAMS仿真值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明理論值與仿真值基本吻合，從而驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性。存在差異的原因如下：關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)副存在的間隙使得理論計(jì)算的尺寸參數(shù)與模型仿真時(shí)存在少許差異；ADAMS軟件仿真采用的是Lagrange方程，與本文采用的基于虛功原理的序單開(kāi)鏈法在計(jì)算上存在少許的舍入和累計(jì)誤差。

4.5 與傳統(tǒng)虛功原理建模方法的比較

依據(jù)傳統(tǒng)虛功原理，可得

化簡(jiǎn)可得

(39)

式(39)對(duì)任意Δq都成立，因此，可得機(jī)構(gòu)的逆向動(dòng)力學(xué)方程為

(40)

本文研究結(jié)果表明，通過(guò)式(40)得到的結(jié)果與圖5中驅(qū)動(dòng)力矩理論值一致。傳統(tǒng)的虛功原理建模方法采用的是整體建模思路，不區(qū)分建模的先后順序，方程中也沒(méi)有直接體現(xiàn)求解支反力這一要素，而本文采用的是基于虛功原理的序單開(kāi)鏈法，該方法按照機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分解的順序，有序地進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，建模思路清晰，使得機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)具有統(tǒng)一性，并且可以直接求解出連接不同SKC處的運(yùn)動(dòng)副支反力，求出這些支反力后，各SKC內(nèi)其他運(yùn)動(dòng)副的受力也便于求出，這有助于機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

5 結(jié)論

(1)根據(jù)基于方位特征(POC)方程的并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計(jì)理論及方法，設(shè)計(jì)并提出了一種轉(zhuǎn)動(dòng)軸線(xiàn)方向垂直于動(dòng)平臺(tái)法線(xiàn)的空間布置兩平移一轉(zhuǎn)動(dòng)(2T1R)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)具有符號(hào)式位置正解、部分運(yùn)動(dòng)解耦特性、被動(dòng)冗余支鏈能避免奇異位置、剛度性能好等特點(diǎn)。該機(jī)構(gòu)可設(shè)計(jì)成具有較大剛度的管材彎曲加工并聯(lián)裝備，可應(yīng)用于需要制造小批量、多品種曲線(xiàn)形狀管材的汽車(chē)、五金、電子產(chǎn)品等領(lǐng)域。

(2)根據(jù)基于拓?fù)涮卣鞯倪\(yùn)動(dòng)學(xué)建模原理，給出了該機(jī)構(gòu)的符號(hào)式位置正解，采用基于虛功原理的序單開(kāi)鏈法，建立了該機(jī)構(gòu)的逆向動(dòng)力學(xué)模型，并求解出了機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)力矩以及重要運(yùn)動(dòng)副處的受力。

(3)與傳統(tǒng)虛功原理建模方法相比，基于虛功原理的序單開(kāi)鏈法的優(yōu)勢(shì)之處在于：①建模思路清晰，體現(xiàn)了機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)的統(tǒng)一；②既能求解驅(qū)動(dòng)力矩，又能求解出重要運(yùn)動(dòng)副處的支反力，即兼有Newton-Euler法和Lagrange法的優(yōu)點(diǎn)。