四旋翼無人機的滑模自抗擾姿態(tài)控制器設計

吳躍文， 鄭柏超,2， 李 惠

(1.南京信息工程大學自動化學院，南京 210000； 2.江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術協(xié)同創(chuàng)新中心，南京 210000)

0 引言

四旋翼無人機作為一種小型飛行器，近些年來因其廣泛的應用領域(如植保、電力巡檢、航空拍照、地質勘探、森林防火巡查等)而頗受關注[1-2]。四旋翼無人機是一種典型的多輸入多輸出且狀態(tài)耦合的非線性欠驅動系統(tǒng)，當四旋翼無人機在室外飛行時,必須要考慮到各種因素的影響，如何在有陣風干擾、模型誤差作用的情況下使四旋翼無人機保持平穩(wěn)的飛行姿態(tài)，并且能對遙控器給定的指令進行快速反應，關鍵在于飛行控制設計的優(yōu)劣，所以研究四旋翼無人機的姿態(tài)控制具有實際意義和應用價值。

目前國內(nèi)外應用比較廣泛的控制方法有PID控制[3]、滑?？刂芠4]、自抗擾控制[5]等。其中，PID控制具有結構簡單、調節(jié)方便、工程上易于實現(xiàn)的特點，但在外部擾動的作用下，跟蹤精度卻不太理想。文獻[6]針對四旋翼無人機設計了一種非線性PID控制器來跟蹤給定的軌跡，結果表明，相較于線性PID控制器，所設計的控制器具有更小的穩(wěn)態(tài)誤差。滑?？刂谱鳛橐环N非線性變結構控制方法，具有響應速度快、魯棒性強的優(yōu)勢，已被廣泛應用于各類工程系統(tǒng)。文獻[7]提出了一種基于非奇異終端滑模的四旋翼無人機位置控制算法，通過仿真證明該算法能夠快速且精確地進行軌跡跟蹤。

自抗擾控制由PID控制演變而來，是一種不依賴于精確系統(tǒng)模型的非線性控制方法，主要由跟蹤微分器(TD)、擴張狀態(tài)觀測器(ESO)、非線性狀態(tài)誤差反饋控制器(NSEFC)3個部分組成。TD的作用是提取合理的控制信號來解決響應速度和超調量之間的影響；ESO的作用是處理模型內(nèi)部的不確定以及外部擾動給系統(tǒng)帶來的影響；NSEFC的作用是補償系統(tǒng)的總擾動。文獻[8]將PID與自抗擾控制結合運用于四旋翼無人機的姿態(tài)控制，通過設計恰當?shù)腅SO和NSEFC，有效地抑制了陣風對四旋翼無人機飛行姿態(tài)的影響。

受到上述文獻的啟發(fā)，針對四旋翼無人機的內(nèi)部模型不確定以及陣風干擾，本文首先建立了四旋翼無人機的非線性模型，接著提出了一種內(nèi)外環(huán)控制策略，內(nèi)環(huán)采用自抗擾控制器，外環(huán)采用非奇異終端滑?？刂破饕詫崿F(xiàn)四旋翼無人機的姿態(tài)控制。自抗擾控制器的優(yōu)點在于不依賴精確的系統(tǒng)模型，能動態(tài)補償系統(tǒng)的總擾動;非奇異終端滑?？刂破鞯膬?yōu)勢在于能夠提高系統(tǒng)的快速性。經(jīng)過理論和仿真驗證，本文設計的控制算法兼具兩種控制技術的優(yōu)點。

1 四旋翼無人機數(shù)學模型

根據(jù)文獻[8]，本文建立了四旋翼無人機的橫滾角模型

(T1(t)-IRq(t)Ω(t)+q(t)r(t)(Iy-Iz))/Ix

(1)

四旋翼無人機的俯仰角模型

(T2(t)-IRp(t)Ω(t)+p(t)r(t)(Iz-Ix))/(Iycos(φ(t)))

(2)

四旋翼無人機的偏航角模型

(3)

其中:p(t)，q(t)，r(t)分別代表四旋翼無人機關于機體坐標系的橫滾軸、俯仰軸、偏航軸角速度;T1(t)，T2(t)，T3(t)分別為四旋翼無人機橫滾、俯仰、偏航方向上的驅動力矩矢量；Ω(t)=-Ω1(t)+Ω2(t)-Ω3(t)+Ω4(t)，Ωi(t)是每個螺旋槳的轉速矢量，i=1，2，3，4;IR是每個螺旋槳對應的轉動慣量;Ix,Iy,Iz分別是四旋翼無人機在機體對應坐標軸上的轉動慣量。

圖1和圖2分別是地面坐標系和四旋翼無人機的機體坐標系。

圖1 地面坐標系Fig.1 Ground coordinate system

圖2 四旋翼無人機的機體坐標系Fig.2 Body coordinate system of quadrotor

圖中：xE，yE，zE，oE分別為地面坐標系的坐標軸和原點；xB，yB，zB，oB分別為四旋翼無人機機體坐標系的坐標軸和原點；F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4分別為四旋翼無人機對應位置電機提供的推力矢量。

(4)

(5)

T1(t)/Ix=b0u1(t)+Δu1(t)

(6)

F1(t)=Δu1(t)-IRq(t)Ω(t)/Ix

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

為了簡化證明，本文的證明過程以橫滾角模型為基礎，整個控制結構如圖3所示。

圖3 四旋翼無人機控制結構框圖Fig.3 Block diagram of control structure of quadrotor

控制算法的外環(huán)由非奇異終端滑?？刂破鹘M成;內(nèi)環(huán)由非線性狀態(tài)誤差反饋控制器、擴張狀態(tài)觀測器和四旋翼無人機模型組成。其中，橫滾角控制系統(tǒng)中的ρ1(t)為給定的目標角度信號，φ(t)為當前的橫滾角，ε1(t)為外環(huán)的偏差輸入,v1(t)為外環(huán)給出的目標角速度，z1(t)和z2(t)分別表示擴張觀測器對狀態(tài)x1(t)和x2(t)的觀測值，ξ1(t)為內(nèi)環(huán)的偏差輸入。

2 內(nèi)環(huán)控制器設計

2.1 ESO

本文內(nèi)環(huán)采用的自抗擾控制器由ESO和NSEFC構成。ESO的優(yōu)點在于能處理不精確的數(shù)學模型，系統(tǒng)內(nèi)部未建模動態(tài)可以當作內(nèi)部擾動處理。總擾動由內(nèi)部及外部擾動組成，ESO可以實時估計系統(tǒng)的總擾動。

針對橫滾角模型式(8)、式(9)設計ESO

(14)

(15)

其中，e1(t)=z1(t)-x1(t)為ESO的估計誤差。

fal(η(t),α,δ)函數(shù)的表達式為

(16)

fal(η(t),α,δ)函數(shù)是一個非線性分段函數(shù)，增益α，δ分別滿足0<α<1，δ≥0，且此函數(shù)的分段點為不可導點，為了簡化證明過程，fal(η(t),α,δ)用fal(η(t))表示。

文獻[9]給出了證明ESO的有效性定理。

定理1針對橫滾角模型式(8)、式(9)，若存在可調正增益l以及有界正常數(shù)M，使

(17)

(18)

成立，則設計的ESO是有效的。式中：i=1，2；γ為一個不依賴于l的正常數(shù)。

2.2 NSEFC

本文設計的NSEFC的作用主要是補償系統(tǒng)的總擾動F1(t)及跟蹤外環(huán)輸出的目標角速度信號v1(t)。

本文NSEFC的設計步驟分為如下兩步。

1) 動態(tài)補償線性化。

ESO式(14)、式(15)實現(xiàn)了對系統(tǒng)狀態(tài)x1(t)和x2(t)的實時估計。為了實現(xiàn)對系統(tǒng)的動態(tài)線性補償，系統(tǒng)補償量u可取

(19)

(20)

2) 反饋控制律u0的設計。

針對線性系統(tǒng)式(20)，為了跟蹤外環(huán)給定的目標角速度信號v1(t)，定義內(nèi)環(huán)的偏差輸入信號為ξ1(t)，滿足ξ1(t)=v1(t)-z1(t)。反饋控制律u0設計為

u0=α1fal(ξ1(t),0.5,δ2)

(21)

式(21)實際上是非線性狀態(tài)誤差反饋控制器。式中，α1為比例因子，通過函數(shù)fal(ξ1(t),0.5,δ2)來調節(jié)比例增益。

因此，本文構造的NSEFC為

(22)

為了證明內(nèi)環(huán)穩(wěn)定性，首先取μ1(t)=v1(t)-x1(t)，ξ1(t)=μ1(t)-e1(t)，并對μ1(t)關于時間t求導得

(23)

選取Lyapunov函數(shù)V2(t)=(μ1(t)-e1(t))2/2，并對V2(t)關于時間t求導

(μ1(t)-e1(t))α1fal(ξ1(t))

(24)

由于函數(shù)fal(ξ1(t))是關于變量ξ1(t)的單調遞增奇函數(shù)，所以有-(μ1(t)-e1(t))α1fal(ξ1(t))。由式(17)、式(18)可知，e1(t)和e2(t)是收斂到零的，μ1(t)在實際系統(tǒng)中也是有界的，因此ξ1(t)是有界的。

選取

(25)

式(24)可改寫成

(26)

3 外環(huán)控制器設計

為了加快系統(tǒng)響應速度和提高姿態(tài)角跟蹤精度，外環(huán)采用NSEFC。圖3中，ρ1(t)為給定的目標角度信號，φ(t)為當前的橫滾角信號，ε1(t)是外環(huán)的偏差輸入信號，滿足

ε1(t)=ρ1(t)-φ(t)

(27)

正常終端滑模面取為

(28)

式中，p和q均為正奇數(shù)，且滿足q

對終端滑模面式(28)關于時間t求導得

(29)

(30)

式中，c1>0，是一個可調參數(shù)。

由ξ1(t)=v1(t)-z1(t)可知

(31)

(32)

本文外環(huán)選取的非奇異終端滑?？刂破鳛?/p>

(33)

式中，k1是一個正的設計參數(shù)。

(34)

式中，μ1是一個正的設計參數(shù)。

定理2針對橫滾角模型式(8)、式(9)，當存在正常數(shù)k1，μ1滿足

k1>max|ξ1(t)|

(35)

μ1>max|ξ1(t)|

(36)

則外環(huán)設計的非奇異終端滑模控制器式(33)和式(34)是有效的。

證明如下。

(37)

對V3(t)關于時間t求導可得

(38)

(39)

對V4(t)關于時間t求導得

(40)

證明完畢。

4 仿真實驗分析

4.1 參數(shù)設置

為了驗證本文設計的內(nèi)、外環(huán)控制器的控制效果，在仿真軟件的Simulink環(huán)境下進行仿真分析，四旋翼無人機的內(nèi)、外環(huán)控制器仿真參數(shù)分別如表1和表2所示。

表1 內(nèi)環(huán)自抗擾控制器仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters of active disturbance rejection controller of inner loop

表2 外環(huán)非奇異終端滑模控制器仿真參數(shù)Table 2 Simulation parameters of non-singular terminal sliding mode controller of outer loop

4.2 跟蹤仿真

本文提出的基于外環(huán)非奇異終端滑?？刂破?NT-SMC)和內(nèi)環(huán)自抗擾控制器(ADRC)的四旋翼無人機姿態(tài)角控制算法的優(yōu)勢不僅在于能夠實時補償系統(tǒng)擾動，還能提高系統(tǒng)響應速度及姿態(tài)角跟蹤精度。為了驗證本文優(yōu)點，參考文獻[9]的積分滑模(ISMC)結合自抗擾(ADRC)的控制算法和線性滑模(SMC)結合自抗擾(ADRC)的控制算法來進行姿態(tài)角跟蹤性能的對比。

積分滑模(ISMC)結合自抗擾(ADRC)的控制算法同樣是采用內(nèi)外環(huán)控制，其設計步驟如下：

1) 內(nèi)環(huán)采用自抗擾控制器，自抗擾控制器中的擴張狀態(tài)觀測器如式(14)、式(15)，非線性狀態(tài)誤差反饋控制器如式(22)；

2) 外環(huán)采用積分滑?？刂破?，積分滑模面Sout(t)及積分滑?？刂破鳛?/p>

(41)

(42)

選取四旋翼無人機姿態(tài)角的初始角度為[φθψ]T=[0°0°25°]，分別跟蹤如圖4給定的目標階躍角度信號ρ1，ρ2，ρ3。為了模擬外界的風干擾，本文令各姿態(tài)角的外部干擾為Δu(t)=0.5sint，仿真時間為50 s，跟蹤仿真結果如圖4所示。

圖4 不同控制算法的姿態(tài)角跟蹤性能對比Fig.4 Attitude angle tracking performance of different control algorithms

不同控制算法的控制性能見表3。

表3 不同控制算法的控制性能Table 3 Control performance of different control algorithms

由圖4及表3可知，自抗擾積分滑?？刂扑惴?ISMC+ADRC)的調節(jié)時間較長，超調量較大，比較震蕩，對擾動抑制效果較差。相較于自抗擾積分滑模的控制算法(ISMC+ADRC)，線性滑模結合自抗擾的控制算法(SMC+ADRC)的調節(jié)時間較短，超調量較小，對擾動的抑制效果較好。本文提出的自抗擾非奇異終端滑?？刂扑惴?NTSMC+ADRC)的姿態(tài)角跟蹤性能均優(yōu)于上述的兩種控制算法，各姿態(tài)角的超調接近于零，到達穩(wěn)態(tài)的時間也是最短的。由此可見,本文提出的控制算法能夠有效地抑制各狀態(tài)之間的耦合效應以及外部擾動，控制性能比較理想，比較適用于四旋翼無人機的姿態(tài)控制。

5 結束語

本文以四旋翼無人機的姿態(tài)系統(tǒng)作為研究對象，提出了結合非奇異終端滑?？刂坪妥钥箶_控制的內(nèi)、外環(huán)姿態(tài)控制算法，并經(jīng)Lyapunov理論證明控制算法的有效性。最后在仿真軟件的Simulink環(huán)境下進行仿真對比，驗證了本文所提內(nèi)、外環(huán)控制算法的優(yōu)點?？傮w而言，本文設計的內(nèi)、外環(huán)控制算法的抗干擾能力較強，能夠有效抑制各姿態(tài)角間的耦合效應，且對目標角度信號的跟蹤精度也較高。