變量為六元三次的除數(shù)函數(shù)

王琳琳

(華北水利水電大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 450046，河南省鄭州市)

0 引言與重要結(jié)論

1993年，Gafurov[1]研究了變量為二元二次型的除數(shù)函數(shù)均值問題并推導(dǎo)出了它的漸近公式

本文將在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上考慮變量為六元三次型的除數(shù)函數(shù)的均值問題.

為了能夠得到本文的結(jié)論,首先定義一些公式. 設(shè)S(a,q)為指數(shù)和

(1)

令0≤j≤k-1,設(shè)

其中a是大于零的整數(shù),系數(shù)cj+1(b,q)的定義詳見文獻(xiàn)[12].根據(jù)文獻(xiàn)[13]，當(dāng)(a,q)=1時(shí),Aj(q)與整數(shù)a無關(guān)，并得出一個(gè)上界

Aj(q)?kq-1.

(2)

令

(3)

(4)

其中i,j(0≤i≤j≤3)是整數(shù).

本文的重要結(jié)果如下.

定理1 設(shè)d4(n)是除數(shù)函數(shù),則有

1 證明思路概述

(5)

其中整數(shù)a，q滿足1≤a≤q≤Q以及(a,q)=1,我們用M(a,q)表示滿足式(5)的α的集合,并且定義主區(qū)間M和余區(qū)間C(M)如下

(6)

令

(7)

由(7)式和恒等式

有

(8)

為了方便起見，令

這樣就可以把對(duì)定理1的研究轉(zhuǎn)化為計(jì)算S1(x)的漸近公式和S2(x)的上界.

2 F(α;x)和在主區(qū)間上的估計(jì)

(9)

其中

(10)

根據(jù)分部積分可得Ij(β)的上界

Ij(β)?xεmin{x,|β|-1}.

(11)

證明與文獻(xiàn)[4]中的引理4.1的證明過程類似.

為了證明結(jié)論需要應(yīng)用下面兩個(gè)引理.

3 定理1的證明

由引理2.1和引理2.2得

因此,將(2)式和(11)式代入并積分求和得

則

接著考慮等號(hào)右邊的積分,根據(jù)Ij(β)的定義得到

其中

由(2)式和引理2.3推出

于是

其中Ii由(3)式給出.

接下來把q≤P擴(kuò)展到所有的正整數(shù)得

綜上得

(12)

其中Ii，j的定義分別由(3)、(4)式給出.

現(xiàn)在估計(jì)S2(x)的上界,對(duì)每一個(gè)α∈C(M)都可以寫成(5)式且滿足P

由文獻(xiàn)[14]中的引理2.4可以得出

根據(jù)Shiu[16]的結(jié)果推出

(13)

根據(jù)(8)、(12)和(13)式定理1得證.