基于灰色-尖點(diǎn)突變理論的鋼筋混凝土Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂過程分析

鞏妮娜，胡少偉，范向前，蔡小寧

（1.江蘇海洋大學(xué)土木與港海工程學(xué)院，江蘇 連云港 222005；2.河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京 210098；3.重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 400045；4.南京水利科學(xué)研究院，江蘇 南京 210029）

鋼筋混凝土的受力特性與裂縫發(fā)展密切相關(guān)，其斷裂過程的定量描述是一個(gè)基礎(chǔ)性課題.鋼筋的限裂作用使混凝土結(jié)構(gòu)破壞前具有相對(duì)緩慢的裂縫穩(wěn)定擴(kuò)展階段，因而其斷裂行為與素混凝土有明顯差異.結(jié)構(gòu)裂縫多處于彎剪復(fù)合應(yīng)力場(chǎng)中，因此鋼筋混凝土Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂過程的研究對(duì)于大型結(jié)構(gòu)的損傷預(yù)報(bào)和安全性評(píng)價(jià)具有重要的意義.聲發(fā)射是材料內(nèi)部快速釋放應(yīng)變能從而產(chǎn)生彈性波的現(xiàn)象［1］，文獻(xiàn)［2-3］分析了混凝土斷裂過程的聲發(fā)射特征，指出聲發(fā)射參量能夠識(shí)別裂縫擴(kuò)展過程的臨界點(diǎn).文獻(xiàn)［4-5］采用平均頻率（AF），上升時(shí)間/幅值（RA）等參量表征不同類型混凝土的損傷破壞過程.Soulioti等［6］發(fā)現(xiàn)聲發(fā)射活動(dòng)性與纖維含量及材料韌度基本成正比.Dev等［7］指出聲發(fā)射事件定位結(jié)果能夠表征纖維混凝土梁的裂縫擴(kuò)展路徑.任正義［8］提出聲發(fā)射損傷定位的優(yōu)化方法，降低了傳統(tǒng)定位方式的誤差.

灰色系統(tǒng)理論［9］通過對(duì)“小樣本”、“貧信息”等原始系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，尋找某段時(shí)間內(nèi)的規(guī)律從而進(jìn)行灰色預(yù)測(cè).Thom創(chuàng)立的突變理論［10］可以研究損傷過程中的突變不連續(xù)現(xiàn)象，其中尖點(diǎn)突變理論［11-12］形式簡(jiǎn)單，應(yīng)用最為廣泛.周煜［13］利用灰色理論和突變理論分析混凝土梁斷裂過程的聲發(fā)射信號(hào)并確定了臨界荷載.陳迪輝等［14］引入尖點(diǎn)突變理論對(duì)拱壩安全度進(jìn)行定量評(píng)估，發(fā)現(xiàn)其與傳統(tǒng)方法的結(jié)果相吻合.

目前混凝土Ⅰ型斷裂的研究成果較為豐富，而鋼筋混凝土Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂過程的研究尚不多見.本文同步采集斷裂過程的聲發(fā)射信號(hào)，基于灰色-尖點(diǎn)突變理論識(shí)別系統(tǒng)的突變點(diǎn)，進(jìn)而分析Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂縫的擴(kuò)展過程.

1 基于聲發(fā)射參量的灰色-尖點(diǎn)突變理論

1.1 灰色理論

鋼筋混凝土Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂的過程中，裂縫開裂與擴(kuò)展的突變行為會(huì)導(dǎo)致聲發(fā)射信號(hào)的突變，因此分析聲發(fā)射過程的突變特征對(duì)于描述斷裂過程有重要意義.灰色理論通過對(duì)“已知”信息進(jìn)行處理，減少其隨機(jī)性從而提升信息的確定性，達(dá)到對(duì)原有數(shù)據(jù)進(jìn)行準(zhǔn)確擬合的目標(biāo)［15］.由于斷裂過程中直接獲取的聲發(fā)射信號(hào)具有一定的隨機(jī)性，采用灰色累加的方法可以使得數(shù)據(jù)序列呈現(xiàn)單調(diào)增加趨勢(shì)，更具有序性，因此選取適當(dāng)?shù)穆暟l(fā)射參數(shù)構(gòu)造一個(gè)原始序列x（0）［9］：

對(duì)式（1）序列進(jìn)行一次累加，得到Accumulated generating operation（AGO）序列：

1.2 尖點(diǎn)突變理論

試驗(yàn)表明，鋼筋混凝土的損傷斷裂過程存在臨界狀態(tài)，而突變理論正適用于描述這類非連續(xù)現(xiàn)象.Zeeman提出的尖點(diǎn)突變理論具有1個(gè)狀態(tài)變量x、2個(gè)控制變量u、v，其勢(shì)函數(shù)V（x）為［11］：

對(duì)式（3）求一階導(dǎo)數(shù)得到平衡曲面方程，如圖1所示［1］：

圖1 平衡曲面及分叉集Fig.1 Equilibrium surface and bifurcation sets

將平衡曲面向u-o-v平面投影，得到分叉集，可由式（4）平衡曲面方程和式（3）二階導(dǎo)數(shù)為零，聯(lián)立求得特征值：

平衡曲面包括上、中、下葉，設(shè)M（u，v，x）為表示系統(tǒng)狀態(tài)的點(diǎn)，當(dāng)其沿著上葉、下葉移動(dòng)時(shí)，u、v的平穩(wěn)變化引起x的平穩(wěn)變化，即系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡穿過分叉集，位于平衡曲面褶皺處的中葉時(shí)，u、v的微小變化即引起M點(diǎn)的突跳，從而導(dǎo)致x的突變［16］.分叉集將控制平面分為不同區(qū)域，以特征值Δ表征的判別準(zhǔn)則如下［12］：

1.3 基于聲發(fā)射參量的灰色-尖點(diǎn)突變模型

由于試驗(yàn)測(cè)得的振鈴計(jì)數(shù)等過程參量中各數(shù)據(jù)點(diǎn)的時(shí)間間隔有差異，為了消除非等間隔的影響，選擇振鈴計(jì)數(shù)率x與撞擊數(shù)n的關(guān)系作為初始序列x(0)，采用式（2）對(duì)該序列進(jìn)行一次累加，得到AGO序列x(1)，將生成序列x(1)展開成冪級(jí)數(shù)的形式，并截取前5項(xiàng)，則得到x(1)的近似表達(dá)形式［1］：

其中A0、A1、…、A5為待定系數(shù)，可通過多項(xiàng)式擬合方法來確定，對(duì)式（7）求導(dǎo)得到還原后的聲發(fā)射參量序列：

令a0＝A1，a1＝2A2，a2＝3A3，a3＝4A4，a4＝5A5，利用參數(shù)代換將式（8）構(gòu)造為標(biāo)準(zhǔn)勢(shì)函數(shù)表達(dá)形式，令n＝Z－q（a4＜0），q＝，可得［14］：

當(dāng)a4＞0時(shí)，V(z)＝z4+uz2+vz+w（9）式中：u＝.

當(dāng)a4＜0時(shí)，V(z)＝－z4－uz2－vz+w（10）式 中：. 其 中k1＝－4q3a4+3q2a3－2qa2+a1，k2＝6q2a4－3qa3+a2.

式（9）、（10）中，w為剪切項(xiàng)，對(duì)突變分析無影響，可忽略.由尖點(diǎn)突變理論可知，分叉集方程形式為式（5），當(dāng)Δ＜0時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生突變.

2 鋼筋混凝土Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂過程分析

2.1 試驗(yàn)概況

為了判斷鋼筋混凝土Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂過程的突變點(diǎn)，以DL/T 5332—2005《水工混凝土斷裂試驗(yàn)規(guī)程》推薦的三點(diǎn)彎試件為基礎(chǔ)，通過調(diào)整其裂縫位置使裂尖處于彎拉復(fù)合應(yīng)力場(chǎng).直偏裂縫三點(diǎn)彎曲梁的尺寸（L×B×H）為1 000 mm×120 mm×200 mm，跨間尺寸800 mm，預(yù)制裂縫偏離跨中160 mm，初始縫高比為80/200＝0.4，試件具體參數(shù)見圖2.混凝土配合比取m（水泥）∶m（水）∶m（砂）∶m（石子）＝1.000∶0.440∶1.367∶2.907，其中水泥為P·O 42.5普通硅酸鹽水泥，采用同批次混凝土澆筑棱柱體試塊150 mm×150 mm×300 mm測(cè)得軸向抗壓強(qiáng)度為36.50 MPa.底部配置2根直徑為6.5 mm的HPB300光圓鋼筋，配筋率為0.276%，保護(hù)層取25 mm.按照試件尺寸預(yù)制木模板，將縱向鋼筋綁扎固定，采用尖端V型厚度約3 mm的不銹鋼板插入模板相應(yīng)位置以形成預(yù)制裂縫，混凝土初凝后拔出鋼板，室內(nèi)常規(guī)養(yǎng)護(hù)28 d.

由于混凝土Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂過程中會(huì)出現(xiàn)跨中底部和裂縫尖端2個(gè)薄弱位置［3］，本試驗(yàn)在混凝土表面粘貼了2組應(yīng)變片：裂尖兩側(cè)布置2個(gè)應(yīng)變片，以裂尖和加載點(diǎn)連一直線，垂直于直線方向相等間隔布置4個(gè)應(yīng)變片，其中應(yīng)變片1、2、3用來檢測(cè)裂尖起裂荷載，應(yīng)變片4、5、6監(jiān)測(cè)裂縫發(fā)展過程；為了獲得跨中開裂荷載，在跨中底部粘貼2個(gè)應(yīng)變片7、8，應(yīng)變片布置如圖2所示.

本試驗(yàn)在500 t的三軸壓力試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行，主要采集數(shù)據(jù)為：荷載P，裂縫開口位移，應(yīng)變值ε等，其中荷載P采用荷載傳感器測(cè)量，通過連續(xù)采集模式將數(shù)據(jù)傳至數(shù)據(jù)采集與控制系統(tǒng).采用美國聲學(xué)物理公司研發(fā)的8通道聲發(fā)射系統(tǒng)開展聲發(fā)射試驗(yàn)，在加載前采用砂紙打磨布設(shè)傳感器的混凝土表面使其光滑，涂抹凡士林以確保傳感器與試件表面接觸良好，將4個(gè)聲發(fā)射探頭通過膠帶固定在試件前后表面形成空間定位，探頭距試件上下底面均為50 mm，試驗(yàn)中前置增益設(shè)為40 dB，濾波頻率設(shè)為1～60 kHz，探頭布置情況見圖2，其中實(shí)線圈和虛線圈分別表示在試件正面和背面布置的聲發(fā)射傳感器.

圖2 直偏裂縫三點(diǎn)彎曲梁Fig.2 Three-point bending beam with a straight offset notch（size：mm）

2.2 聲發(fā)射參量時(shí)程分析

直偏裂縫三點(diǎn)彎曲梁的起裂荷載通過裂尖附近粘貼應(yīng)變片的應(yīng)變-時(shí)間（ε-t）曲線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)獲得.隨著加載進(jìn)行，裂尖附近能量聚集，應(yīng)變值逐漸增大，當(dāng)達(dá)到起裂荷載時(shí)，裂縫尖端起裂，此處的能量釋放，附近應(yīng)變片1、2、3的應(yīng)變值減?。?7］，此時(shí)即為起裂點(diǎn)，如圖3中A點(diǎn)所示.同理，跨中底部開裂荷載也通過應(yīng)變片7、8的應(yīng)變值回縮點(diǎn)來確定，如圖3中B點(diǎn)所示.達(dá)到圖3中C點(diǎn)后，荷載-時(shí)間（P-t）曲線出現(xiàn)小幅下降，可視為試件首次出現(xiàn)失穩(wěn)擴(kuò)展［18］，該臨界荷載記為Pc.由于鋼筋的存在，P-t曲線的峰后階段變得平緩，裂縫擴(kuò)展速率得以抑制，隨后荷載逐漸恢復(fù)甚至超過臨界荷載Pc，說明鋼筋的加入控制了失穩(wěn)擴(kuò)展并提升了構(gòu)件承載力.

圖3為能量釋放率與荷載時(shí)程曲線.圖4為振鈴計(jì)數(shù)與荷載時(shí)程曲線.由于加載初期經(jīng)歷了加載裝置與試件接觸、逐漸壓密等事件，外部環(huán)境對(duì)聲發(fā)射信號(hào)產(chǎn)生較大影響，因此本文從140 s開始統(tǒng)計(jì).由圖3可見：在裂尖起裂時(shí)刻，能量釋放率并未表現(xiàn)出明顯的突變行為，而在跨中開裂B點(diǎn)和臨界狀態(tài)C點(diǎn)時(shí)有較為明顯的突增.跨中開裂后，隨著加載的進(jìn)行，損傷加劇，同時(shí)混凝土承擔(dān)的荷載逐漸轉(zhuǎn)移至鋼筋，二者交替承載不斷形成新的平衡，從B點(diǎn)至C點(diǎn)之間能量釋放率也出現(xiàn)了若干次峰值，其最大值甚至超出B點(diǎn)和C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)值，說明這一階段聲發(fā)射活動(dòng)性顯著增強(qiáng)，且跨中開裂B對(duì)應(yīng)的能量釋放率接近2.5×106，大于臨界狀態(tài)C點(diǎn)的數(shù)值，即跨中開裂是斷裂過程中一個(gè)重要的臨界點(diǎn).圖4中振鈴計(jì)數(shù)與能量釋放率具有類似的特征，但能量釋放率在B點(diǎn)和C點(diǎn)的突變行為更加明顯.

圖3 能量釋放率與荷載時(shí)程曲線Fig.3 Time history curve of energy release rate and load

圖4 振鈴計(jì)數(shù)與荷載時(shí)程曲線Fig.4 Time history curves of AE ringing counting and load

2.3 基于灰色-尖點(diǎn)突變理論的斷裂過程分析

選取振鈴計(jì)數(shù)率按照1.3所述方法計(jì)算所得特征值Δ的絕對(duì)值較大，為了更加清楚地在圖中表達(dá)其正負(fù)特征，定義突變指標(biāo)Δ′如式（11）所示，Δ′與Δ正負(fù)相同，但絕對(duì)值減小：

根據(jù)上述方法對(duì)裂縫擴(kuò)展過程中不同時(shí)刻的突變指標(biāo)Δ′進(jìn)行計(jì)算，時(shí)間間隔取50 s，臨界時(shí)刻附近適當(dāng)加密，將560 s之前的計(jì)算結(jié)果列于表1，其余時(shí)刻的結(jié)果見圖5～7.

表1 裂縫擴(kuò)展不同時(shí)刻的突變指標(biāo)Table 1 Catastrophe index at different moments of crack propagation

圖5為突變指標(biāo)Δ′與裂尖處應(yīng)變時(shí)程曲線.由圖5可見，當(dāng)t＝203 s時(shí)，裂尖附近應(yīng)變片的ε-t曲線出現(xiàn)回縮，即裂尖起裂，對(duì)應(yīng)于這一時(shí)刻Δ′為－14.99，第1次出現(xiàn)負(fù)值，表示系統(tǒng)不穩(wěn)定，發(fā)生突變.

圖5 突變指標(biāo)與裂尖處應(yīng)變時(shí)程曲線Fig.5 Time history curve of catastrophe index and strain at notch tip

圖6為突變指標(biāo)Δ′與跨中應(yīng)變時(shí)程曲線.由圖6可見，在280 s附近，跨中附近應(yīng)變片的ε-t曲線出現(xiàn)明顯回縮，即跨中開裂，該時(shí)刻的Δ′為－18.54，第2次出現(xiàn)突變.

圖6 突變指標(biāo)與跨中底部應(yīng)變時(shí)程曲線Fig.6 Time history curve of catastrophe index and strain at midspan

圖7為突變指標(biāo)Δ′與荷載時(shí)程曲線.由圖7可見，在306 s附近荷載達(dá)到Pc，隨后出現(xiàn)小幅下降，對(duì)應(yīng)于此時(shí)刻的Δ′為－21.62，出現(xiàn)第3次突變.計(jì)算過程發(fā)現(xiàn)當(dāng)t取765 s時(shí)，Δ′亦出現(xiàn)負(fù)值，但此時(shí)試件已發(fā)生破壞，此處不再討論.同時(shí)分析預(yù)制裂縫位置和跨中位置處的鋼筋應(yīng)變可知，從裂尖起裂至跨中開裂階段，鋼筋應(yīng)力近似線性增長，從跨中開裂起線性增長速度變快，到達(dá)臨界荷載Pc后，鋼筋應(yīng)力突增隨后達(dá)到屈服，如前所述，荷載出現(xiàn)小幅下降后逐漸回升，由于鋼筋應(yīng)力強(qiáng)化使得荷載在后期可能超過Pc，鋼筋的加入提升了構(gòu)件的承載能力.

圖7 突變指標(biāo)與荷載時(shí)程曲線Fig.7 Time history curve of catastrophe index and load

如2.2所述，能量釋放率和振鈴計(jì)數(shù)在裂尖起裂時(shí)刻均未表現(xiàn)出明顯的突變特征，而基于振鈴計(jì)數(shù)率的灰色-尖點(diǎn)突變模型能夠有效的識(shí)別裂尖起裂、跨中開裂和Pc等3個(gè)臨界時(shí)刻，在此基礎(chǔ)上可將裂尖起裂與臨界荷載Pc之間的斷裂過程視為裂縫穩(wěn)定擴(kuò)展階段，這一模型可作為聲發(fā)射基本參量分析方法的有益補(bǔ)充.

圖8為試件破壞圖，試件的宏觀破壞路徑表現(xiàn)為起始于裂尖的復(fù)合型斜裂縫（如紅色線條所示）.圖9為加載初期和試件破壞時(shí)的聲發(fā)射事件三維定位圖，藍(lán)色線框示意預(yù)制裂縫.由圖9可見：在加載初期出現(xiàn)少量損傷點(diǎn)（圖9（a）），并主要存在于跨中底部，這是由于跨中底部承受最大彎矩亦是薄弱部位，鋼筋在加載初期對(duì)于預(yù)制裂縫有限裂作用；試件破壞時(shí)大量的損傷點(diǎn)同時(shí)出現(xiàn)在復(fù)合型斜裂縫（路徑Ⅰ）周圍和跨中底部附近（路徑Ⅱ）（圖9（b））.這一現(xiàn)象表明，雖然試件的跨中底部并未形成可見的宏觀裂縫，但在加載過程中內(nèi)部已產(chǎn)生大量的損傷，基于振鈴計(jì)數(shù)率的灰色-尖點(diǎn)突變模型能夠有效地識(shí)別出跨中這一薄弱部位的開裂時(shí)刻，該分析方法可為大型結(jié)構(gòu)裂縫穩(wěn)定性分析和預(yù)警監(jiān)測(cè)系統(tǒng)建立提供基礎(chǔ).

圖8 試件的破壞路徑Fig.8 Crack propagation path of specimen

圖9 聲發(fā)射事件的三維定位Fig.9 3D crack source locations based on AE

3 結(jié)論

（1）能量釋放率等聲發(fā)射參量在鋼筋混凝土Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂過程的跨中開裂和臨界荷載Pc時(shí)刻產(chǎn)生突增，但在裂尖開裂時(shí)刻未表現(xiàn)出明顯變化.

（2）基于振鈴計(jì)數(shù)率的灰色-尖點(diǎn)突變模型，可以有效地識(shí)別鋼筋混凝土Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂過程中的裂尖起裂、跨中開裂和臨界荷載Pc等3個(gè)臨界狀態(tài)，這一模型可作為聲發(fā)射基本參量分析方法的有益補(bǔ)充.

（3）雖然試件的宏觀裂縫表現(xiàn)為起始于裂尖的斜裂縫，但跨中開裂時(shí)刻的突變特征及聲發(fā)射定位結(jié)果均表明在鋼筋混凝土Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型斷裂過程中，試件的跨中底部附近區(qū)域亦存在大量內(nèi)部損傷，這一結(jié)論可為混凝土結(jié)構(gòu)裂縫的穩(wěn)定性分析提供基礎(chǔ).