白淑萍
(內(nèi)蒙古民族大學數(shù)理學院,內(nèi)蒙古 通遼 028043)
凸函數(shù)是一個簡單而自然的概念,在數(shù)學規(guī)劃論、博弈論、數(shù)理經(jīng)濟學、逼近論、變分學、最優(yōu)控制論等領域具有重要的理論意義和廣泛的應用前景.但是在經(jīng)濟學中和許多優(yōu)化問題的數(shù)學模型中遇到的函數(shù)往往很難滿足凸性的要求,只能退而求其次,考慮較弱的廣義凸函數(shù).歷史上,第一種廣義凸函數(shù)是由FINETTI[1]于1949年提出,由FENCHEL[2]于1953年命名的擬凸函數(shù),其在適當放寬凸性條件的同時,還保留了凸函數(shù)某些重要的有用性質(zhì),其實用的范圍卻比凸函數(shù)要廣,是凸函數(shù)的拓廣與發(fā)展.筆者在分數(shù)階積分基礎上,研究了擬凸函數(shù)在不等式方面的應用,建立了擬凸函數(shù)的Simpson型積分不等式,并給出了其誤差估計.
定義1[1-2]設I為實數(shù)軸R上的任一區(qū)間,f(x)是區(qū)間I上的函數(shù),如果對于?a,b∈I,a<b,?λ∈[0,1],有
則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的擬凸函數(shù).
定義2[3]設(a,b)為實數(shù)軸R上的區(qū)間,其中a<b且a,b∈[-∞,+∞].如果 Re(α)>0 ,α是一個復數(shù),函數(shù)則
和
分別稱為左邊、右邊的Katugampola分數(shù)階積分,函數(shù)空間如下:
其中
Katugampola分數(shù)階積分也稱為ρ-Riemann-Liouville分數(shù)階積分[4],它推廣了Riemann-Liouville分數(shù)階積分和Hadamard分數(shù)階積分[5]:
和
下面的不等式是著名的Simpson不等式.
定理1[7]設f:[ ]a,b→R在區(qū)間[ ]a,b內(nèi)是連續(xù)可微的,有
在文獻[8],HAI等建立了如下等式.
引理1[8]設是一個可微函數(shù),其中,則對于?α>0,?x∈(a,b),下面的等式成立:
其中,函數(shù)f(xρ)在區(qū)間[a,b]上的Katugampola分數(shù)階積分存在.
在文獻[8]中,作者基于Katugampola分數(shù)階積分,研究了凸函數(shù)的Simpson型不等式.筆者在文獻[6]、[8]和[9]基礎上,研究擬凸函數(shù)在不等式方面的應用,建立了擬凸函數(shù)的Simpson型分數(shù)階積分不等式,并給出其誤差估計.
本節(jié)筆者利用函數(shù)的擬凸性和引理1建立一些新的Simpson型分數(shù)階不等式.
其中α>0.
證明 利用引理1以及|f′|的擬凸性得到
定理2證畢.
通過計算即得式(8),定理3證畢.
特別地,在定理3中分別取r=0、r=1和r=q時,可以得到:
和
和
類似定理3的證明方法,還可以得到下述結(jié)論:
通過計算即得式(12),定理4證畢.
特別地,在定理4的不等式中取r=1、r=q和r=qα時,可以得到:
和
和
注:在式(7)~(15)中當ρ→1時取極限,即得到基于Riemann-Liouville分數(shù)階積分的相關結(jié)論.