一個(gè)夾角 七種視角 精彩紛呈
——2020年浙江卷高考向量壓軸題多維賞析

浙江省海寧市南苑中學(xué) (314499) 李安毓

眾所周知，浙江卷獨(dú)特的命題風(fēng)格對(duì)全國(guó)卷也有著潛移默化的影響，每年的浙江高考試題八方關(guān)注，被研究高考試題的廣大師生所青睞.正如2020年浙江卷填空壓軸第17題就是一道經(jīng)典的浙式風(fēng)格的向量試題，該題入手容易，角度多，突出數(shù)學(xué)本質(zhì).本文就以這道“雅俗共賞”的向量壓軸題為例，多角度呈現(xiàn)和品味這道“津津樂道”的好題，以此作為我們?nèi)粘?fù)習(xí)教學(xué)中的一個(gè)深入淺出的教學(xué)素材，與廣大數(shù)學(xué)教師同仁們交流探討.

一、試題再現(xiàn)，品味經(jīng)典

平面向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種強(qiáng)有力工具，也是高考數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)知識(shí).縱觀近幾年《浙江高考考試說明》對(duì)此的考試要求都是“理解、掌握、會(huì)用”等關(guān)鍵詞.然而從平時(shí)各種考試情況來看，遺憾的是對(duì)學(xué)生來說，向量試題由于靈活度大，往往成為他們解題之路難以逾越的鴻溝.此道向量試題作為填空題最后一道壓軸題，對(duì)學(xué)生來講，背景樸實(shí)熟悉，下手容易，有一種似曾相識(shí)的感覺.但要真正順利解出，還是需要具備良好的運(yùn)算能力與數(shù)學(xué)推理能力.因此該題是一道命制很完美很具研究?jī)r(jià)值的一道經(jīng)典試題.

二、解法賞析

平面向量同時(shí)兼具數(shù)與形的特征，是數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的完美載體，這意味著向量試題的解放極具多樣化.因此，筆者把握機(jī)會(huì)，對(duì)本道高考向量試題的解法進(jìn)行全方位、多視角剖析，并對(duì)其拓展與探究.教學(xué)實(shí)踐表明，有效地落實(shí)“一題多解”是提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要途徑，教師通過引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，思考與呈現(xiàn)不同解法的同時(shí)，充分暴露思維痕跡和過程，從而使學(xué)生解題能力得以提升！

1 代數(shù)法視角(化歸轉(zhuǎn)化，凸顯通法)

2 坐標(biāo)法視角(巧妙消元，合理構(gòu)造)

評(píng)注：此法的關(guān)鍵是把向量問題坐標(biāo)化，坐標(biāo)法是解決向量問題最常用也是最重要的方法之一，學(xué)生還是很容易想到和入手，很適合學(xué)生的胃口.此法的主要特點(diǎn)是把幾何問題代數(shù)化，思維起點(diǎn)低，易于操作.但關(guān)鍵要靈活運(yùn)用消元思想，并要注意到“x”的隱含條件即“x”的范圍，最后利用分式函數(shù)單調(diào)性求解，這一點(diǎn)與解法一相似.

3 三角化處理(三角轉(zhuǎn)化，柳暗花明)

4 基底轉(zhuǎn)化法視角(巧妙轉(zhuǎn)換，簡(jiǎn)化運(yùn)算)

5 平面幾何法視角(回到原點(diǎn)，峰回路轉(zhuǎn))

圖1

評(píng)注：本解法的關(guān)鍵在于以圓為背景，借助向量加法的三角形法則將向量問題幾何化.然后巧妙構(gòu)造ΔAEF的外接圓，進(jìn)而利用圓周角性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為只需求線段GH的最小值即可.其中巧妙靈活應(yīng)用了初中平面幾何知識(shí)與銳角三角函數(shù)知識(shí)將該向量綜合問題靈活解決.

6 數(shù)形結(jié)合法(幾何意義，直觀具體)

圖2

7 介入導(dǎo)數(shù)處理(巧用導(dǎo)數(shù)，快速求解)

三、追根溯源，品味聯(lián)系

通過上述對(duì)本題命題角度以及解法的研究，筆者發(fā)現(xiàn)了好幾道與本道浙江高考向量試題的同源題目，它們無論是命題特點(diǎn)還是命題本質(zhì)都非常接近，給人似曾相識(shí)的感覺.以下是筆者收集整理的一些同源變式題，與同行們一起鑒賞和品評(píng)一下它們間的內(nèi)在聯(lián)系！

四、探究一般化，結(jié)論推廣

五、教學(xué)感悟

每年的高考試題都是高考命題者集體智慧的結(jié)晶，高考試題作為載體除了選拔功能更具有很好的教學(xué)價(jià)值，是一種不可多得的教學(xué)素材.本文中筆者正是通過對(duì)一道精彩的向量問題從不同層面深入剖析，進(jìn)行多角度研究和“二次開發(fā)利用”，讓學(xué)生通過一道題明晰一類題，從而使學(xué)生認(rèn)知得到優(yōu)化、能力得到提升.

向量高考試題一般以平面向量為載體，常常結(jié)合其它模塊知識(shí)如三角函數(shù)、解三角形、解析幾何等交叉滲透，是高考命題的一個(gè)亮點(diǎn)！然而，每年的浙江高考向量試題命制的大都較為新穎，且具有一定難度和技巧，很多考生望而生畏.而2020年這道向量題作為填空壓軸題，入口寬解法多，給人似曾相識(shí)的感覺，考生無論從那個(gè)視角都容易上手，結(jié)果也不是很難算.應(yīng)該說是一道精彩的不可多得的向量好題.在求解過程中，既要將繁瑣抽象的代數(shù)運(yùn)算巧妙轉(zhuǎn)化成幾何關(guān)系，又能對(duì)圖形性質(zhì)與特征賦予相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算，才能使解題事半功倍、游刃有余.