柯西積分高階導(dǎo)數(shù)公式的一個注記

陳艷萍

(北京科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 100083)

1 引 言

眾所周知，柯西積分高階導(dǎo)數(shù)公式是復(fù)變函數(shù)論中的重要公式之一，是由柯西積分公式導(dǎo)出的.二者對深刻學(xué)習(xí)和研究解析函數(shù)都起到了至關(guān)重要的作用[1-2].

(1)

另一方面，在積分號下對z求導(dǎo)，可以推廣柯西積分公式，得到柯西積分高階導(dǎo)數(shù)公式的基本形式[3-7]：設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析, 則f′(z)仍在區(qū)域D內(nèi)解析, 即解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，且其n階導(dǎo)數(shù)可表示為

其中，C是函數(shù)解析域內(nèi)包含z的任意閉曲線，方向取逆時針方向.

柯西積分高階導(dǎo)數(shù)公式作為研究復(fù)變函數(shù)論中解析函數(shù)的重要工具.它既說明了解析函數(shù)的一個重要特征——解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)在其解析域內(nèi)都存在，又得到了解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)均可以寫成沿區(qū)域邊界曲線的積分形式.另外，柯西積分高階導(dǎo)數(shù)公式的作用，不僅僅在于用積分表達(dá)導(dǎo)數(shù)，更體現(xiàn)在通過導(dǎo)數(shù)來計(jì)算積分.更多地，柯西積分高階導(dǎo)數(shù)公式還可以用來證明劉維爾定理、莫雷拉定理以及柯西不等式等許多重要結(jié)果, 具體可參看文獻(xiàn)[3-4].因此，關(guān)于柯西積分高階導(dǎo)數(shù)公式的研究，無論是對解析函數(shù)的理論學(xué)習(xí)還是其相關(guān)應(yīng)用都具有十分重要的意義.在筆者的研究工作中發(fā)現(xiàn)，柯西積分高階導(dǎo)數(shù)公式在調(diào)和分析中也有著廣泛的應(yīng)用.該文將以柯西積分高階導(dǎo)數(shù)公式為重要工具，研究調(diào)和分析領(lǐng)域中最基本的奇異積分算子——Hilbert變換相關(guān)的加權(quán)模不等式.

2 預(yù)備知識

為了得出主要結(jié)果，下面將介紹一些已知的定義和相關(guān)引理.

定義1[8](有界線性算子)令(X, ‖·‖X)，(Y, ‖·‖Y)是賦范空間，設(shè)T∶D(T)→Y的線性算子，其中D(T)?X.那么稱算子T是有界的當(dāng)且僅當(dāng)存在一個正實(shí)數(shù)c使得對任意x∈D(T)，

‖Tx‖Y≤c‖x‖X.

定義2[9](L2空間) 設(shè)f(x)是上的可測函數(shù)，記

并用L2()表示使‖f‖2<∞的f全體，稱其為L2空間.

定義3[9](A2函數(shù)) 設(shè)w(x)是上局部可積的非負(fù)函數(shù).則w(x)∈A2，當(dāng)且僅當(dāng)對任意的區(qū)間Q

定義4[9](L2(w)空間)f(x)是上的可測函數(shù)，w(x)是上局部可積的非負(fù)函數(shù)，記

數(shù)據(jù)導(dǎo)入SPSS 19.0統(tǒng)計(jì)學(xué)軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)分析。所有計(jì)量資料均以均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)差表示；計(jì)數(shù)資料[n（%）]采用 χ2檢驗(yàn)；兩組間的計(jì)量資料（±s）采用 t檢驗(yàn)，所有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)均行雙側(cè)檢驗(yàn)；P＜0.05為差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

用L2(w)表示使‖f‖L2(w)<∞的f全體，稱其為L2(w)空間.

定義5[10](Hilbert變換) 對任意的f∈L2()，Hilbert變換定義如下：

2007年，Petermichl研究了Hilbert變換的L2(w)有界性[7]，得到下面的結(jié)果：

引理1[11]設(shè)w∈A2，以及H是Hilbert變換，則存在一個常數(shù)γ>0使得

‖H(f)‖L2(w)≤γ[w]A2‖f‖L2(w).

引理2在上，令w(x)=|x|a，則w∈A2當(dāng)且僅當(dāng)-1

證考慮Q=[-r,r]即可.那么

當(dāng)且僅當(dāng)-1

3 主要結(jié)果

定理1設(shè)b(x)=log|x|，w(x)=|x|1/2以及H是Hilbert變換，令

則

‖[b,H](f)‖L2(w)≤19γ‖f‖L2(w).

證令ψ(z)f(x)=ezb(x)H(e-zbf)(x)，對ψ(z)求導(dǎo)得

ψ′(z)f(x)=b(x)ezb(x)H(e-zbf)(x)+ezb(x)H(-be-zbf)(x).

根據(jù)柯西積分高階導(dǎo)數(shù)公式，得到

令z=δeiθ，θ∈[0,2π]，則

那么利用Minkowski不等式，有

利用歐拉公式

eiθ=cosθ+isinθ，

得到

eδeiθb(x)=eδ(cosθ+isinθ)b(x)=eδcosθ b(x)ei δsinθ b(x).

利用上式，可以得到

令gθ(x)=e-δeiθb(x)f(x)，則

且

(2)

因此需要估計(jì)

利用引理1，得到

再利用(2)式得

‖[b,H]f‖L2(w)≤19γ‖f‖L2(w).

4 結(jié) 論

本文首先回顧了柯西積分公式和柯西積分高階導(dǎo)數(shù)公式的基本形式，并且給出了它們在復(fù)變函數(shù)論中關(guān)于解析函數(shù)的作用.然后以柯西積分高階導(dǎo)數(shù)公式為工具，證明了與Hilbert變換相關(guān)的加權(quán)模不等式，進(jìn)一步說明了柯西積分高階導(dǎo)數(shù)公式對于調(diào)和分析的理論研究所起到的重要作用.

致謝作者非常感謝審稿專家提出的寶貴意見和相關(guān)參考文獻(xiàn)對本文的有益啟示.