基于集合卡爾曼濾波與相空間重構(gòu)的負(fù)荷預(yù)測(cè)方法研究

付文杰，李 化，楊伯青，宋 杰

（1.國(guó)網(wǎng)河北省電力有限公司 保定市供電分公司，河北 保定 071000；2.國(guó)電南瑞南京控制系統(tǒng)有限公司，南京 211100）

0 引言

電力負(fù)荷預(yù)測(cè)對(duì)電網(wǎng)調(diào)度的自動(dòng)控制十分重要，隨著能源互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展及電力改革的推進(jìn)，負(fù)荷預(yù)測(cè)的應(yīng)用也逐步擴(kuò)展到售電側(cè)和用戶側(cè)［1—2］。準(zhǔn)確的負(fù)荷預(yù)測(cè)不僅能夠增加售電商的收益，而且可以改善用戶側(cè)需求響應(yīng)的實(shí)施效果，對(duì)電網(wǎng)運(yùn)行的穩(wěn)定性和經(jīng)濟(jì)性都大有裨益［3］。

受到多重非線性因素的影響，電力負(fù)荷時(shí)間序列具有混沌性質(zhì)，這使得利用混沌理論對(duì)其進(jìn)行處理具有天然的適合性［4—5］?；煦珙A(yù)測(cè)是建立在重構(gòu)電力負(fù)荷時(shí)間序列相空間基礎(chǔ)上的，延遲坐標(biāo)嵌入作為廣泛應(yīng)用的相空間重構(gòu)方法，在使用時(shí)需要選取延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)［6］。對(duì)于延遲時(shí)間的選取，通常用自相關(guān)系數(shù)法和互信息法，后者由于考慮了系統(tǒng)的非線性因素，因而性能更佳。嵌入維數(shù)的確定，常用幾何不變量法、虛假最鄰近點(diǎn)法和改進(jìn)虛假最鄰近點(diǎn)法。其中虛假最鄰近點(diǎn)法對(duì)噪聲比較敏感，且閾值的選取具有主觀性。而改進(jìn)虛假最鄰近點(diǎn)法則不存在這些問(wèn)題，只需要用到延遲時(shí)間和較小的數(shù)據(jù)量就可以確定嵌入維數(shù)［7—8］。本文所采用的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)自智能電力終端采集的海量電力負(fù)荷數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)中往往包含許多采樣噪聲，這些噪聲無(wú)疑會(huì)侵蝕負(fù)荷預(yù)測(cè)的精度。將隨機(jī)濾波與相空間重構(gòu)相結(jié)合，以便將噪聲對(duì)時(shí)間序列預(yù)測(cè)結(jié)果的影響最小化，提升預(yù)測(cè)精度。常用的非線性隨機(jī)濾波有擴(kuò)展卡爾曼濾波、無(wú)跡卡爾曼濾波、集合卡爾曼濾波（ensembleKalman filter，EnKF）等［9］。其中，EnKF用一系列狀態(tài)的采樣值來(lái)近似系統(tǒng)的非線性，無(wú)需求解雅可比矩陣。當(dāng)集合中采樣點(diǎn)的數(shù)量遠(yuǎn)小于狀態(tài)維數(shù)時(shí)，其時(shí)間復(fù)雜度小于擴(kuò)展卡爾曼濾波。同時(shí)，EnKF對(duì)系統(tǒng)模型的要求較低，對(duì)模型偏差和不完整性的容忍度較高［10—11］。

本文使用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法對(duì)家庭分項(xiàng)電器負(fù)荷與總負(fù)荷進(jìn)行短期預(yù)測(cè)。首先，由非侵入式量測(cè)終端獲得的海量歷史負(fù)荷數(shù)據(jù)組成一維時(shí)間序列。依據(jù)提出的基于集合卡爾曼濾波和相空間重構(gòu)（reconstructing phase space，PSR）的組合模型（EnKF?PSR），應(yīng)用延遲坐標(biāo)嵌入法對(duì)該一維時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)。采用互信息法和改進(jìn)虛假最鄰近點(diǎn)法分別選取延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)，并且采用局部平均法預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的負(fù)荷。根據(jù)無(wú)跡變換理論，對(duì)負(fù)荷預(yù)測(cè)值選取合適數(shù)量的Sigma點(diǎn)組成預(yù)測(cè)值集合，并使用EnKF算法進(jìn)行數(shù)據(jù)同化，最終得到經(jīng)過(guò)隨機(jī)濾波的分項(xiàng)電器負(fù)荷預(yù)測(cè)值和家庭總負(fù)荷預(yù)測(cè)值。本文的方法旨在優(yōu)化負(fù)荷預(yù)測(cè)結(jié)果，減小數(shù)據(jù)采樣噪聲對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響，具有較高的預(yù)測(cè)精度。

1 EnKF?PSR組合模型

1.1 傳統(tǒng)的PSR模型

對(duì)于具有混沌性質(zhì)的電力負(fù)荷時(shí)間序列，根據(jù)Takens嵌入定理，可以從該序列中重構(gòu)一個(gè)與原動(dòng)力系統(tǒng)在拓?fù)湟饬x下一樣的相空間［12］。由于對(duì)初始條件極其敏感，因此相空間重構(gòu)方法往往用來(lái)進(jìn)行短期預(yù)測(cè)。利用延遲坐標(biāo)的方法重構(gòu)相空間，關(guān)鍵在于延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)兩個(gè)參數(shù)的選取。

1.1.1 延遲時(shí)間

定義兩個(gè)電力負(fù)荷的時(shí)間序列S、Q如式（1）所示，其中Q為S經(jīng)過(guò)延時(shí)τ后所得

兩個(gè)時(shí)間序列之間的互信息為延遲時(shí)間τ的函數(shù)，互信息I(τ)的大小代表在已知時(shí)間序列S的情況下，時(shí)間序列Q的確定性大小。可表示如下

式中：I(τ)的第一個(gè)極小值表示兩個(gè)時(shí)間序列之間不相關(guān)的最大可能性，因此使用I(τ)的第一個(gè)極小值作為最終的延遲時(shí)間τ；H(S)、H(Q)和H(S,Q)分別為各自時(shí)間序列的信息熵及聯(lián)合信息熵，如式（3）—式（5）所示

式中：P為相應(yīng)的概率。

1.1.2 嵌入維數(shù)

基于電力負(fù)荷的時(shí)間序列S和延遲時(shí)間τ，可以構(gòu)造相空間yi(d)如式（6）所示

式中：d為嵌入維數(shù)。

所謂虛假臨近點(diǎn)，是指高維相空間并不相鄰的兩個(gè)點(diǎn)投影到一維空間上，有的時(shí)候會(huì)成為相鄰的兩點(diǎn)。在d維相空間中，每個(gè)向量yi(d)都有一個(gè)最臨近點(diǎn)。衡量?jī)牲c(diǎn)之間距離的尺度可以是歐幾里德距離|·||2或最大模范數(shù)||·||∞，本文使用后者。定義變量a(i,d)、E(d)、E1(d)如下所示

式中：a(i,d)為使得對(duì)應(yīng)向量在最大模范數(shù)下離向量yi(d)最近；E(d)為在d維的范圍內(nèi)，對(duì)a(i,d)求取平均值；E1(d)為當(dāng)維數(shù)從d變?yōu)閐+1時(shí)，變量E(d)的變化程度。通過(guò)迭代計(jì)算，當(dāng)維數(shù)d大于一定值dc，而E1(d)不再變化時(shí)，選取dc+1為時(shí)間序列的嵌入維數(shù)。

1.1.3 局部平均預(yù)測(cè)

依據(jù)選取的延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)完成相空間重構(gòu)，形成第i個(gè)向量yi如式（6）所示。因此，可以在d維歐式空間建立系統(tǒng)模型如下所示

式中：F為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。令N=n-(d-1)τ，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，如果yN與yh很接近，則可用x(h+1)作為x(N+1)的近似。以最大模范數(shù)||·||∞為衡量標(biāo)準(zhǔn)，從相空間中選取k個(gè)與yN最接近的向量，根據(jù)局部平均預(yù)測(cè)思想可以得到電力負(fù)荷時(shí)間序列下一時(shí)刻的預(yù)測(cè)值x(n+1)如下所示

式中：th為第h個(gè)最接近的向量。

1.2 EnKF?PSR模型

基于傳統(tǒng)PSR模型得到的負(fù)荷預(yù)測(cè)值中依然包含采樣噪聲和隨機(jī)噪聲。本節(jié)通過(guò)EnKF算法對(duì)負(fù)荷預(yù)測(cè)值進(jìn)行分析與校正，EnKF算法將噪聲納入迭代計(jì)算中，容忍其存在的同時(shí)能夠給出最優(yōu)的負(fù)荷狀態(tài)預(yù)測(cè)。

1.2.1 模型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

EnKF-PSR組合模型的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1虛線框中所示。模型對(duì)輸入數(shù)據(jù)的處理過(guò)程主要分為以下3個(gè)階段：

圖1 模型系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of model system

（1）PSR參數(shù)選取?；陔娏ω?fù)荷時(shí)間序列S，根據(jù)互信息I(τ)極小值法選取延遲時(shí)間τ；根據(jù)虛假臨近點(diǎn)法選取嵌入維數(shù)d。參數(shù)選取完成后，相空間重構(gòu)即可完成。

（2）無(wú)跡變換及PSR預(yù)測(cè)值集合形成。通過(guò)無(wú)跡變換方法得到相空間中各個(gè)變量的Sigma點(diǎn)集，再依據(jù)局部平均預(yù)測(cè)法得到PSR預(yù)測(cè)值集合。

（3）EnKF分析及校正。使用EnKF算法對(duì)PSR預(yù)測(cè)值集合進(jìn)行分析和校正處理，最終得到負(fù)荷預(yù)測(cè)結(jié)果。

1.2.2 無(wú)跡變換與EnKF

電力負(fù)荷背后隱藏的動(dòng)力系統(tǒng)是一個(gè)受多重因素影響的強(qiáng)非線性系統(tǒng)，可用式（12）所示的方程描述其動(dòng)態(tài)規(guī)律和觀測(cè)行為。龐大的電力負(fù)荷通常很難用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，因此本文采用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法。對(duì)應(yīng)到式（12）中，主要考慮vk代表的量測(cè)噪聲，即采樣噪聲。

式中：xk為狀態(tài)變量；yk為觀測(cè)值；wk、vk分別為代表模型噪聲、量測(cè)噪聲的白噪聲過(guò)程。

在EnKF理論中，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)在k時(shí)刻的狀態(tài)進(jìn)行有限次采樣，組成一個(gè)狀態(tài)集合，然后使用此集合來(lái)近似系統(tǒng)的非線性。鑒于電力負(fù)荷預(yù)測(cè)中，精確的非線性函數(shù)f和g未可知，因此考慮使用無(wú)跡變換的方法來(lái)創(chuàng)建描述狀態(tài)xk的點(diǎn)集。假設(shè)隨機(jī)變量xk的均值和協(xié)方差分別為xˉ和Pk，采取對(duì)稱采樣的策略選取2n+1（n為狀態(tài)變量的維數(shù)）個(gè)Sigma點(diǎn)及其相關(guān)權(quán)重來(lái)表征xk，如式（13）所示。Sigma點(diǎn)和相關(guān)權(quán)重的選取原則如式（14）所示，其中上標(biāo)為a的量代表預(yù)測(cè)值相關(guān)，上標(biāo)為0的量代表均值相關(guān)，即Sigma點(diǎn)集的中心，其他所有點(diǎn)關(guān)于均值對(duì)稱分布，且所有權(quán)重之和為1。

由于相空間中的向量反映系統(tǒng)狀態(tài)，因此考慮如式（15）所示的k時(shí)刻d維觀測(cè)延遲向量xk。

根據(jù)式（11）所示的局部平均預(yù)測(cè)法，可對(duì)點(diǎn)集中的每一個(gè)Sigma點(diǎn)進(jìn)行處理，得到相應(yīng)下一時(shí)刻的預(yù)測(cè)值。當(dāng)預(yù)測(cè)部分完成后，結(jié)合k+1時(shí)刻的量測(cè)值yk+1。再根據(jù)式（16），即可對(duì)預(yù)測(cè)值進(jìn)行校正，從而得到最優(yōu)的預(yù)測(cè)結(jié)果。

式中：Kk為卡爾曼增益；為狀態(tài)與觀測(cè)的交叉協(xié)方差；為量測(cè)協(xié)方差；Pk為狀態(tài)的協(xié)方差；為狀態(tài)預(yù)測(cè)值；為觀測(cè)預(yù)估值；Q、R分別為模型噪聲的協(xié)方差和量測(cè)噪聲的協(xié)方差，本文假定它們?yōu)榱憔蛋自肼暋?/p>

1.2.3 數(shù)據(jù)處理與算法流程

模型的輸入數(shù)據(jù)源自非侵入式量測(cè)終端。非侵入式負(fù)荷辨識(shí)技術(shù)是一種新型高級(jí)量測(cè)技術(shù)，通過(guò)在用戶關(guān)口安裝終端、表等采集電力負(fù)荷輸入總線的總電流、電壓等實(shí)時(shí)信息，利用總電流、電壓等包含的負(fù)荷特征信息和高級(jí)算法來(lái)實(shí)現(xiàn)負(fù)荷辨識(shí)。目前預(yù)測(cè)精度平均85%以上，其中300 W以上大功率電器識(shí)別率95%以上［13］。當(dāng)前的非侵入式負(fù)荷辨識(shí)數(shù)據(jù)辨識(shí)精度可支撐電力供需互動(dòng)的負(fù)荷預(yù)測(cè)，特別是家庭主要大功率電器。非侵入式負(fù)荷辨識(shí)細(xì)化了家庭電器負(fù)荷類型感知，能提升負(fù)荷預(yù)測(cè)精度。

由于人為因素或某些特殊原因，采樣得到的負(fù)荷數(shù)據(jù)有時(shí)包含一些壞點(diǎn)。本文對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，基于最大熵算法［14］建立了壞點(diǎn)分類模型，如圖2所示。

圖2 基于最大熵的壞點(diǎn)分類模型Fig.2 Abnormal data classification model based on maximum entropy

基于EnKF?PSR組合模型的電力負(fù)荷預(yù)測(cè)算法流程如圖3所示。在利用局部平均法預(yù)測(cè)下一時(shí)刻的狀態(tài)時(shí)，對(duì)最臨近向量的個(gè)數(shù)采取迭代的方式選取，從2個(gè)最鄰近向量個(gè)數(shù)開始進(jìn)行計(jì)算直至狀態(tài)預(yù)測(cè)值收斂為止。這樣處理可以根據(jù)不同的電力負(fù)荷數(shù)據(jù)訓(xùn)練集實(shí)時(shí)選取合適的最臨近向量數(shù)目，具有自適應(yīng)性，從而最優(yōu)化算法執(zhí)行時(shí)間。

圖3 負(fù)荷預(yù)測(cè)算法流程Fig.3 Load forecasting algorithm flow

2 案例分析

2.1 預(yù)測(cè)誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)

在電力負(fù)荷的預(yù)測(cè)過(guò)程中，由于數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)化、各種影響因子的忽略、不當(dāng)?shù)膮?shù)選取、訓(xùn)練樣本不完整等因素，導(dǎo)致預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間一般總有誤差。一種簡(jiǎn)單的評(píng)價(jià)指標(biāo)是絕對(duì)誤差，即負(fù)荷預(yù)測(cè)值與真實(shí)值之間的差值。但是，這種評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)誤差大小的表達(dá)不夠直觀。本文使用相對(duì)誤差來(lái)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，更加直觀。假設(shè)y(i)和y?(i)分別是i時(shí)刻的負(fù)荷真實(shí)值和預(yù)測(cè)值，則它們之間的相對(duì)誤差如式（17）所示

2.2 樣本數(shù)據(jù)

樣本數(shù)據(jù)來(lái)自基于圖2所示的非侵入式終端量測(cè)得到的河北省保定市50個(gè)家庭用戶的2019年7月10日到7月15日的用電數(shù)據(jù)，包括電熱水器、空調(diào)的負(fù)荷以及家庭總負(fù)荷，采樣間隔為15 min。表1給出了所采集的樣本數(shù)據(jù)，為50個(gè)家庭的負(fù)荷數(shù)據(jù)總和。

表1 樣本數(shù)據(jù)Table 1 Sample data

對(duì)于一維電力負(fù)荷時(shí)間序列，對(duì)每一個(gè)狀態(tài)選取3個(gè)Sigma點(diǎn)組成點(diǎn)集。中心點(diǎn)的權(quán)重W0取0.5，另外兩點(diǎn)的權(quán)重W1、W2均取0.25。表1中電熱水器SWH、空調(diào)SAC和總負(fù)荷STOTAL的時(shí)間序列可分別表示如下：

根據(jù)式（1）—式（5）求出相關(guān)概率后再利用互信息I(τ)極小值法求出延遲時(shí)間。根據(jù)式（7）—式（9）求取嵌入維數(shù)。算法中的主要參數(shù)如表2所示。

表2 算法主要參數(shù)Table 2 Main parameters for algorithm

由于本文的主要工作是初步驗(yàn)證所提算法對(duì)電力負(fù)荷預(yù)測(cè)的可行性和有效性，因此，延遲時(shí)間與嵌入維數(shù)的選取并不是最優(yōu)的。在下一步開展的工作中，需要對(duì)比多組延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)對(duì)符合預(yù)測(cè)效果的影響，以優(yōu)化參數(shù)選取。

2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

基于EnKF?PSR組合模型算法分別得到熱水器、空調(diào)和家庭總負(fù)荷的預(yù)測(cè)值。圖4給出了一天中電熱水器負(fù)荷的預(yù)測(cè)值、實(shí)際值和相對(duì)誤差。

圖4 電熱水器負(fù)荷預(yù)測(cè)效果Fig.4 Forecasting effect of electrical water heater load

由圖4可以看出，誤差范圍主要集中在+7～-10之間，預(yù)測(cè)效果令人滿意。通過(guò)電熱水器的負(fù)荷預(yù)測(cè)結(jié)果可以得知，用戶對(duì)電器的主要使用時(shí)段集中在21:00—23:00，這也符合多數(shù)用戶工作和休息時(shí)段的實(shí)際情況，再次說(shuō)明預(yù)測(cè)結(jié)果能夠較為準(zhǔn)確的反應(yīng)真實(shí)的用戶行為。

圖5給出了一天中空調(diào)負(fù)荷的預(yù)測(cè)值、實(shí)際值和相對(duì)誤差。誤差范圍主要集中在-15%～+15%之間，預(yù)測(cè)效果比較令人滿意。根據(jù)式（17）所示的相對(duì)誤差計(jì)算方法，由圖2、圖3可以看出，相對(duì)誤差的大小不僅取決于絕對(duì)誤差，還同時(shí)受到公式中的分母即負(fù)荷實(shí)際值大小的影響。由于空調(diào)的使用受個(gè)人習(xí)慣、家庭經(jīng)濟(jì)狀況等眾多因素影響，因此隨機(jī)性較大，故預(yù)測(cè)誤差相對(duì)較大。通過(guò)空調(diào)的負(fù)荷預(yù)測(cè)結(jié)果可以得知，用戶對(duì)電器的主要使用時(shí)段集中在12:00—15:00以及21:00—23:00。由于本文采集的數(shù)據(jù)歸屬于夏季，因此預(yù)測(cè)結(jié)果符合多數(shù)用戶工作和休息時(shí)段的實(shí)際情況，再次說(shuō)明預(yù)測(cè)結(jié)果能夠較為準(zhǔn)確的反應(yīng)真實(shí)的用戶行為。

圖5 空調(diào)負(fù)荷預(yù)測(cè)效果Fig.5 Forecasting effect of air?conditioner load

圖6為基于EnKF?PSR模型的總負(fù)荷預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的比較以及相對(duì)誤差。誤差范圍為-10%～+10%，取得了較好的預(yù)測(cè)效果。總負(fù)荷的變化趨勢(shì)符合夏季用戶側(cè)負(fù)荷的實(shí)際變化規(guī)律。同時(shí)，將單純基于PSR模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際值作比較，相對(duì)誤差如圖7所示，誤差范圍為-11%～+22%。由于采樣噪聲的存在，使得負(fù)荷預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際值之間存在較大的偏差。對(duì)比圖6和圖7可以看出，EnKF?PSR組合模型預(yù)測(cè)方法能夠在存在采樣噪聲的情況下給出更為優(yōu)化的負(fù)荷預(yù)測(cè)結(jié)果，因此具有更好的預(yù)測(cè)效果。

圖6 基于EnKF?PSR模型時(shí)總負(fù)荷預(yù)測(cè)效果Fig.6 Forecasting effect of total power load based on EnKF?PSR model

圖7 基于傳統(tǒng)PSR模型時(shí)總負(fù)荷預(yù)測(cè)效果Fig.7 Forecasting effect of total power load based on traditional PSR model

3 結(jié)束語(yǔ)

本文基于提出的EnKF?PSR組合模型對(duì)家用分項(xiàng)電器和家庭總負(fù)荷進(jìn)行短期預(yù)測(cè)。在存在采樣噪聲的情況下，使用EnKF算法對(duì)負(fù)荷預(yù)測(cè)值進(jìn)行分析和校正，給出最優(yōu)負(fù)荷估計(jì)。通過(guò)非侵入式終端獲取河北保定50個(gè)家庭用戶的歷史用電數(shù)據(jù)進(jìn)行樣本訓(xùn)練，從而得出算法所需的延遲時(shí)間、嵌入維數(shù)等主要參數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與傳統(tǒng)PSR方法相比，本文提出的EnKF?PSR組合模型方法具有更好的負(fù)荷預(yù)測(cè)效果。下一步的工作重點(diǎn)在于對(duì)比不同延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)對(duì)負(fù)荷預(yù)測(cè)效果的影響，以期得到優(yōu)化的延遲實(shí)際和嵌入維數(shù)以及更佳的負(fù)荷預(yù)測(cè)效果。