不定積分一題多解問題的常見方法

楊 濤 付 裕（.四川工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，四川 德陽 68009；.四川工商學(xué)院數(shù)理教研室，四川 成都 6745）

1 引言

不定積分計(jì)算是高等數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)之一，其常用計(jì)算方法有：換元積分法和分部積分法.然而許多學(xué)生在計(jì)算不定積分時(shí)總感到束手無策、無從下手：一方面是因?yàn)椴欢ǚe分的題目類型較多，求解方法因問題的不同而變化多端；另一方面，在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生疏于對(duì)計(jì)算方法的歸納和總結(jié).因此，為幫助學(xué)生較好地理解和掌握不定積分的計(jì)算、熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解不定積分，本文對(duì)不定積分常見的計(jì)算方法進(jìn)行歸納和總結(jié)，幫助學(xué)生理解和掌握不定積分求解方法.

2 準(zhǔn)備知識(shí)

定義1（原函數(shù)）設(shè)函數(shù)f（x）和F（x）在區(qū)間I上有定義.若滿足F′（x）＝f（x），x∈I，則稱F（x）為f（x）在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).

定義2函數(shù)f（x）在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為f（x）在區(qū)間I上的不定積分，記作.其中，為積分號(hào)，f（x）為被積函數(shù)，f（x）dx為被積表達(dá)式，x為積分變量.

不為零的常數(shù)因子可以移到積分號(hào)前，即

兩個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的積分等于函數(shù)積分的代數(shù)和，即

3 不定積分計(jì)算常用方法

3.1 換元積分法計(jì)算不定積分

換元積分法是計(jì)算不定積分的常用方法，然而不定積分題目類型較多，不同類型的不定積分求解方法并不相同，這就需要我們對(duì)不定積分求解方法進(jìn)行歸納和總結(jié)，并將其靈活運(yùn)用于不定積分求解過程中.本文從實(shí)際出發(fā)，對(duì)一些不易求解的不定積分設(shè)置多種求解方法（換元積分法、添項(xiàng)法1、添項(xiàng)法2 及萬能公式計(jì)算方法），以幫助同學(xué)們熟練掌握不定積分的計(jì)算方法，拓展計(jì)算思維.

解法1：（換元法，此方法技巧性較高）

解法2：（萬能公式，常規(guī)法）

3.2 添項(xiàng)法計(jì)算不定積分

不定積分計(jì)算過程中，若運(yùn)用添項(xiàng)法，則需要學(xué)生具有很高的技巧性且對(duì)三角函數(shù)公式要足夠的熟悉，也需要學(xué)生平時(shí)對(duì)不定積分計(jì)算方法進(jìn)行歸納和總結(jié).例1 中運(yùn)用添項(xiàng)法計(jì)算不定積分可以有如下兩種思考.

解法3：（添項(xiàng)法1）

解法4：（添項(xiàng)法2）

從而，驗(yàn)證方法4 所得結(jié)果與方法1—方法3 求得結(jié)果是等價(jià)的.

3.3 線性方程組計(jì)算不定積分

換元積分法和添項(xiàng)法是求不定積分的有效方法之一，對(duì)于某些不定積分的計(jì)算，可運(yùn)用解線性方程組的方法求解.

解：（線性方程組求解不定積分，此方法需要平時(shí)對(duì)方法的積累）

解：（線性方程組求解不定積分，且要求熟悉遞推和三角函數(shù)關(guān)系）

3.4 分部積分法和線性方程組在不定積分計(jì)算中的綜合運(yùn)用

分部積分法是求解不定積分最常見方法，分部積分法和線性方程組在不定積分計(jì)算中的綜合運(yùn)用可以很好地鍛煉學(xué)生的思維能力和計(jì)算能力.

雖然分部積分法是求不定積分中最常用、最基本的方法，但存在不適用的情形，如以下實(shí)例.

3.5 一些特殊函數(shù)的積分法

某些不定積分看似簡單，其實(shí)并不簡單，必須把分式分解才行，此時(shí)分解一般用待定系數(shù)法求出系數(shù).

4 結(jié)束語

上述實(shí)例表明，同一不定積分計(jì)算求解方法并不唯一（如例1），有時(shí)某些不定積分的計(jì)算可以運(yùn)用求解線性方程組的方式計(jì)算（如例2、例3）.因此，在計(jì)算不定積分時(shí)，選取合適的、合理的求解方法是快速解決問題的關(guān)鍵.針對(duì)同一問題，應(yīng)從不同的角度思考問題，從已有的方法中發(fā)現(xiàn)新穎的解題方法，這不僅能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且能夠更好地提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進(jìn)一步挖掘?qū)?shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際生活中的潛在能力.所以，在授課的過程中，教師不僅需要講解不定積分求解的基本方法，而且要求學(xué)生熟練掌握知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系和綜合運(yùn)用.