例談解題教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透

福建省莆田第四中學(xué) (351100) 羅夢柱

知識是載體，方法是手段，思想是靈魂，它們是知識體系的三個層次.在日常教學(xué)中，教師往往注重知識的講解，方法的傳授，卻將數(shù)學(xué)思想的滲透丟棄一邊.為什么很多學(xué)生數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)僅僅停留在最初級的模仿階段？題目變一下，就不會了呢？究其原因，絕大多數(shù)學(xué)生是不懂得站在思想的高度來思考和引領(lǐng)方法，或者是由于思維混亂導(dǎo)致想不起來用什么方法來求解數(shù)學(xué)問題.因此，教師在講解知識和傳授方法的同時，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，能夠幫助學(xué)生站在更高的層次思考問題，更有利于學(xué)生能力的提升.

數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)的本質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想引領(lǐng)數(shù)學(xué)解題，有利于分析題中圖形與數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生思維，幫助學(xué)生快速尋得問題求解的方向.本文以多個典型例題為例，從以“數(shù)”化“形”、以“形”變“數(shù)”、“形”“數(shù)”互變?nèi)齻€方面闡述在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想對于數(shù)學(xué)解題的深刻意義.

1、以“數(shù)”化“形”，將抽象問題直觀化

高中數(shù)學(xué)中數(shù)量關(guān)系占據(jù)著重要的地位，對數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析可以鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，而這正是教學(xué)的一大難點(diǎn).為了突破這個難點(diǎn)，在教學(xué)過程中，教師要有意識的引導(dǎo)學(xué)生借助幾何圖形將題設(shè)條件直觀化，通過圖形反映出來的數(shù)量關(guān)系，找到數(shù)與式的本質(zhì).

分析：本題若從代數(shù)的角度去求解，勢必異常繁瑣，違背了命題者的命題意圖，在教學(xué)中可嘗試引導(dǎo)學(xué)生通過建立平面直角坐標(biāo)系，將“數(shù)”化“形”，通過圖形反映出的數(shù)量關(guān)系，能夠?qū)栴}輕松解決.

圖1

例2 (2021年八省適應(yīng)性考試第8題)已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，則( ).

A.c

C.a

結(jié)合f(x)的圖像如圖2，0f(b)>f(c)，從而a

圖2

分析：破解圓錐曲線問題往往需要根據(jù)題目所涉及圖形的幾何性質(zhì)，從“幾何角度”入手，利用圖形反映出的數(shù)量關(guān)系，可以更簡便地求解出問題，更彰顯問題本質(zhì).

2、以“形”變“數(shù)”，將復(fù)雜問題簡單化

“形”具有直觀的特點(diǎn)，可以將一些抽象的思維直觀地表現(xiàn)出來，然而在量方面，卻存在一定的不足，還需要借助“數(shù)”進(jìn)行計(jì)算，尤其是在一些比較復(fù)雜的圖形中，由于直接觀察不能得到結(jié)論，這時就需要從“形”出發(fā)，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)形式的“數(shù)”，借助數(shù)量解決圖形問題，這種“形”變“數(shù)”的模式，可以將不容易計(jì)算的問題變得易于計(jì)算，進(jìn)而快速解決圖形問題.

圖4

分析：單純依賴圖形，無法準(zhǔn)確刻畫邊、角之間的關(guān)聯(lián)，利用AD⊥AB，建立平面直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算，能夠更直觀、更快速地求解問題.

圖5

圖6

分析:從“形”的角度，本題無法直接求解，需要將“形”變?yōu)椤皵?shù)”，通過“數(shù)”的運(yùn)算，揭示各種量的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，達(dá)到問題求解的目的.

圖7

3、“形”“數(shù)”互變，強(qiáng)化代數(shù)與幾何的聯(lián)系

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過:“數(shù)缺形時少直覺,形少數(shù)時難入微.”這句話深刻地揭示了數(shù)形之間的辯證關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的重要性[3].對于一些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，單純地以“數(shù)”化“形”或以“形”變“數(shù)”無法實(shí)現(xiàn)問題的解決，需用綜合兩種方法，根據(jù)題目要求進(jìn)行“數(shù)”與“形”互化，以找到解題的突破口，實(shí)現(xiàn)問題的順利求解.

例6 (2018年全國卷理數(shù)第16題)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是________.

分析：從“數(shù)”的層面理解函數(shù)f(x)，可知f(x)為R上的周期函數(shù)，最小正周期為2π，同時f(x)為R上的奇函數(shù).從“形”的層面理解f(x)，由周期性，故本題只需求f(x)在一周期內(nèi)的最小值，由奇偶性，問題轉(zhuǎn)化為求解f(x)在區(qū)間[-π,π]內(nèi)的最小值，根據(jù)圖像的對稱性，問題轉(zhuǎn)化為研究f(x)在區(qū)間[0,π]內(nèi)的最值情況.

例7 (2020新高考全國卷 I第21題(2)小題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna，若f(x)≥1，求a的取值范圍.

分析：處理含參問題，若能夠充分利用表達(dá)式“數(shù)”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和函數(shù)圖像“形”的特征，通過“形”“數(shù)”互變、互補(bǔ)來進(jìn)行求解，則往往能收到意想不到的效果.

個人數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的優(yōu)劣和數(shù)學(xué)才能的大小往往不在于數(shù)學(xué)知識的多寡，而在于數(shù)學(xué)思想方法的素養(yǎng)[2].隨著學(xué)生畢業(yè)走向社會，學(xué)校所學(xué)知識會慢慢忘記，方法會漸漸生疏，唯有哪些數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法能夠長久植根于學(xué)生的內(nèi)心，伴隨他們成長，讓他們受益一生.教師在日常教學(xué)中，要充分發(fā)掘教學(xué)資源中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，有意識的在教學(xué)中進(jìn)行滲透，讓學(xué)生在潛移默化中去領(lǐng)悟、積淀、凝結(jié)并內(nèi)化為他們的思維品質(zhì)，達(dá)到促進(jìn)學(xué)生能力與素養(yǎng)提升的目的.