2021奧地利數(shù)學(xué)奧林匹克不等式題的探究

重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (404000) 譚安利 古玲玲 陳曉春

本文擬對(duì)不等式(1)的證明方法、變式、推廣等方面作一探究.

1.不等式(1)的證法

分析1：不等式(1)的左端每一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)相同，但遺憾的是分母的系數(shù)不等，注意到每一項(xiàng)的特點(diǎn)，因此可通過(guò)證明局部不等式，再疊加.

分析2：不等式(1)的分母是一次式，因此可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化成分母為單項(xiàng)式的不等式，再利用基本不等式證明.

對(duì)于不等式(2)可采用證明局部不等式再相加，也可利用柯西不等式等，因此有：

2.不等式(1)的變式及推廣

將不等式(1)的系數(shù)一般化有：

顯然上述不等式前一個(gè)均是后一個(gè)的特例，因此只給出不等式3的證明.

對(duì)上述不等式中的參數(shù)賦值，可得許多與(1)結(jié)構(gòu)類似的不等式，例如下述不等式4及不等式5.

對(duì)不等式(2)作類似于上述的推廣有:

不等式6-不等式9可仿前證明4通過(guò)適當(dāng)變式由柯西不等式給出，此處略.對(duì)上述不等式中的參數(shù)賦值，可得許多與(2)結(jié)構(gòu)類似的不等式.