從格林公式的兩種形式看向量場(chǎng)積分的統(tǒng)一性

徐 松， 王 偉， 周彩蓮

(寧波大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，浙江 寧波 315211)

1 引 言

格林公式、斯托克斯公式和高斯公式是多元積分學(xué)中三個(gè)重要的公式，揭示了曲線積分、曲面積分和重積分三者之間的關(guān)系，構(gòu)成多元積分理論的中樞[1-2].它們之間有著緊密的聯(lián)系，在一定的條件下可以互相轉(zhuǎn)化來(lái)求解問(wèn)題[3-5].一般的微積分教材只給出格林公式的一種分量形式，簡(jiǎn)單地指出斯托克斯公式和高斯公式是格林公式的推廣，但究竟如何推廣以及它們之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系等，很少有專門的論述.這使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中往往只具備碎片化的知識(shí)，很難從整體上理解這些公式，只能死記硬背.這些內(nèi)容成為教學(xué)上的難點(diǎn)和學(xué)生學(xué)習(xí)的痛點(diǎn).

微積分基本公式是微積分學(xué)最重要的公式，它建立了微分學(xué)與積分學(xué)之間的聯(lián)系.從向量場(chǎng)積分的角度來(lái)看，它與格林公式、斯托克斯公式和高斯公式本質(zhì)相同，都是揭示場(chǎng)在區(qū)域內(nèi)部與邊界之間的性態(tài)關(guān)系[6-7].那么，能否用統(tǒng)一的定理來(lái)描述微積分基本公式和向量場(chǎng)積分公式，使得每個(gè)公式都是統(tǒng)一性定理的不同形式呢？運(yùn)用這種統(tǒng)一性的觀點(diǎn)來(lái)組織教學(xué)，會(huì)加深學(xué)生對(duì)整個(gè)微積分學(xué)內(nèi)容和結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生分析歸納能力，提升學(xué)生的整體感和大局觀能力.而這些討論在一般的微積分教材中也少有涉及.

基于上述考慮，從格林公式兩種等價(jià)的向量形式出發(fā)，將它們推廣至空間向量場(chǎng)，指出它們與斯托克斯公式和高斯公式之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；并基于此，從統(tǒng)一性視角給出微積分基本公式、格林公式、斯托克斯公式和高斯公式的一般形式——統(tǒng)一化積分定理.從這種統(tǒng)一性觀點(diǎn)來(lái)展開(kāi)教學(xué)，不僅能讓學(xué)生深入理解多元積分學(xué)中的三大公式，還能讓他們從更高觀點(diǎn)和整體的視角來(lái)理解整個(gè)微積分課程，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)和格局.

2 格林公式的兩種形式

將給出格林公式的切向量和法向量形式，為此先引入向量場(chǎng)的散度和旋度的概念.

為F在點(diǎn)(x，y，z)處的旋度或環(huán)量密度.

設(shè)平面向量場(chǎng)F=Mi+Nj，形式上它可寫為F=Mi+Nj+0K，則格林公式的切向量形式可表示為

∮CF·Tds=?D?×F·KdA，

(1)

其分量形式可寫為一般微積分教材中常見(jiàn)的形式

(2)

其中簡(jiǎn)單閉曲線C為區(qū)域D的正向邊界曲線，T為C在點(diǎn)(x，y)處的單位切向量.

格林公式的切向量形式表明，向量場(chǎng)F繞曲線C的環(huán)流量等于F的旋度的K分量在閉區(qū)域D上的二重積分，所以該形式也稱為環(huán)量—旋度形式.

格林公式的法向量形式可表示為

∮CF·nds=?D?·FdA，

(3)

其分量形式可寫為

(4)

其中n為閉曲線C在點(diǎn)(x，y)處的單位外法向量.

格林公式的法向量形式表明，向量場(chǎng)F穿過(guò)曲線C向外的通量等于F的散度在閉區(qū)域D上的二重積分，所以該形式也稱為通量—散度形式.

格林公式這兩種形式是等價(jià)的.事實(shí)上，對(duì)場(chǎng)G=-Ni+Mj應(yīng)用公式(1)即得到公式(3).對(duì)場(chǎng)G=Ni-Mj應(yīng)用公式(3)即得到公式(1).

3 格林公式在三維向量場(chǎng)上的推廣

下面將討論平面向量場(chǎng)上格林公式的兩種形式與三維向量場(chǎng)上斯托克斯公式和高斯公式之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.

設(shè)空間向量場(chǎng)F=Mi+Nj+PK，斯托克斯公式可表示為

∮CF·Tds=?S?×F·ndσ，

(5)

其中曲線C為定向曲面S的邊界，n為S在點(diǎn)(x，y)處的單位法向量，C的正向與n成右手系.

斯托克斯公式表明，向量場(chǎng)F繞定向曲面S的邊界曲線C正向的環(huán)流量等于F的旋度在閉區(qū)域D上的二重積分.

比較公式(1)和(5)可以看出，將格林公式的平面積分區(qū)域D改為空間曲面積分區(qū)域S，D的單位法向量即Z-軸正向單位向量K改為S上任一點(diǎn)的單位法向量n，以及平面面積元素dA改為空間面積元素dσ，格林公式即推廣為斯托克斯公式.所以，斯托克斯公式是格林公式的切向量形式從平面到空間的直接推廣，二者形式幾乎完全一致.

下面考慮格林公式與高斯公式之間的聯(lián)系.高斯公式可以表示為

SF·ndσ=?D?·FdV，

(6)

其中D為閉曲面S所圍成的閉區(qū)域.

高斯公式表明，向量場(chǎng)F通過(guò)閉曲面S的向外流量等于F的散度在閉區(qū)域D上的三重積分.

比較公式(3)和(6)可以看出，將格林公式左邊在閉曲線C上的曲線積分改為閉曲面S上的曲面積分，弧長(zhǎng)元素ds改為面積元素dσ，以及右邊在閉曲線C所包含的平面區(qū)域D上的二重積分改為閉曲面S所包含的立體區(qū)域D上的三重積分，格林公式即推廣為高斯公式.所以，高斯公式是格林公式的法向量形式從平面到空間的直接推廣，二者形式高度一致.

通過(guò)以上分析，格林公式的兩種形式與斯托克斯公式及高斯公式之間的關(guān)系見(jiàn)圖1.

圖1

教師如果能在課堂上分析這三個(gè)重要積分公式之間的關(guān)系，展示推廣的思維過(guò)程，學(xué)生能更容易地理解這些這些公式，在實(shí)際解題中可以靈活運(yùn)用它們，而不用孤立、死記硬背地去學(xué)習(xí).

例1設(shè)函數(shù)f和g在以曲線C為邊界的定向曲面S上有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，證明：

∮Cf?g·Tds=?S(?f×?g)·ndσ.

證由斯托克斯定理得

∮Cf?g·Tds=?S(?×f?g)·ndσ=?S(?f×?g+f?×?g)·ndσ，

又?×?g=0，故原式成立.

例2設(shè)函數(shù)f和g在由閉曲面S所圍成的區(qū)域D上具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，證明：

?Sf?g·ndσ=?D(f?2g+?f·?g)dV.

證由高斯定理得

Sf?g·ndσ=?D?·(f?g)dV=?D(f?2g+?f·?g)dV.

4 統(tǒng)一化積分定理

下面將給出微積分基本公式與向量場(chǎng)積分公式的統(tǒng)一化描述.

設(shè)函數(shù)F(x)在閉區(qū)間[a，b]上可微，微積分學(xué)基本公式可表示為

(7)

令F=F(x)i，積分區(qū)間[a，b]在邊界即左右端點(diǎn)a與b處的外法向量分別為na=-i與nb=i，則式(7)可改寫為

(8)

從公式(8)可以看出，微積分學(xué)基本公式表示微分算子?與場(chǎng)F在區(qū)間[a，b]上作點(diǎn)積運(yùn)算的積分等于場(chǎng)F在邊界(即端點(diǎn))處法向分量的和.

如果把線積分與面積分理解為“和”，則與微積分基本公式一樣，格林公式的法向量形式(3)與高斯公式(6)均表示算子?與場(chǎng)F在區(qū)域上作點(diǎn)積運(yùn)算的積分等于場(chǎng)在區(qū)域邊界處法向分量的和.

類似地，格林公式的切向量形式(1)與斯托克斯公式(5)表示微分算子?與場(chǎng)F在一區(qū)域上作叉積運(yùn)算的積分等于場(chǎng)在區(qū)域邊界處切向分量的和.

這樣，微積分學(xué)基本公式與格林公式、斯托克斯公式和高斯公式可以統(tǒng)一地描述為如下統(tǒng)一化積分定理[7]：

定理1微分算子對(duì)場(chǎng)作用后在某一區(qū)域上的積分等于場(chǎng)在該區(qū)域邊界上適當(dāng)分量的和.

統(tǒng)一化的積分定理表明，微積分學(xué)基本公式和向量場(chǎng)積分公式本質(zhì)相同，都是描述場(chǎng)在區(qū)域內(nèi)部與邊界上性態(tài)關(guān)系.

教師如果在章節(jié)小結(jié)課上用這種統(tǒng)一性的觀點(diǎn)來(lái)開(kāi)展教學(xué)，不僅能讓學(xué)生對(duì)向量場(chǎng)積分有更深入的理解，而且對(duì)整個(gè)微積分學(xué)有了更高觀點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)“殊途同歸”“萬(wàn)變不離其宗”的哲學(xué)思想，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約與大氣之美.

5 結(jié)論與認(rèn)識(shí)

在微積分的學(xué)習(xí)過(guò)程中，格林公式、斯托克斯公式和高斯公式等內(nèi)容非常晦澀抽象，學(xué)生不容易理解掌握這些公式，很難做到靈活運(yùn)用.文章指出向量場(chǎng)上斯托克斯公式和高斯公式分別是格林公式切向量和法向量形式從平面到三維空間的直接推廣，給出微積分基本公式與向量場(chǎng)積分公式之間的本質(zhì)屬性.教師如果能在講完這些內(nèi)容后，安排適當(dāng)?shù)恼n時(shí)，分析從格林公式推廣到斯托克斯公式與高斯公式的具體過(guò)程，歸納它們之間的邏輯關(guān)系，這將有助于學(xué)生理解掌握這些公式.如果再能從統(tǒng)一性觀點(diǎn)出發(fā)，闡述微積分基本公式與向量場(chǎng)積分公式之間的共同本質(zhì)屬性，將進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)微積分這門課程的整體認(rèn)知，提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和格局.

致謝非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家和編輯提出的寶貴意見(jiàn).