山色水聲裹游行

段志貴 鄒翔如 陳喆

【摘? ?要】小學(xué)階段是學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的重要階段。以一道龜兔賽跑題為例，通過對(duì)題目由表象到本質(zhì)的層層剝離，啟發(fā)和引領(lǐng)小學(xué)生逐步深化對(duì)數(shù)學(xué)問題解決的認(rèn)識(shí)和理解，發(fā)展解題思維，努力實(shí)現(xiàn)解題境界由低級(jí)到高級(jí)的四重體驗(yàn)。

【關(guān)鍵詞】問題解決; 數(shù)學(xué)思維;小學(xué)數(shù)學(xué)

小學(xué)階段是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一個(gè)極其重要的階段。根據(jù)皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段理論，小學(xué)生的認(rèn)知正處于從前運(yùn)算階段到形式運(yùn)算階段的過渡階段，思維正處于從形象思維走向抽象思維的過渡時(shí)期。解決問題是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要途徑。通過問題解決發(fā)展小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，教師既要著力引導(dǎo)學(xué)生從具象逐步走向抽象，也要注意為學(xué)生提供具體實(shí)物的支撐。以一道思維含量較高的龜兔賽跑題為例，分析小學(xué)生解題思維由低級(jí)到高級(jí)的四重體驗(yàn)。

一、逢山遇水：淺讀題目，探尋問題

題目：龜兔進(jìn)行10000米賽跑，兔子的速度是烏龜速度的5倍。它們同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，烏龜不停地奔跑，兔子跑到某一地點(diǎn)開始睡覺。兔子醒來時(shí)，烏龜已經(jīng)領(lǐng)先兔子5000米。兔子奮起直追，但烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)，兔子仍落后100米。試求兔子睡覺期間烏龜跑了多少米？1

這是一個(gè)表述很復(fù)雜的問題，剛接觸題目時(shí)，小學(xué)生受自身思維發(fā)展階段的局限，面對(duì)冗長(zhǎng)的題目，常常不知道如何合理運(yùn)用條件，尋找突破口。這正是學(xué)生解題經(jīng)歷的第一階段，在這一階段中，他們往往止步于對(duì)題意的表象理解，很難真正讀懂題目。也就是他們常常表現(xiàn)出能讀懂“故事”，卻讀不懂故事中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。雖然題目中的數(shù)據(jù)都已明確出現(xiàn)，但此時(shí)他們卻不知道所給出數(shù)據(jù)的意義何在，以及該如何運(yùn)用。

這是學(xué)生解題過程中的第一境界——入一座山，見一方水，尚處于解題的迷茫階段。

二、觀山看水：圖形表征，分析問題

隨著對(duì)問題理解的深入，小學(xué)生可能會(huì)把思維的觸角延伸到問題條件的轉(zhuǎn)換上。有的學(xué)生可能會(huì)嘗試著通過觀察具象的路程示意圖去理解和轉(zhuǎn)換問題。這依舊是一種具象思維的水平，此時(shí)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)題中的數(shù)量關(guān)系，并不能很好地運(yùn)用抽象思維去思考。這時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生重新分析題意，先用具體的數(shù)體現(xiàn)龜兔速度之間的關(guān)系，即如果烏龜?shù)乃俣葹?，那么兔子的速度就是5，然后借助具象的圖式來輔助解決問題，以此來彌補(bǔ)他們思維發(fā)展的局限性。

借助線段圖（如圖1）將“故事”再講一遍，龜兔進(jìn)行10000米賽跑，即AF=10000米，烏龜?shù)乃俣仁?，兔子的速度是5。它們從A點(diǎn)一起出發(fā)，兔子跑到C點(diǎn)時(shí)烏龜?shù)竭_(dá)B點(diǎn)，兔子醒來時(shí)依然在C點(diǎn)，這時(shí)烏龜已到達(dá)D點(diǎn)，即CD=5000米，烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)F時(shí)兔子到達(dá)E點(diǎn)，即EF=100米，求兔子睡覺期間烏龜跑了多少米，也就是求BD之間的距離是多少。

這是學(xué)生解題經(jīng)歷的第二個(gè)階段。在這一階段中，學(xué)生能夠借助圖式等輔助手段，將問題初步“數(shù)學(xué)化”，逐步厘清題目中的條件、問題以及相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。這時(shí)學(xué)生已經(jīng)能夠“見山是山，見水是水”了。

三、跋山涉水：立足發(fā)現(xiàn)，解決問題

厘清問題后，學(xué)生開始嘗試進(jìn)入問題解決的階段。

根據(jù)對(duì)圖1的分析，兔子從C點(diǎn)開始以速度5追趕烏龜，此時(shí)烏龜在D點(diǎn)以速度1向終點(diǎn)F行進(jìn)，當(dāng)烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)F時(shí)，兔子到達(dá)E點(diǎn)，距離終點(diǎn)F還有100米。在兔子追趕烏龜?shù)倪^程中，烏龜走了路程DF（即DE+EF），兔子走了路程CE（即CD+DE）。

同一時(shí)間是解題的一個(gè)抓手。據(jù)此，可首先求出在后面這一相同時(shí)間里兔子比烏龜多走的路程。此時(shí)兔子比烏龜多走了CE-DF=CD+DE-（DE+EF）=5000-100=4900（米）。

（1）兔子睡覺前（龜兔同時(shí)出發(fā)直至兔子睡覺）這段時(shí)間里烏龜行進(jìn)的路程為：ΑΒ=755×1=755（米）。

（2）兔子睡醒后（兔子追趕烏龜直至烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)）這段時(shí)間里烏龜行進(jìn)的路程為：DF=1225×1=1225（米）。

所以，兔子睡覺時(shí)烏龜行進(jìn)的路程為：BD=AF-AB-DF=10000-755-1225=8020（米）。

把上述思維梳理一下，實(shí)質(zhì)上就是后面兔子在追趕烏龜?shù)倪^程中多走了CE-DF=（CD+DE）-（DE+EF）=CD-EF=5000-100=4900（米）。

這時(shí)兔子比烏龜多走了BC=3775÷5×5-1=3020（米），所以在兔子睡覺期間，烏龜走了BD=BC+CD=3020+5000=8020（米）。

在這一解法中，借助于直觀的線段圖，學(xué)生破譯了題目給出的復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，題目所給的條件都被充分利用，學(xué)生感受到題目中的每一個(gè)條件都是必須的且重要的。這一解題思維不僅具有形象性，也暗藏著一定的抽象性與邏輯性，顯然突破了前兩個(gè)階段的層級(jí)，給了學(xué)生“見山不是山，見水不是水”的解題新體驗(yàn)，即學(xué)會(huì)變換已知條件，認(rèn)準(zhǔn)解題方向，逐步接近解題目標(biāo)。

四、顯山露水：拓展理解，透視問題

有了前面三重體驗(yàn)，接下來學(xué)生迫切想進(jìn)入第四重體驗(yàn)，這就是深入理解題意，分析各類條件量與量之間的關(guān)系，試圖從不同角度去理解問題，抓住問題本質(zhì)，從而捕捉著力點(diǎn)，尋找突破口。

首先，我們看到烏龜跑的路程可分為兩個(gè)部分，一是兔子跑時(shí)烏龜跑的路程，二是兔子睡覺時(shí)烏龜跑的路程。在第一部分中，龜兔都跑，按照它們速度的5倍關(guān)系，兔子跑9900米，烏龜應(yīng)跑9900÷5=1980（米）;第二部分為待求路程，即兔子睡覺時(shí)烏龜所走的路程。這兩部分之和實(shí)際上是烏龜跑完的總路程——10000米，所以10000米與1980米的差8020米就是兔子睡覺時(shí)烏龜跑的路程了。

我們也可以這樣想：如果兔子先不睡覺，一直跑到距離終點(diǎn)還有100米時(shí)再睡覺，那么兔子就是跑了10000-100=9900（米）。兔子跑9900米的同時(shí)，烏龜跑了9900÷5=1980（米）。當(dāng)兔子醒來時(shí)，烏龜已經(jīng)跑完了10000米，所以烏龜在兔子睡覺時(shí)行進(jìn)了10000-1980=8020（米）。2

這里將兔子睡覺的過程直接移到最后，避免了因?yàn)槎嗔送米铀X這一環(huán)節(jié)使得整個(gè)行進(jìn)過程被分得四分五裂而造成小學(xué)生思維混亂的情況。這樣一來題目被簡(jiǎn)化，不用考慮得很復(fù)雜，減少了錯(cuò)誤產(chǎn)生的可能性并進(jìn)一步揭露了問題的本質(zhì)。

同樣的思維模式，我們從另一個(gè)角度來思考：依然假設(shè)兔子不睡覺，那么在烏龜完成了10000米行程的同時(shí)，兔子應(yīng)該走了10000×5=50000（米）。但實(shí)際上兔子只走了10000-100=9900（米），所以兔子因?yàn)樗X少走了50000-9900=40100（米）。因此當(dāng)兔子睡覺時(shí)停止行進(jìn)，烏龜卻在繼續(xù)向前，又因?yàn)辇斔偈峭盟俚?5，所以烏龜在兔子睡覺時(shí)行走了40100÷5=8020（米）。

這正是題目待求的里程。以上兩種解法均屬于同一種解題思路，均將多余條件“兔子醒來時(shí)，烏龜已經(jīng)領(lǐng)先兔子5000米” 拋棄，解法更加簡(jiǎn)潔、巧妙。兩步運(yùn)算，題目迎刃而解！

此外，我們還可以這樣理解題意。由題可知，兔子醒來后跑了CE，在此期間，烏龜跑的路程是DF，且兔子的速度是烏龜?shù)?倍，那么我們就可以得到一個(gè)關(guān)系式CE=5DF，于是可以分成CD+DE=5DE+5EF。

不妨設(shè)DE=x，則關(guān)系式又可以寫成5000+x=5x+500，DE=1125（米），那么AC=AF-CD-DE-EF=10000-5000-1125-100=3775（米）。此時(shí)，烏龜在兔子走到C點(diǎn)時(shí)，已經(jīng)走的路程為：AB=AC÷5=3775÷5=755（米），則烏龜在兔子睡覺時(shí)一共走了BD=BC+CD=3775-755+5000=8020（米）。

這種解法的核心采用了解方程的方法。用方程來表示我們?cè)陬}目中挖掘出來的關(guān)系式，利用已知條件，代入方程就很容易求出所需要的DE的距離，那么待求的路程也就迎刃而解了。

最后，我們還可以對(duì)題目進(jìn)行改編：龜兔賽跑，同時(shí)同地出發(fā)，全程10000米，龜速30米/分，兔速330米/分，跑了10分鐘，兔子停下來睡覺4小時(shí)，醒來時(shí)發(fā)現(xiàn)烏龜已經(jīng)超過，于是立即追趕，問能否在烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)前追上？如果能追上，問此時(shí)離終點(diǎn)還有多遠(yuǎn)？

在這一改編中，烏龜跑了30×250=7500（米），和兔子的距離為7500-330×10=4200（米）。兔子追趕的時(shí)間為4200÷330-30=14（分鐘），離終點(diǎn)10000-7500-30×14=2080（米）。

上述幾種巧妙解法以及對(duì)問題的深化理解，借助于題目的語言描述，圍繞數(shù)量關(guān)系展開思考，能夠透過題目所給條件，分析問題本質(zhì)，抓住解題關(guān)鍵，從直觀具體過渡到聯(lián)想抽象，顯然這已是解題的最高境界——“見山還是山，見水還是水”，即透過給定條件，分析和梳理內(nèi)在關(guān)系，尋找解題制高點(diǎn)。

數(shù)學(xué)問題的解決，理解題意是前提，抓住問題的本質(zhì)是關(guān)鍵，發(fā)展學(xué)生從直觀具體到聯(lián)想抽象的數(shù)學(xué)思維，是解題教學(xué)的終極目標(biāo)。本題的教學(xué)基于小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律及潛能外化規(guī)則，逐步躍進(jìn)思維層次，使得問題的解決持續(xù)走向深入。在從低到高的每一次解題思維躍進(jìn)中，可以深刻地感受到數(shù)學(xué)解題四重體驗(yàn)的不斷遞進(jìn)，學(xué)生的解題水平不斷提升，學(xué)習(xí)興趣不斷增強(qiáng)，創(chuàng)造性思維能力不斷發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

1謝玉華.一道競(jìng)賽題的第四種解法J.小學(xué)教學(xué)研究，1999（3）：27.

2李會(huì)生，劉雪艷.只在深水中航行：把枝節(jié)問題撂一邊J.小學(xué)教學(xué)參考，2007（7/8）：74.

（1.鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院? ?224002 2.青海師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院? ?810008）