一類分?jǐn)?shù)階微分方程 m 點邊值問題的正解存在性*

趙 微, 李 娜

(大慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,163712,黑龍江省大慶市)

0 引 言

近幾十年來，分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題研究受到了許多學(xué)者的關(guān)注[1-10]. 文獻[1-5]主要研究了Riemann-Liouvill分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題. 文獻[6,7]主要研究了Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題. 文獻[8-10]研究了“適型分?jǐn)?shù)階”導(dǎo)數(shù)及其邊值問題. 上述文獻中，大多采用的是錐拉伸與錐壓縮不動點定理，或者Leggett-Williams定理，得到了分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解存在的結(jié)果. 文獻[10]研究了如下分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題

其中Dα關(guān)于α是適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù). 作者運用錐上的不動點定理，得到了正解存在的結(jié)果.

受上述文獻的啟發(fā)，本文將研究如下適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的m點邊值問題,

Dvu(t)+h(t)f(u(t))=0,0

(1)

u(0)=u′(0)=0,

(2)

(3)

其中Dv,Dα是適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，ηi∈(0,1),0<η1<η2<…<ηm-2<1,βi∈[0,∞),且允許h(t) 在t=0 或t=1處奇異.

首先,文中會構(gòu)建關(guān)于問題(1)-(3)的格林函數(shù)，并推導(dǎo)其相應(yīng)的性質(zhì)；其次，通過運用凸泛函不動點指數(shù)定理來計算不動點指數(shù)，得到上述問題至少存在一個正解的結(jié)論；最后，給出一個例子來說明主要定理的應(yīng)用.

1 準(zhǔn)備工作

為方便起見，首先給出一些必要的定義和引理；其次推導(dǎo)出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階微分方程的格林函數(shù)，并推導(dǎo)出格林函數(shù)的一些性質(zhì).

定義2.1[10]連續(xù)函數(shù)f:(0,+∞)→的α∈(n,n+1] 階適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

由適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，可知α=1時適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)就是傳統(tǒng)一階導(dǎo)數(shù)的定義.

定義2.2[10]連續(xù)函數(shù)f:(0,+∞)→的α∈(n,n+1] 階分?jǐn)?shù)積分定義為

其中In+1是n+1 重積分算子.

引理2.1[10]設(shè)α∈(n,n+1],u∈C(0,+∞) 具有α(>0) 階適型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù). 則

IαDαu(t)=u(t)+C0+C1t+…+Cntn,

其中Ci∈,i=0,1,2,…,n.

引理2.2 給定y∈C[0,1]. 則關(guān)于問題Dvu(t)+y(t)=0,0

其中

證明由引理2.1可得上述問題的通解為

根據(jù)(2)式，可知C0=C1=0. 另一方面,根據(jù)文獻[10]中Dα(tp)=ptp-α, 則可從(3)式中得到

經(jīng)計算可得

于是有

引理2.3 設(shè)g(t,s)為引理 2.2中所給函數(shù). 則它滿足

(1)g(t,s)≤sv-2(1-s),?t,s∈[0,1].

證明(1) 當(dāng) 0

為方便，做如下假設(shè):

(H3)f:[0,+∞)→[0,+∞) 是連續(xù)的.

定義算子

引理2.4 設(shè)條件 (H1)-(H3) 滿足. 則A:P→P全連續(xù).

證明由引理 2.3 及A的定義,有

且

由Azela-Ascoli定理知A:P→P全連續(xù).如果A有不動點u≠0, 則u是(1)-(3)的正解.

下面介紹有關(guān)凸泛函及凸泛函的兩個不動點指數(shù)引理.

定義2.3[11]如果錐P上的泛函ρ:P→，對于?x,y∈P,t∈[0,1]，滿足

ρ(tx+(1-t)y)≤tρ(x)+(1-t)ρ(y),

則稱ρ是錐P上的凸泛函.

(ⅱ)ρ(Ax)≥ρ(x) 且Ax≠x,?x∈P∩?Ω，

則不動點指數(shù)i(A,P∩Ω,P)=0.

2 主要結(jié)論

令

顯然有h0≥hτ>0.

定理3.1 假設(shè) (H1)-(H3) 成立. 如果存在常數(shù)a和b,使得當(dāng) 0

(ⅰ)b

則分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題 (1)-(3)至少存在一個正解.

證明令

則ρ1:P→[0,+∞)是一致連續(xù)的凸泛函，且ρ1(θ)=0.對于?u∈P{θ},

假設(shè)A在P∩?Ω1上沒有不動點. 則由引理2.5知

i(A,P∩Ω1,P)=1.

(4)

令

所以由引理2.3有

假設(shè)A在P∩?Ω2上沒有不動點，由引理2.6 知

i(A,P∩Ω2,P)=0.

(5)

定理3.2 假設(shè) (H1)-(H3) 成立. 如果存在常數(shù)a和b，使得當(dāng)0

則分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題 (1)-(3)至少存在一個正解.

設(shè)

于是ρi:P→[0,+∞) 是一致連續(xù)凸泛函，且ρi(θ)=0(i=1,2) .對于 ?u∈P{θ},

令 Ω1={u∈C[0,1]|ρ2(u)

所以由引理2.6知

i(A,P∩Ω1,P)=0.

(6)

如果u∈P∩?Ω2, 則有

由引理2.5知,

i(A,P∩Ω2,P)=1.

(7)

4 例 子

例1 考慮如下分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題