一種自適應分數(shù)階變分圖像復原模型

徐慧嫻,田洋川,陳明舉,2*，熊興中

(1.四川輕化工大學 人工智能四川省重點實驗室，四川 宜賓 644000；2.四川輕化工大學 企業(yè)信息化與物聯(lián)網測控技術四川省高校重點實驗室，四川 宜賓644000)

0 引言

圖像在獲取、傳輸和存儲過程中不可避免地會受到不利因素的影響，造成質量退化。后期應用中往往需要高質量的清晰圖像，這就要求圖像復原技術盡可能地恢復出真實的原始圖像[1]。圖像復原問題是一個病態(tài)問題，通過求解Tikhonov正則化[2]，對原始函數(shù)的估計正則化函數(shù)采用全變分模型可以較好地去除圖像的模糊，復原圖像的真實信息[3]。近年來，產生了許多經典的基于變分技術的圖像復原模型，如異向全變分模型[4]、高階變分模型[5]以及非局部變分模型[6]等。通常，變分模型都是基于整數(shù)階微分梯度，整數(shù)階梯度不能有效地區(qū)分圖像高頻信息與干擾噪聲，在圖像復原過程中，部分噪聲被當作圖像高頻信息進行增強處理，產生階梯現(xiàn)象，造成圖像模糊。

為抑制階梯效應并更好地復原圖像紋理信息，相關研究發(fā)現(xiàn)分數(shù)階微分具有“弱導數(shù)”的性質，對不同頻域成分采用不同的處理策略，在增強圖像高頻信息的同時，能夠較好地保留圖像中的低頻信息[7-8]。將分數(shù)階微分引入變分模型中，勢必提高變分技術圖像增強的性能。Chowdhury等[9]根據圖像的特性，建立去除泊松噪聲的分數(shù)階變分模型，有效地克服了階梯現(xiàn)象。王迎美等[10]將分數(shù)階與整數(shù)階變分(Integer and Fractional Order Total Variation,IFOTV)相結合，分別極小化分數(shù)階與整數(shù)階的梯度，實現(xiàn)噪聲的消除，有效地克服了階梯現(xiàn)象。Fairag等[11]通過分數(shù)階代替圖像復原變分模型的變分項，建立分數(shù)階的圖像復原變分模型(Fractional Order Total Variation,FOTV)，以獲得更好的圖像去模糊性能。

利用分數(shù)階變分非線性特性，可以有效識別圖像的不同頻域成分信息，實現(xiàn)圖像細節(jié)與紋理的高效復原，從而獲得更好的圖像處理效果。但分數(shù)階變分技術在圖像復原處理中仍存在一定的不足，未充分考慮圖像局部特性[12]，在不同特性的區(qū)域采用恒定的圖像修復策略，欠缺對退化函數(shù)先驗知識的有效利用與優(yōu)化求解困難等[13-14]。

針對上述問題，本文在分數(shù)階圖像復原模型的基礎上，提出了一種充分利用退化函數(shù)先驗信息的自適應分數(shù)階圖像復原模型。該模型首先引入圖像梯度算子控制模型的分數(shù)階變分項，以實現(xiàn)在圖像不同特征區(qū)域采用不同的分數(shù)階變分策略和變分階數(shù)的自適應；通過極小化退化函數(shù)分數(shù)階范數(shù)，實現(xiàn)退化函數(shù)的平滑先驗知識的有效利用。然后，將對偶算法引入交替極小化算法中[15]，實現(xiàn)模型的優(yōu)化求解，從而實現(xiàn)對原始圖像的準確估計。最后，通過對比實驗證明，建立的自適應分數(shù)階圖像復原模型可以更好地復原圖像的結構與紋理信息，圖像復原性能更優(yōu)。

1 相關理論

1.1 分數(shù)階變分模型

Wei等[16]將整數(shù)n階擴展到整個實數(shù)空間，引入伽馬函數(shù)Γ(n)，得出連續(xù)函數(shù)f(t)任意階次α的分數(shù)階:

(1)

式中,α為任意實數(shù)階次；h為微分步長；[]為取整符號；Γ(n)為伽馬函數(shù)；t和a分別表示m的取值范圍。在圖像全變分模型中將分數(shù)階微分算子代替整數(shù)階微分算子，可得分數(shù)階變分模型：

(2)

(3)

(4)

將分數(shù)階代入正則化模型，得到圖像復原的分數(shù)階變分模型FOTV:

(5)

1.2 Bregman迭代與對偶算法

直接通過極小化圖像梯度的能量泛函通常存在不穩(wěn)定現(xiàn)象，Bregman迭代與對偶算法能有效地消除變分求解過程中的不穩(wěn)定現(xiàn)象，從而快速迭代實現(xiàn)收斂。本文采用分裂Bregman迭代交替極小化的思路[17]，將對偶算法引入交替極小化算法，實現(xiàn)模型的優(yōu)化求解。

Bregman迭代引入次梯度算法，并通過極小化圖像的Bregman距離實現(xiàn)圖像能量泛函的求解。令：

J(u)=‖αu‖1。

(6)

圖像u與un的分數(shù)階Bregman距離定義為：

(7)

通過FOTV極小化問題轉化為極小化Bregman距離:

(8)

另一方面，對偶算法(Primal Dual,PD)可以消除圖像的鞍點[18]，有利于變分求解的穩(wěn)定。定義分數(shù)階對偶算子為：

(9)

式中，

(10)

FOTV模型采用對偶算法的極小最大值法轉化為：

(11)

2 自適應分數(shù)階變分復原模型

2.1 自適應分數(shù)階變分復原模型的建立

由式(5)可以看出，分數(shù)階變分模型在圖像的不同區(qū)域都采用權重恒定的分數(shù)階變分項，未能根據圖像的局部特性進行相應調整。另外，分數(shù)階變分模型未充分利用退化函數(shù)的特性，若充分利用退化函數(shù)的先驗知識，其復原性能將進一步提高[19]。

基于上述思想，采用l1范數(shù)對退化函數(shù)的分數(shù)階梯度進行表示，并通過梯度大小控制分數(shù)階變分項的階數(shù)，構建圖像復原的自適應分數(shù)階變分 (Adaptive Fraction-Order Total Variation,AFOTV)模型：

(12)

式中，g(u)為權值，大小由圖像局部梯度確定：

(13)

由式(13)可知，g(u)大小由圖像的梯度決定。在圖像平滑區(qū)域，其值較大，著重于模糊的去除；在圖像邊界區(qū)域，其值較小，著重于圖像信息的保持，從而實現(xiàn)在圖像的不同特性區(qū)域采用不同的分數(shù)階策略，可以更好地復原圖像的真實信息。另外，式(13)中加入對退化函數(shù)進行分數(shù)階描述，對于常見的退化函數(shù)，如濾波卷積、運動模糊以及大氣湍流等，其梯度泛函值較小，增加了對退化函數(shù)k的分數(shù)階先驗知識的利用，可以進一步提高復原圖像的質量。

2.2 模型的求解

為了實現(xiàn)AFOTV模型的穩(wěn)定迭代求解，采用分裂迭代(Split Bregman,SB)交替極小化思想，引入輔助變量ω，AFOTV模型極小化問題可轉化為：

(14)

(15)

ωn+1=ωn+f-kωn+1。

(16)

引入對偶算子的思想u與k的極小化問題可以進一步轉換為：

(17)

(18)

利用對偶算子分別求解式(17)和式(18)，可得：

(19)

un+1=un-τ1[λ1(α)Tpn+1+(kn)T(knun-f-ωn)]，

(20)

(21)

(22)

kn+1=kn-τ2[λ1(α)Tqn+1+(un+1)T*(knun+1-f-ωn)]，

(23)

式(19)和式(20)中∏X(z)，∏Y(z)表達式分別為：

(24)

(25)

綜上分析，AFOTV模型的PD+SB迭代求解流程如下：

3 結果與討論

為了證明AFOTV模型的性能，將AFOTV圖像復原的結果與FOTV，IFOTV進行對比分析實驗，采用峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio,PSNR)和結構相似性(Structural Similarity Index,SSIM)作為評價指標。

為了使分數(shù)階α的取值最優(yōu)，首先在常見的退化環(huán)境下(高斯模糊、均值模糊以及移動模糊)對α取不同的值進行實驗，選擇最優(yōu)α進行下一步對比分析，結果如圖1所示。由圖1可以看出，對于高斯模糊、均值模糊以及移動模糊α取值為1.6，1.8，1.6時，獲得最大的PSNR值。

圖1 分數(shù)階α取不同值時對cameraman圖像復原性能的影響Fig.1 Influence of the fractional orders α on the restoration performance of a cameraman image

為了進一步說明AFOTV模型具有更好的圖像復原性能，圖2～圖4給出了cameraman，woman以及boat圖像在高斯、均值以及運動退化環(huán)境下采用3種模型復原后的結果，并在各圖的右下角給出紅色區(qū)域的局部放大圖。

(a) 原圖

由圖2可以看出，在高斯退化環(huán)境下，經過FOTV復原的圖片存在一定程度的失真現(xiàn)象，細節(jié)信息也存在一定的模糊。IFOTV對邊緣信息的損失嚴重，人臉、相機及衣角的邊緣模糊。而本文的AFOTV模型不存在圖像失真現(xiàn)象，并且能更好地復原圖像的細節(jié)紋理信息，人臉、相機及衣角的輪廓都更為清晰，視覺質量最佳。由圖3可以看出，在均值退化環(huán)境下，F(xiàn)OTV及IFOTV復原后的圖片中，眼窩、鼻梁及頭發(fā)陰影部分的失真較大，并且邊緣存在一定程度的模糊，而AFOTV對眉毛以及眼睛輪廓的復原效果最好。由圖4可以看出，在運動退化環(huán)境下，AFOTV可以更好地復原圖像的細節(jié)紋理信息，文字更加清晰，邊界輪廓也處理得更好。綜上分析可知，在3種退化環(huán)境下，AFOTV模型在采用分數(shù)變分描述退化函數(shù)的同時實現(xiàn)對圖像分數(shù)階變分的自適應，更準確地實現(xiàn)對圖像的描述，獲得了更好的圖像復原性能。

表1給出了圖2～圖4中復原前后各圖片的PSNR與SSIM。由表1可以看出，F(xiàn)OTV復原后的圖像的PSNR和SSIM最低，AFOTV模型圖像復原后的PSNR和SSIM最高，其PSNR和SSIM分別高于IFOTV 0.5 dB和0.01 dB。由客觀指標可以看出，AFOTV模型在對退化函數(shù)分數(shù)階變分描述的同時通過圖像梯度實現(xiàn)自適應分數(shù)階變分，有效利用圖像的先驗知識，獲得更好的圖像復原性能。

表1 不同退化圖片采用3種模型復原后性能比較

4 結束語

本文建立了一種自適應分數(shù)階圖像復原模型，采用圖像梯度的算子對分數(shù)階變分項進行修正，以實現(xiàn)在圖像不同特性區(qū)域進行不同程度的變分復原；對退化函數(shù)采用分數(shù)階變分進行描述，以更好地利用退化先驗知識實現(xiàn)對原始圖像的估計。在模型的求解中，通過結合Bregman迭代與對偶極小化實現(xiàn)建立的自適應分數(shù)階圖像復原模型優(yōu)化求解，并通過對比實驗證明該模型具有更好的圖像復原性能，能更好地復原圖像的結構與紋理信息。因此，自適應分數(shù)階圖像復原模型具有很好的參考價值與應用前景。

由于新模型的建立是假設退化函數(shù)梯度的泛函較小的前提，對于高斯模糊、均值模糊以及移動模糊退化復合上述假設，對于其他退化環(huán)境，如大氣湍流退化、輻射退化以及多種復合退化場景，本模型的適用性還有待進一步研究。另外，模型的求解采用Bregman迭代與對偶極小化實現(xiàn)，該方法涉及多個變量的極小化，迭代收斂時間較長，下一步將新的數(shù)學理論應用于模型的求解中，以縮短收斂時間。