借助直觀模型 化抽象為形象*
——例談直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

江蘇省無錫市第一中學(xué) (214031) 劉 峰

1 提出問題

新一輪課程改革中，“落實立德樹人”被作為課程改革的根本任務(wù)．如何培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力和必備品格，成為此輪課程改革的核心任務(wù)．《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版2020年修訂)》提出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹的根本任務(wù)，培育學(xué)生的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”．高中數(shù)學(xué)“六大核心素養(yǎng)”包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析．

修訂版課程標準指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)．主要包括：借助空間形式認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)件數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路．如何在課堂教學(xué)與課后練習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)自然成為所有高中數(shù)學(xué)一線教師需要探索、實踐的問題．

2 解決問題

2.1 運用空間想象，化動為靜，化抽象為形象

例1 (2019年紹興市高二上期末調(diào)研第10題)已知△ABC，AB=AC，D是BC上的點，將△ABC沿AD翻折到△AB1D，設(shè)點A在平面B1CD上的射影為O，當(dāng)點D在BC上運動時，點O( ).

A．位置保持不變 B．在一條直線上

C．在一個圓上 D．在一個橢圓上

解：如圖1，因為點A在平面B1CD上的射影為O，所以AO⊥平面B1CD，又因為B、B1、C、D、O共面，所以AO⊥平面OBC，所以O(shè)A⊥OB，OA⊥OC，因為OA⊥OB，所以點O在AB為直徑的球面上；同理，點O在AC為直徑的球面上.又因為這兩個球面的公共部分為一個圓，所以點O在一個圓上．故選D．

圖1

素養(yǎng)分析：本題為軌跡問題，對于軌跡問題，首先要區(qū)分出題中的“靜”與“動”，本題中A、B、C為定點，D、B1為主動點，O為從動點．因此將AO⊥平面B1CD等價轉(zhuǎn)化為AO⊥平面OBC，這一步化動為靜，是本題的解題關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化后條件中涉及的4個點中，點A、B、C為定點，點O變?yōu)槲ㄒ坏膭狱c，后面的轉(zhuǎn)化分析就相對容易很多．由線(OA)面(面OBC)垂直，推出線線垂直(OA⊥OB、OA⊥OC)，對于線線垂直O(jiān)A⊥OB，因為A、B為定點，在平面中，O在AB為直徑的圓上，類比可知在空間中，點O在AB為直徑的球面上，這對學(xué)生的空間想象提出較高的要求．此題中兩個球面的公共部分，可借助花生或葫蘆這些生活中的事物，幫助學(xué)生建立形象的幾何直觀．

幾何直觀是以“形”的直觀呈現(xiàn)問題的各種信息，借助事物或幾何模型，對事物的空間形式進行觀察、分析、認識，對空間圖形的點、線、面的位置關(guān)系，依托“形”的直觀產(chǎn)生對事物本屬性的感知．

2.2 精準作圖，利用圖形描述與分析問題

圖2

圖3

素養(yǎng)分析：本題考查球面與空間幾何體的面的交線問題．因為球面與平面的交線為圓，解決此題的關(guān)鍵首先是找到圓的圓心和半徑，其次是確定圓被正方形所截得的弧所對的圓心角．

本題沒有給出圖形，對學(xué)生的空間想象能力的要求極高，要求學(xué)生對球的幾何性質(zhì)有深刻的理解，考查了學(xué)生對空間形式的分析與抽象的能力，即畫圖和對圖象的想象能力，并與邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)的考查相結(jié)合．

2.3 利用數(shù)形結(jié)合，簡化問題解決的思路

圖4

圖5

圖6

數(shù)形結(jié)合是直觀與抽象、感知與想象的結(jié)合，數(shù)具有概括和抽象的特點，形具有具體化和形式化的特征，數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩個最主要的研究對象，他們密不可分，建立形與數(shù)的聯(lián)系，以形助數(shù)、以思形，實現(xiàn)形與數(shù)的相互滲透、轉(zhuǎn)化．

2.4 利用已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗，簡化問題解決的思路

史寧中教授認為，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來的而不是“證”出來的．這里的“看”實際上是一種直覺判斷，這種直覺判斷的可靠性必須建立在長期的有效的思考、訓(xùn)練和總結(jié)的基礎(chǔ)上，是逐漸養(yǎng)成的一種思維習(xí)慣．