一種適用于圖像信號的壓縮感知測量矩陣

李文宗， 華鋼

(中國礦業(yè)大學 信息與控制工程學院， 江蘇 徐州 221116)

0 引言

目前無線傳感器網(wǎng)絡(luò)(Wireless Sensor Network, WSN)廣泛用于煤礦井下數(shù)據(jù)傳輸。礦井無人工作區(qū)監(jiān)控圖像信息量較大，在圖像的傳輸、存儲階段對硬件性能要求較高，造成傳感器節(jié)點耗能增大、壽命驟減等問題[1]。數(shù)據(jù)壓縮是解決上述問題的有效方法之一。壓縮感知(Compressive Sensing, CS)[2]作為一種編碼簡單、譯碼復(fù)雜的高效數(shù)據(jù)壓縮方法，編碼端可以遠小于奈奎斯特采樣頻率采集信號并進行信號壓縮，解碼端通過適合的恢復(fù)算法重建信號，解決了網(wǎng)絡(luò)中數(shù)據(jù)量急增、能量消耗快等問題，特別適用于WSN中視頻傳感器節(jié)點端對端的圖像信號傳輸場景[3]。

目前，CS的研究主要集中在信號獲取與重建2個部分，它們都與測量矩陣有著密切聯(lián)系。一個設(shè)計得當?shù)臏y量矩陣能夠以較少的測量數(shù)目獲得信號的完整信息。目前測量矩陣主要分為隨機性測量矩陣和確定性測量矩陣2類[4]。Gause測量矩陣[5]是一種較有代表性的隨機測量矩陣，矩陣元素隨機性較強，可在高概率上服從約束等距條件(Restricted Isometry Property, RIP)。文獻[6]設(shè)計了一種隨機的稀疏矩陣，矩陣元素大部分為零，易于存儲，然而該矩陣的RIP特性有待驗證。文獻[7]提出了一種改進Gause隨機測量矩陣，壓縮性能較好，但仍需較大存儲空間。隨機測量矩陣雖然性能較好，但在應(yīng)用時需要被傳輸、硬件不易實現(xiàn)，且無法保證每一次生成的測量矩陣的性能。基于此，學者們提出了諸多構(gòu)造確定性測量矩陣的方法。文獻[8]利用信號匹配原理提出了一種適用于超寬帶(Ultra Wide Band, UWB)系統(tǒng)的測量矩陣，信號重建性能較好，但適用性不夠廣泛。文獻[9]結(jié)合雙極性混沌序列與托普利茲矩陣，提出了一種塊狀的感知矩陣，比隨機測量矩陣易于實現(xiàn)，但信號重建精度的提高有限。文獻[10]引入分類圓理論，提出了一類卷積壓縮感知測量矩陣，矩陣的相關(guān)性較小，但構(gòu)建過程略為復(fù)雜。文獻[11]引入GMW序列構(gòu)造了一種確定性的測量矩陣，該矩陣易于構(gòu)建，但矩陣元素仍具有一定的隨機性。文獻[12]利用Bose平衡不完全區(qū)組構(gòu)造了一類性能優(yōu)異的測量矩陣，對一維隨機信號重建效果較好，但對煤礦監(jiān)控信號重建性能不夠理想。文獻[13]提出了一種基于Kasami碼的確定性測量矩陣，矩陣列正交性較強，但對圖像信號重建精度有待提高。上述確定性測量矩陣的維度相對固定，通常對一維信號的重建性能較好，但對礦井監(jiān)控圖像信號的重建性能不理想，精度較低。

針對上述問題，本文以礦井WSN為背景，利用時域非均勻采樣與分塊思想，將多個相同的小尺寸帕斯卡矩陣以對角線方式排列，構(gòu)建了一種新的基于帕斯卡矩陣的塊狀壓縮感知測量(Block Pascal Compressive Sensing Measurement, BPCSM)矩陣，同時結(jié)合聯(lián)合正交匹配追蹤算法實現(xiàn)了礦井監(jiān)控圖像信號的壓縮采樣與重建。BPCSM矩陣為確定性測量矩陣，構(gòu)造簡單，存儲空間較少，易于實現(xiàn)。實驗結(jié)果表明，對于礦井監(jiān)控圖像，與常用的測量矩陣相比，該測量矩陣具有較高的重建精度，滿足礦井環(huán)境應(yīng)用要求。

1 基本理論

1.1 壓縮感知

對一個N維信號x，x∈RN(R為實數(shù)集)，若x含有K個非零元素，則稱x為K稀疏信號。通過測量矩陣Φ對稀疏信號x線性投影，能夠獲得M維信號y，y∈RM，且滿足M

y=Φx

(1)

自然界中的大部分信號本身并不稀疏，但可以在某一個域中進行稀疏表示，即有x=Ψs，其中Ψ為N×N維稀疏基，s為N維稀疏信號。于是式(1)可整理為

y=Φx=ΦΨs=As

(2)

式中A為感知矩陣。

式(2)即為CS信號獲得的過程。由y重建x理論上有無窮多的解。但CS理論指出，若Φ選取恰當，壓縮后信號y便能包含重建原信號x所需的足夠多信息，重建問題即可轉(zhuǎn)化為最小l0范數(shù)的求解問題。

(3)

然而式(3)的求解是一個非確定性多項式難題。文獻[14]證明可以通過l1范數(shù)問題代替求解。

(4)

1.2 約束等距條件與相干系數(shù)

為評價不同測量矩陣性能，J.C.Emmanuel[15]提出了RIP。對任意的稀疏信號x，如果存在最小的約束等距常數(shù)δk，并滿足式(5)，那么認為測量矩陣Φ滿足RIP。其中k為x中非零元素個數(shù)，0<δk<1。當δk足夠小時，式(3)的求解可通過貪婪算法或凸優(yōu)化算法較好解決[11]。

(5)

一般地，直接驗證一個測量矩陣的RIP是極為困難的。于是B.Jean等[16]提出了相干系數(shù)μ(Φ)的概念，為評價測量矩陣性能提供了更為簡單的方法。測量矩陣的相干系數(shù)是指任意2個列向量φj1,φj2(j1，j2表示列向量索引)歸一化內(nèi)積絕對值的最大值，數(shù)學形式為

(6)

文獻[16]證明μ(Φ)與RIP條件滿足如下關(guān)系：

δk≤(k-1)μ(Φ)

(7)

由式(7)可知，當相干系數(shù)足夠小時，測量矩陣很容易滿足RIP。因此，可通過降低相干系數(shù)，保證測量矩陣良好的重建性能。

2 BPCSM矩陣構(gòu)建

BPCSM矩陣的構(gòu)建首先需選定帕斯卡矩陣為基矩陣，然后依據(jù)采樣率確定帕斯卡矩陣的尺寸，最后將帕斯卡矩陣以對角線方式串聯(lián)排列，實現(xiàn)對圖像信號的壓縮采樣和重建。

2.1 帕斯卡矩陣

帕斯卡矩陣是一種對稱正定矩陣，矩陣元素滿足帕斯卡三角形規(guī)律[17]。4×4階帕斯卡矩陣為

(8)

帕斯卡矩陣滿足以下特點：

(1) 矩陣的第1行、第1列元素均為1。

(2) 當行索引i>1、列索引j>1時矩陣元素滿足遞推關(guān)系。

ai,j=ai,j-1+ai-1,j

(9)

式中ai,j為矩陣第i行第j列的元素。

(3) 矩陣行向量或列向量線性無關(guān)。

(4) 當i>1時，滿足ai,j

2.2 BPCSM矩陣構(gòu)建步驟及性能分析

通常圖像信號的行維數(shù)與列維數(shù)較高。若直接將帕斯卡矩陣作為測量矩陣，矩陣元素會隨著行數(shù)、列數(shù)的增加急劇增大，非常不利于測量矩陣的實現(xiàn)和存儲?；谖墨I[18]，本文選用分塊操作方式，將帕斯卡矩陣當作測量矩陣的子塊(基矩陣)，并按對角線排列為維度較高的測量矩陣。由帕斯卡矩陣構(gòu)建M×N維BPCSM矩陣的具體步驟如下：

(1) 給定待采樣信號維度N、采樣率r，根據(jù)N和r計算出M,M=Nr。

(3) 構(gòu)建n×n維帕斯卡矩陣，取前m行構(gòu)建m×n維基矩陣P。

(5) 生成mL×nL維矩陣，選擇后M行、后N列，構(gòu)建M×N維BPCSM矩陣ΦP。

(10)

由以上步驟可知，分塊操作使BPCSM矩陣大部分元素為0，同時基矩陣P元素均為整數(shù)，便于硬件實現(xiàn)；BPCSM矩陣的構(gòu)建僅需乘冪和復(fù)制操作，構(gòu)建時間短，相較于稠密矩陣，能夠降低信號采樣的計算復(fù)雜度，對高維信號的采樣有更好的適應(yīng)性；基矩陣列向量線性無關(guān)，且全部位于主對角線上，使得BPCSM矩陣列向量間的相關(guān)性較??；不同分塊列向量間非零元素位置互不重疊，采樣信號段也不同，故能夠?qū)崿F(xiàn)并行采樣，提高采樣效率[18]；對M×N維的BPCSM矩陣，只需存儲基矩陣行數(shù)m便可以構(gòu)建整個測量矩陣。

為進一步說明BPCSM矩陣在重建圖像上的優(yōu)勢，繪制了礦工、Lena圖像經(jīng)傅里葉稀疏基變換后的能量圖，如圖1所示。

長時間TH過量，就會損傷胰島素功能，如果胰島素分泌降解加快且分泌量減少后，孕婦的糖尿病以及相關(guān)并發(fā)癥就會加重，同樣，糖尿病也會導(dǎo)致孕婦出現(xiàn)甲狀腺等疾病。相關(guān)學者研究指出，對糖尿病患者做好飲食控制，在血糖穩(wěn)定后，患者甲亢危象以及并發(fā)癥就會消除[7]。當孕婦甲狀腺功能出現(xiàn)異常時，會導(dǎo)致其血脂指標紊亂，低密度脂蛋白膽固醇以及載脂蛋白、甘油三酯水平上升。

(a) 礦工圖像能量

(b) Lena圖像能量

由圖1可知，無論礦工圖像還是Lena圖像，經(jīng)稀疏變換后其圖像信號的能量大部分集中在系數(shù)矩陣的4個角上，即圖中的高亮部分，這表明圖像能量集中在低頻區(qū)域?；仃囍鲗蔷€排列的方式能夠保證BPCSM矩陣左上角及右下角非零元素較為充足，與系數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)對應(yīng)性較好，利于圖像低頻系數(shù)的測量與恢復(fù)。同時基矩陣元素取值較大的特點，使得BPCSM矩陣具有較強的信息獲取能力，從而能夠提高圖像整體的重建效果。

3 基于BPCSM矩陣的圖像重建

基于BPCSM矩陣的礦井監(jiān)控圖像信號的壓縮采樣、重建步驟如圖2所示。

圖2 基于BPCSM矩陣的礦井監(jiān)控圖像信號的 壓縮采樣、重建Fig.2 Compression sampling and reconstruction steps for mine monitoring images signals based on BPCSM matrix

(1) 獲取礦井監(jiān)控圖像信號，確定圖像尺寸。

(2) 利用傅里葉函數(shù)生成傅里葉稀疏基[6]，對步驟(1)所獲取的圖像信號進行稀疏表示。

(3) 設(shè)定采樣率，確定基矩陣尺寸、分塊數(shù)，以2.2節(jié)方法生成BPCSM矩陣。

(4) 應(yīng)用BPCSM矩陣對步驟(2)中稀疏表示后的圖像進行測量。

(5) 傳輸并存儲步驟(4)中測量后的圖像信號。

(6) 基于步驟(2)的傅里葉稀疏基、步驟(3)的BPCSM矩陣，利用聯(lián)合正交匹配追蹤算法[20]重建圖像。

4 實驗與分析

實驗部分測試了BPCSM矩陣用于圖像信號重建時的性能，并以礦井監(jiān)控圖像壓縮感知中常用的Vander測量矩陣、Gause測量矩陣、Bernoulli測量矩陣、Chaotic測量矩陣作對比。數(shù)據(jù)源選取礦井中較有代表性的煤塊圖像、礦工圖像、頂板支撐圖像。為不失一般性，同樣選取Lena圖像、Barbara圖像、Boat圖像作測試。6張原始圖像如圖3所示，大小均為255×255。

(a) 礦工

(b) 頂板支撐

(c) 煤塊

(d) Lena

(e) Barbara

(f) Boat

(11)

由MSE獲取PSNR的數(shù)學表達式為

(12)

在采樣率為0.2～0.8的條件下，測試了不同測量矩陣對礦工、Lena圖像的主觀重建效果，分別如圖4和圖5所示。為減小隨機性對高斯測量矩陣的影響，本文實驗結(jié)果均為重復(fù)200次后所得平均值。

原始圖像 PSNR=PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= 22.083 1 dB 25.999 0 dB 27.150 8 dB30.109 4 dB30.605 4 dB 30.650 0 dB30.492 4 dBr=0.2 r=0.3 r=0.4r=0.5 r=0.6 r=0.7 r=0.8

原始圖像 PSNR=PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= 16.947 9 dB26.376 1 dB25.261 5 dB29.780 2 dB30.313 9 dB30.355 1 dB30.225 9 dBr=0.2 r=0.3 r=0.4r=0.5 r=0.6 r=0.7 r=0.8

原始圖像 PSNR=PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= 15.623 8 dB 20.587 7 dB24.387 5 dB 26.008 7 dB 27.991 2 dB29.035 6 dB29.673 4 dBr=0.2 r=0.3 r=0.4r=0.5 r=0.6 r=0.7 r=0.8

原始圖像 PSNR=PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= 15.525 3 dB20.125 8 dB 23.804 5 dB26.165 5 dB27.898 4 dB29.014 0 dB 29.882 5 dBr=0.2 r=0.3 r=0.4r=0.5 r=0.6 r=0.7 r=0.8

原始圖像 PSNR=PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= 14.005 3 dB20.339 5 dB 24.701 6 dB25.979 2 dB27.941 4 dB29.324 2 dB 29.787 2 dBr=0.2 r=0.3 r=0.4r=0.5 r=0.6 r=0.7 r=0.8

由圖4可看出：當采樣率為0.3時，由BPCSM矩陣、Vander測量矩陣重建的礦工圖像的PSNR分別為25.999 0, 26.376 1 dB，圖像相對清晰，僅存在少量條狀偽影，而由Gause測量矩陣、Bernoulli測量矩陣、Chaotic測量矩陣重建的礦工圖像的PSNR均小于20.59 dB，圖像存在大量塊狀偽影，礦工面部細節(jié)較難辨別；當采樣率為0.5時，BPCSM矩陣已幾乎可以恢復(fù)礦工圖像的全部細節(jié)。BPCSM矩陣的重建效果明顯優(yōu)于Gause測量矩陣、Bernoulli測量矩陣和Chaotic測量矩陣，與Vander測量矩陣相比重建性能也有一定的提高。

原始圖像 PSNR=PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= 15.774 7 dB 20.296 8 dB21.368 6 dB 25.684 7 dB 26.136 0 dB26.336 3 dB26.199 1 dBr=0.2 r=0.3 r=0.4r=0.5 r=0.6 r=0.7 r=0.8

原始圖像 PSNR=PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= 12.707 3 dB20.361 3 dB19.888 7 dB25.344 2 dB25.828 7 dB26.022 0 dB25.892 8 dBr=0.2 r=0.3 r=0.4r=0.5 r=0.6 r=0.7 r=0.8

原始圖像 PSNR=PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= 11.496 8 dB15.992 2 dB19.182 1 dB21.934 4 dB23.543 2 dB24.667 2 dB25.287 4 dBr=0.2 r=0.3 r=0.4r=0.5 r=0.6 r=0.7 r=0.8

原始圖像 PSNR=PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= 12.988 9 dB15.798 9 dB19.341 7 dB21.766 3 dB23.556 3 dB24.592 5 dB25.326 5 dBr=0.2 r=0.3 r=0.4r=0.5 r=0.6 r=0.7 r=0.8

原始圖像 PSNR=PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= PSNR= 10.435 2 dB15.364 3 dB19.234 4 dB21.615 3 dB23.743 7 dB24.917 2 dB 25.213 5 dBr=0.2 r=0.3 r=0.4r=0.5 r=0.6 r=0.7 r=0.8

由圖5可看出：BPCSM矩陣對Lena圖像，即非礦井監(jiān)控圖像的重建效果同樣較好。當采樣率為0.3時，由BPCSM矩陣重建的Lena圖像的PSNR為20.296 8 dB，圖像僅存在較少塊效應(yīng)；當采樣率為0.5時，BPCSM矩陣已經(jīng)能夠較好地重建Lena圖像。通過對比發(fā)現(xiàn)，由Gause測量矩陣、Bernoulli測量矩陣和Chaotic測量矩陣重建的Lena圖像模糊，損失了較多像素信息。5類測量矩陣在相同采樣率下重建Lena圖像的PSNR均低于重建礦工圖像的PSNR，這是因為Lena圖像的頻率更為豐富，重建時需更多的圖像細節(jié)。

為進一步對比BPCSM矩陣與其他測量矩陣的圖像重建性能，計算了5類測量矩陣在采樣率為0.2～0.8下重建頂板支撐、煤塊、Barbara、Boat圖像的PSNR，如圖6所示。

(a) 頂板支撐

(b) 煤塊

(c) Barbara

(d) Boat

由圖6可看出，隨著采樣率的增大，5類測量矩陣重建圖像的PSNR總體上表現(xiàn)為增加趨勢。Gause測量矩陣、Bernoulli測量矩陣、Chaotic測量矩陣在重建圖像時呈現(xiàn)出相似性能，BPCSM矩陣在任一采樣率下的重建性能都明顯優(yōu)于該3個矩陣。BPCSM矩陣在采樣率為0.3時的重建性能與Vander測量矩陣相當，而在其他采樣率下的重建性能優(yōu)于Vander測量矩陣。當采樣率大于或等于0.5時，5種測量矩陣的重建性能曲線是逐漸收斂的，并且BPCSM矩陣重建圖像的PSNR隨采樣率的增加而緩慢增長甚至出現(xiàn)減小現(xiàn)象，當采樣率小于0.5時其重建性能更為突出。

此外，考慮到基矩陣的大小對BPCSM矩陣重建性能可能產(chǎn)生影響，本文同樣在采樣率為0.5、不同基矩陣尺寸條件下對BPCSM矩陣的重建性能進行了測試，測試結(jié)果見表1。

表1 不同基矩陣尺寸下BPCSM矩陣重建 圖像效果客觀對比Table 1 Objective comparison of images reconstruction effects of BPCSM matrix under different base matrix sizes

由表1可看出，基矩陣尺寸越大，BPCSM矩陣的圖像重建性能越差，這是由于BPCSM矩陣行向量間的正交性降低所導(dǎo)致。較小的基矩陣尺寸能夠提高BPCSM矩陣的重建性能，并且方便硬件實現(xiàn)。然而當基矩陣尺寸減小至2×4時，其對圖像信號的重建性能卻劣于尺寸為3×6時的性能，這是因為基矩陣尺寸過小使得BPCSM矩陣零元素過多，導(dǎo)致矩陣獲取信息的能力減弱。因此，在實際應(yīng)用中，應(yīng)該根據(jù)實際情況選擇合適的基矩陣尺寸。

5 結(jié)論

(1) 基于帕斯卡矩陣，提出了一種適用于礦井監(jiān)控圖像信號的壓縮感知BPCSM矩陣。BPCSM矩陣基于分塊操作方式，將多個相同的小尺寸帕斯卡矩陣以對角線方式排列，同時結(jié)合聯(lián)合正交匹配追蹤算法實現(xiàn)礦井監(jiān)控圖像信號的壓縮采樣與重建。BPCSM矩陣設(shè)計時加入的分塊思想能夠方便其在硬件上的實現(xiàn)，具有低存儲、構(gòu)建簡單等特點。

(2) 實驗結(jié)果表明：BPCSM矩陣對礦井監(jiān)控圖像信號的重建性能高于Vander、Gause等常用測量矩陣，當采樣率為0.3時，基于BPCSM矩陣重建的礦工圖像的PSNR約為26 dB，礦工面部輪廓較為清晰；當采樣率為0.5時，基于BPCSM矩陣重建的礦工圖像的PSNR達到了30 dB，幾乎可以恢復(fù)礦工圖像的全部細節(jié)，表明BPCSM矩陣具有較優(yōu)的重建質(zhì)量。BPCSM矩陣對非礦井監(jiān)控圖像的重建效果同樣較好。

(3) 不同的基矩陣尺寸對BPCSM矩陣的圖像重建性能存在一定的影響，選取合適的基矩陣尺寸能夠提高BPCSM矩陣的圖像重建精度。

(4) 下一步工作將深入分析帕斯卡矩陣的結(jié)構(gòu)特點，進一步提高BPCSM矩陣在高采樣率下的重建性能。