有理分式不定積分新解

董麗萍，曾 晶

(福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，福建 福州 350117)

數(shù)學(xué)分析課程中的定積分在計算平面圖形的面積、體積、平面曲線的弧長，壓力、引力等物理量，以及常微分方程和多元積分學(xué)的計算中都至關(guān)重要.不定積分被積函數(shù)類型多樣，如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、有理分式、三角函數(shù)有理式和某些無理根式等.其中，求解有理分式不定積分的方法較多、技巧性強.由于有理假分式可以轉(zhuǎn)化為一個多項式和有理真分式之和，因此有理分式不定積分的計算主要是有理真分式不定積分的計算，這是本文主要的討論對象，其一般形式為

(1)

其中n，m為非負(fù)整數(shù)，n>m≥0，ai，bj(i=0，1，…，n;j=0，1，…，m) 均為常數(shù)，且an≠0，bm≠0.

計算有理分式不定積分的常用方法有湊微分法、換元法、分部積分法等.這些方法在一些數(shù)學(xué)教材[1-3]中都有詳細(xì)的介紹，但不能解出任意有理分式不定積分，有些雖然可以解出，卻步驟繁瑣.一直以來，數(shù)學(xué)研究者們不斷尋求各種簡便方法計算有理分式的不定積分，如吳春[4]提出對分母無重根的有理分式，直接運用積分規(guī)則積分；對分母有重根的，先化有理分式為無重根的形式再積分；對分母次數(shù)遠(yuǎn)大于分子次數(shù)的，先作變量替換，再積分等技巧.李鴻儒[5]提出拆項法，徐英杰等[6]運用配項和湊微分的方法避免了分解有理分式和求解系數(shù)的繁雜步驟.劉玉娟等[7]根據(jù)遞推公式和三角代換將有理分式化為三角函數(shù)有理式，然后由三角函數(shù)的關(guān)系式化簡求解.顧麗娟等[8]將部分分式積分法的計算步驟合并，整理出一個統(tǒng)一公式，利用公式直接計算.

(2)

1 預(yù)備知識和定理

定義1[12]設(shè)f(x)、g(x)是兩個實系數(shù)多項式，若滿足如下條件：

(1)d(x)是f(x)、g(x)的公因式.

(2)f(x)、g(x)的公因式全是d(x)的因式，則d(x)稱為f(x)、g(x)的一個最大公因式.

記(f(x)，g(x))為f(x)、g(x)首項系數(shù)為1的最大公因式.

定義2若(f(x)，g(x))=1，則f(x)與g(x)稱為互素的.

引理1[12]次數(shù)≥1的實系數(shù)多項式在實數(shù)域上可以唯一分解成含一次因式和二次因式的乘積的形式.

引理2[10]設(shè)式(1)中Q(x)=Q1(x)Q2(x) …Qs(x)，且Q1(x)，Q2(x)，…，Qs(x)互素，則存在唯一一組多項式P1(x)，P2(x)，…，Ps(x)使得式(1)化為

由引理1可知式(1)中的Q(x)可以分解為

Q(x)=an(x-d1)s1(x-d2)s2…(x-dr)sr(x2+e1x+f1)k1(x2+e2x+f2)k2…(x2+etx+ft)kt.

(3)

由于Q(x)具有式(3)中形如(x-di)si和(x2+eix+fi)ki的因式，定理1和定理2分別對Q(x)只含有這兩類因式的情形進(jìn)行分解.定理3對一般形式的Q(x)，即式(3)給出分解方法.

定理1若Q(x)=an(x-d)n，P(x)為m(

其中An-i(i=0，1，…，m)為常數(shù).

證明 根據(jù)泰勒展開公式，有

等式兩邊同時除以an(x-d)n得

注1有理分式分解通常采用文[2]的方法，當(dāng)式(1)的Q(x)形如an(x-d)n時，其分解式形如式(2)，共有n項.由定理1知P(x)泰勒展開的項數(shù)為m+1項，因此式(1)分解的項數(shù)為m+1項，有效減少了求解步驟.

定理2若式(1)中Q(x)=an(x2+ex+f)l，其中e2-4f<0.P(x)為m(<2l)次多項式，則式(1)可化為

證明 作帶余除法

P(x)=P0(x)(x2+ex+f)+(E0x+F0)，

P0(x)=P1(x)(x2+ex+f)+(E1x+F1)，

P1(x)=P2(x)(x2+ex+f)+(E2x+F2)，

?

Pλ-2(x)=Pλ-1(x)(x2+ex+f)+(Eλ-1x+Fλ-1)，

從而

P(x)=Pλ-1(x)(x2+ex+f)λ+(Eλ-1x+Fλ-1)(x2+ex+f)λ-1+

(Eλ-2x+Fλ-2)(x2+ex+f)λ-2+…+(E0x+F0).

覆蓋層是巖溶塌陷產(chǎn)生的物質(zhì)載體，既是巖溶塌陷的破壞體，又是抵抗巖溶變形塌陷的重要組成部分。覆蓋層厚度越薄，巖溶塌陷越發(fā)育，分布密度也越大。覆蓋層厚度越厚，地下水潛蝕路徑越長，土洞擴(kuò)展到地面的時間也越長，自身容易達(dá)到應(yīng)力平衡，越不容易發(fā)生塌陷[11]。據(jù)高密度電法測量，研究區(qū)東、西側(cè)山溝第四系覆蓋層厚度1～8 m，從鉆探情況看，表層覆蓋層厚度在1～5 m內(nèi)。

(4)

記Pλ-1(x)=Eλx+Fλ，式(4)兩邊同時除以an(x2+ex+f)l得

定理3若Q(x)形如式(3)，則式(1)可化為

由定理1和定理2得

故

注3定理1和定理2為定理3的特例，分別證明Q(x)只含單個一次因式和二次因式的情形.

推論1任何有理真分式的不定積分都可以歸為求以下兩種形式的不定積分：

(5)

(6)

其中d，e，f，E，F(xiàn)均為常數(shù).

注4(1) 推論1由定理3直接得到.

(2)文[2]有類似結(jié)論，但未證明.

(3)式(5)直接計算得

式(6)可化為

(7)

當(dāng)l=1時，式(7)可化為

當(dāng)l≥2時，式(7)第二個等號后的第一個不定積分為

對式(7)第二個等號后的第二個不定積分，記

則有遞推公式

(8)

綜上，式(6)的計算結(jié)果為

(9)

其中Il由式(8)給出.

以下給出2個例子說明對分子分母次數(shù)相差較大且需要通過分解分式求解的有理分式，其分解的項數(shù)較通常做法少.

故

等式兩邊同乘(x2-x+1)3得

2x2+1=E1x+F1+(E2x+F2)(x2-x+1).

比較兩端系數(shù)得

E1=2，E2=0，F(xiàn)1=-1，F(xiàn)2=2，

故

故

2 結(jié)語

本文對有理分式不定積分分解為部分分式的過程及計算方法進(jìn)行了梳理，得到有理分式分解的項數(shù)與分子次數(shù)的關(guān)系，重新給出有理分式分解為部分分式的形式，其分解的形式由分母的形式和分子的次數(shù)共同決定.