幾何直觀下的函數(shù)“取點(diǎn)”探究*

廣州大學(xué)附屬中學(xué) (510006) 陳經(jīng)緯

函數(shù)零點(diǎn)問題是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，特別是判斷零點(diǎn)存在或個(gè)數(shù)時(shí)具有很高的區(qū)分度，備受命題者青睞.在解決此類問題時(shí)，常常需要我們找函數(shù)值大于0或者函數(shù)值小于0的點(diǎn)，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理來判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，廣大師生對(duì)取點(diǎn)的方法和技巧比較困惑，本文通過函數(shù)圖像直觀地闡述取點(diǎn)當(dāng)中的本質(zhì)問題，希望能拋轉(zhuǎn)引玉.

一、由三類函數(shù)圖像關(guān)系提煉出常用的不等式

函數(shù)取點(diǎn)問題本質(zhì)是放縮，讀者更關(guān)心的關(guān)鍵問題是如何放縮，一般來講在取點(diǎn)過程中，不可避免地需要考查指數(shù)函數(shù)y=ex，對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx和冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))的大小關(guān)系，我們先來看指數(shù)y=ex和部分冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))及衍生函數(shù)的圖像，如圖1.

圖1

再來看對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx和部分冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))及衍生函數(shù)的圖像，如圖2.

圖2

二、放縮的基本手法

通過軟件展示函數(shù)圖像提煉出不等式，主要是為取點(diǎn)放縮做鋪墊，理解和掌握某種數(shù)學(xué)方法往往需要通過解題來表達(dá)和完善，筆者認(rèn)為函數(shù)取點(diǎn)的方法多種多樣，只要是符合題意的都可以，結(jié)合自己多年教學(xué)實(shí)踐以及對(duì)高考真題和模擬題的研究，筆者認(rèn)為函數(shù)零點(diǎn)取點(diǎn)放縮有以下幾個(gè)基本手法并結(jié)合具體題目進(jìn)行分析:

基本手法一：將有界函數(shù)大膽放縮成常數(shù)；

基本手法二：當(dāng)函數(shù)有多項(xiàng)時(shí)，根據(jù)第一部分中提煉出的不等式進(jìn)行部分項(xiàng)放縮.

例3 (2017年全國(guó)高考新課標(biāo)I卷理21題節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x(00

基本手法三：當(dāng)函數(shù)有多項(xiàng)時(shí)，有時(shí)需要添項(xiàng)、并項(xiàng)、拆項(xiàng)后放縮.

基本手法四：利用不等式來限制取點(diǎn)

例6 (2016年全國(guó)Ⅰ理21題節(jié)選) 已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2(a>0)有兩個(gè)零點(diǎn)．求a的取值范圍.

三、啟示

在函數(shù)零點(diǎn)取點(diǎn)過程中，手段是恰當(dāng)?shù)胤趴s，本質(zhì)是函數(shù)間的關(guān)系，本文通過幾何直觀把解題中經(jīng)常使用的不等關(guān)系展示出來，這種不等式關(guān)系不是冰冷的，而是活生生的圖像關(guān)系，以便讓讀者有一個(gè)形象的認(rèn)識(shí)，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.在解題教學(xué)中，教師僅僅展示解題過程和結(jié)果是不夠的，要深刻地分析題目的內(nèi)在原因，在日益突出核心素養(yǎng)考查的當(dāng)下，我們需要將解題需要的數(shù)學(xué)思想和方法傳遞給學(xué)生，讓學(xué)生對(duì)問題的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的高度，解題活動(dòng)結(jié)束后要求學(xué)生對(duì)自己的解題活動(dòng)加以回顧、分析與研究，把解題的主要思想、關(guān)鍵因素進(jìn)行概括，從而幫助學(xué)生從具體的題目中抽象出來，達(dá)到徹底掌握一類問題的解題思想與方法.