基于微分對(duì)策的魯棒導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)

陳必露， 劉春生， 袁斐然

(南京航空航天大學(xué)，南京 211000)

0 引言

導(dǎo)彈作為一種精確制導(dǎo)武器，在現(xiàn)代化戰(zhàn)爭(zhēng)中意義重大，其制導(dǎo)控制系統(tǒng)由制導(dǎo)和控制兩部分組成，其中，控制部分主要體現(xiàn)在自動(dòng)駕駛儀的設(shè)計(jì)。隨著現(xiàn)代戰(zhàn)場(chǎng)呈現(xiàn)出的高度信息化、復(fù)雜化特征，導(dǎo)彈控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性亟待提高。因此，相應(yīng)的現(xiàn)代控制理論和先進(jìn)控制方法也被應(yīng)用于導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[1]針對(duì)導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀的縱向動(dòng)力學(xué)問題，在設(shè)計(jì)非線性干擾觀測(cè)器(NDO)觀測(cè)部分未知干擾的基礎(chǔ)上，結(jié)合滑模控制(SMC)理論提出了不依賴于干擾上界的自適應(yīng)反饋控制方法并進(jìn)行自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)，從而提高了系統(tǒng)的魯棒性；文獻(xiàn)[2]針對(duì)BTT導(dǎo)彈的抗干擾自動(dòng)駕駛儀問題，設(shè)計(jì)了一種抗尖峰滑模控制器，有效抑制了高觀測(cè)增益造成的系統(tǒng)性能下降現(xiàn)象。

此外，隨著導(dǎo)彈的智能化發(fā)展需求，其控制過程中的一些最優(yōu)特性(如最小耗能等)也值得考慮。但是，導(dǎo)彈等非線性系統(tǒng)的控制問題需要求解復(fù)雜的非線性偏微分方程，一般的解析方法在進(jìn)行求解時(shí)會(huì)陷入“維數(shù)災(zāi)難”現(xiàn)象。為解決該問題，自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃(ADP)算法被提出,并成為非線性最優(yōu)控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[3-4]。文獻(xiàn)[5]針對(duì)導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀的縱向動(dòng)力學(xué)控制問題，通過結(jié)合NDO,SMC和最優(yōu)控制方法，基于ADP算法實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)受限下的魯棒最優(yōu)控制，有效抑制了非匹配干擾帶來的不利影響。

微分對(duì)策作為控制論的重要分支，是處理雙方最優(yōu)控制的理論。本文受文獻(xiàn)[6-7]啟發(fā)，設(shè)計(jì)了一種復(fù)合控制方案。首先利用超螺旋干擾觀測(cè)器(STDO)觀測(cè)匹配輸入干擾,并結(jié)合積分滑?？刂破?ISMC)方法設(shè)計(jì)滑?？刂破餮a(bǔ)償匹配輸入干擾；其次，將自動(dòng)駕駛儀的控制輸入和外界非匹配干擾看作是博弈雙方，基于ADP算法求解出微分對(duì)策控制器；最后，仿真表明，所設(shè)計(jì)的復(fù)合控制方案有效提高了導(dǎo)彈縱向動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的魯棒性。

1 問題描述

考慮一類受時(shí)變干擾影響的連續(xù)時(shí)間仿射非線性系統(tǒng)

(1)

式中：x∈Rn，為系統(tǒng)狀態(tài);u∈Rm,為控制輸入;ud∈Rm,d∈Rk，分別表示匹配干擾和非匹配干擾;f(x),g(x)和k(x)為連續(xù)可微的系統(tǒng)矩陣，假定f(x)+g(x)u是Lipchitz連續(xù),且f(0)=0。

為了便于下文觀測(cè)器和控制器設(shè)計(jì)，做如下假設(shè)[8]。

假設(shè)1f(·),g(·)和k(·)為已知連續(xù)有界函數(shù)。

針對(duì)式(1)系統(tǒng)，目標(biāo)為設(shè)計(jì)一種復(fù)合魯棒控制方案來補(bǔ)償干擾對(duì)系統(tǒng)的不利影響，同時(shí)保證系統(tǒng)狀態(tài)最終一致有界(UUB)穩(wěn)定。其中，復(fù)合控制器由兩部分組成，即

u=us+ua

(2)

式中:滑?？刂破鱱s通過選取STDO獲得對(duì)輸入干擾的估計(jì)，并結(jié)合積分滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行設(shè)計(jì)以補(bǔ)償干擾ud；自適應(yīng)控制器ua針對(duì)干擾補(bǔ)償后的標(biāo)稱系統(tǒng)，利用微分對(duì)策理論和ADP算法設(shè)計(jì)來補(bǔ)償非匹配干擾d。

2 復(fù)合控制器設(shè)計(jì)

2.1 基于STDO的滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

首先，設(shè)計(jì)STDO為

(3)

根據(jù)設(shè)計(jì)的觀測(cè)器式(3),為消除輸入干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，結(jié)合滑?？刂品椒ǎO(shè)計(jì)滑模面

(4)

式中:G(x)∈Rm,為積分滑?？刂浦性O(shè)計(jì)的矩陣向量；▽G(x)=?G(x)/?x，為其關(guān)于狀態(tài)x的偏導(dǎo)數(shù)。

針對(duì)滑模面式(4),設(shè)計(jì)自適應(yīng)滑?？刂坡蔀?/p>

(5)

式中，c為可調(diào)增益。

定理1針對(duì)系統(tǒng)式(1),設(shè)計(jì)STDO式(3)觀測(cè)輸入干擾ud，分別設(shè)計(jì)滑模面式(4)和滑模控制器式(5),則系統(tǒng)的狀態(tài)量將收斂并維持在滑模面上。

證明 取Lyapunov函數(shù)Ls(t)=0.5STS，求導(dǎo)

(6)

因此，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，系統(tǒng)狀態(tài)將收斂并維持在S=0，即滑模面上。

本節(jié)結(jié)合滑?？刂评碚摚O(shè)計(jì)自適應(yīng)滑?？刂破鲗?duì)匹配干擾進(jìn)行了補(bǔ)償，將對(duì)原式(1)系統(tǒng)的控制問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)稱系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題。

2.2 基于ADP算法的微分對(duì)策最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)

考慮標(biāo)稱系統(tǒng)

(7)

對(duì)于系統(tǒng)式(7),定義性能指標(biāo)函數(shù)為

(8)

式中:Q1為半正定矩陣;R1和R2均為正定矩陣。

定義系統(tǒng)式(7)的哈密頓(Hamilton)函數(shù)為

(9)

式中，▽J(x)=?J(x)/?x。

根據(jù)Hamilton-Jacobi-Isaacs(HJI)理論，最優(yōu)性能指標(biāo)函數(shù)▽J*(x)滿足

(10)

假設(shè)式(10)的解存在且唯一，則系統(tǒng)式(7)的最優(yōu)策略滿足?H(·)/?u=0,?H(·)/?d=0，解得

(11)

由式(10)和式(11)發(fā)現(xiàn)，獲得最優(yōu)控制策略需要求解HJI方程，而此非線性偏微分方程很難用解析方法求解。因此，將結(jié)合ADP算法求解該HJI方程并設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器。

在設(shè)計(jì)控制器之前，基于文獻(xiàn)[10]做如下假設(shè)。

(12)

成立。采用單評(píng)價(jià)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)逼近最優(yōu)性能指標(biāo)函數(shù)及其梯度分別為

(13)

式中:WJ∈Rl，為理想權(quán)值向量；φJ(rèn)(x)∈Rl，為激勵(lì)函數(shù)；l表示評(píng)價(jià)網(wǎng)絡(luò)中的神經(jīng)元個(gè)數(shù);εJ(x)表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差。

將式(11)和式(13)代入式(10)得到

(14)

(15)

通過式(11)和式(15)，近似最優(yōu)控制策略為

(16)

將式(16)代入式(10)，得近似Hamilton函數(shù)為

(17)

(18)

(19)

根據(jù)設(shè)計(jì)的最優(yōu)控制策略式(16)和權(quán)值更新律式(18),在穩(wěn)定性分析之前，給出如下假設(shè)與定理。

假設(shè)4 評(píng)價(jià)網(wǎng)絡(luò)的理想權(quán)值與逼近誤差εJ(x)的偏導(dǎo)數(shù)▽?duì)臞(x)均有界，界值分別滿足‖WJ‖≤bW，‖▽?duì)臞(x)‖≤bε，bW和bε為大于零的常數(shù)。

證明 結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性理論，選取Lyapunov函數(shù)

(20)

對(duì)式(20)求導(dǎo)，可得

(21)

(22)

泡沫混凝土應(yīng)符合《泡沫混凝土》［4］的標(biāo)準(zhǔn)要求，28 d抗壓強(qiáng)度不小于2.0 MPa；所使用的外加劑（水泥強(qiáng)度激發(fā)劑、減水劑和發(fā)泡劑等）亦應(yīng)滿足規(guī)范要求。

(23)

式中，λ表示M矩陣的最小特征值。

(24)

此時(shí)，只要不等式

(25)

(26)

(27)

或者

(28)

考慮以上兩種情況，結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性理論可知定理2成立。

3 導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀設(shè)計(jì)

基于上述復(fù)合控制方案，選取導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀的縱向動(dòng)力學(xué)方程

(29)

式中:xT=[αqδ]，α，q和δ分別表示導(dǎo)彈的攻角、俯仰角和尾翼偏轉(zhuǎn)角;d表示由建模誤差或外部風(fēng)力等因素產(chǎn)生的擾動(dòng)項(xiàng)；f1(α)，f2(α)，b1和b2是由氣動(dòng)系數(shù)決定的非線性函數(shù)；t1表示尾翼執(zhí)行器的時(shí)間常數(shù)。不失一般性，上述函數(shù)滿足[5]

(30)

式中:η1=180gQs/πmv，η2=1.03×10-4，η3=9.45×10-3;η4=180QDs/πIyy,η5=2.15×10-4，η6=1.95×10-2。假設(shè)輸入干擾ud為

(31)

此外，各項(xiàng)參數(shù)為:導(dǎo)彈的質(zhì)量m=4410 kg，速度v=947.6 m/s,俯仰慣性矩Iyy=247.44 kg·m2,導(dǎo)彈所受動(dòng)壓Q=293.638 N/m2，其參考面積為s=0.040 87 m2，參考直徑D=0.229 m，尾翼執(zhí)行器的時(shí)間常數(shù)t1=0.1 s，重力加速度g=9.8 m/s2。

根據(jù)自動(dòng)駕駛儀模型式(30),選取各項(xiàng)參數(shù)如下。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)x的軌跡Fig.1 The trajectories of system state x

圖2 STDO實(shí)現(xiàn)干擾ud估計(jì)Fig.2 Estimation of udby STDO

圖3 評(píng)價(jià)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值Fig.3 Weights of critic NN

從圖2可以看出，設(shè)計(jì)的STDO在經(jīng)過一段時(shí)間后實(shí)現(xiàn)了對(duì)輸入干擾的可靠估計(jì)；圖3反映了評(píng)價(jià)網(wǎng)絡(luò)的輸出最終收斂至理想權(quán)值；圖4為基于上述有效信息得到的復(fù)合控制輸入;結(jié)合該復(fù)合控制，系統(tǒng)狀態(tài)逐漸收斂并穩(wěn)定，如圖1所示。

圖4 復(fù)合控制策略Fig.4 Composite control strategies

其次，為驗(yàn)證提出的微分對(duì)策控制律對(duì)一般干擾的魯棒性，選取非匹配干擾為d1，即

(32)

調(diào)整參數(shù)Y2=10.5I6，Y1=200·[111111]T，系統(tǒng)式(30)的初始狀態(tài)滿足x0=[-1-1.6-0.5]T，其他參數(shù)不變，得到圖5和圖6所示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)和權(quán)值變化曲線。

圖5 d=d1時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)x的軌跡Fig.5 Trajectories of system state x when d=d1

圖6 d=d1時(shí)評(píng)價(jià)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值Fig.6 Weights of critic NN when d=d1

由圖6可知，評(píng)價(jià)網(wǎng)絡(luò)輸出由于非匹配干擾的改變，在前期的學(xué)習(xí)過程中波動(dòng)較大，但是當(dāng)t=10 s后迅速收斂至理想權(quán)值；圖5表明自動(dòng)駕駛儀系統(tǒng)狀態(tài)最終收斂至穩(wěn)定狀態(tài)。因此，仿真結(jié)果表明，上述提出的復(fù)合控制策略是有效的。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀的抗干擾問題，提出了一種滑模微分對(duì)策控制策略，構(gòu)造了超螺旋干擾觀測(cè)器(STDO)，并將其用于滑?？刂坡?SMC)的設(shè)計(jì)來抑制輸入干擾帶來的不利影響；同時(shí)，為了處理非匹配干擾，結(jié)合微分對(duì)策理論和ADP算法在線求解并獲得了近似最優(yōu)控制器以實(shí)現(xiàn)對(duì)該干擾的補(bǔ)償，進(jìn)一步增強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性。通過Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后，仿真驗(yàn)證了本文所提算法的有效性，對(duì)處理一類非線性系統(tǒng)的抗干擾最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)有良好的參考價(jià)值。