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    偶次平均間斷有限元單元內(nèi)部超收斂點(diǎn)結(jié)構(gòu)

    2022-01-20 06:29:08鄭玉軍華玉春
    關(guān)鍵詞:量級有限元法零點(diǎn)

    鄭玉軍 華玉春 湯 瓊

    偶次平均間斷有限元單元內(nèi)部超收斂點(diǎn)結(jié)構(gòu)

    鄭玉軍1華玉春1湯 瓊2

    (1.湖南科技學(xué)院 理學(xué)院,湖南 永州 425199;2.湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,湖南 株洲 412007)

    在常微分方程數(shù)值解法中,間斷有限元法不僅具有高精度,而且對解的光滑性要求較低??紤]常微分方程初值問題的偶次平均間斷有限元,在數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)上研究了單元內(nèi)部的超收斂點(diǎn)結(jié)構(gòu)及影響因素。

    常微分方程初值問題;偶次平均間斷有限元;超收斂點(diǎn);結(jié)構(gòu)

    常微分方程初值 問題廣泛出現(xiàn)在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中,它有多種數(shù)值求解方法,如Euler法、Runge-Kutta法等差分法和有限元法[1-6]。近年來廣泛關(guān)注的間斷有限元法不僅具有高精度,而且對解的光滑性要求較低,因此可應(yīng)用到求解波動(dòng)方程與熱傳方程問題。本文考慮常微分方程初值問題的偶次平均間斷有限元[3-6],在進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)上研究了單元內(nèi)部的超收斂點(diǎn)結(jié)構(gòu)及影響因素。

    1 偶次平均間斷有限元格式

    考慮如下問題

    2 偶次平均間斷有限元單元內(nèi)部超收斂點(diǎn)結(jié)構(gòu)

    圖1、3、5、7、9、11為偶次平均間斷零次元誤差圖,圖2、4、6、8、10、12為偶次平均間斷二次元誤差圖,圖2、4、6、8誤差的量級為10?4,圖10誤差的量級為10?5,圖12誤差的量級為10?3??梢姡即纹骄g斷二次元比零次元精度高些。

    圖1 例1的零次元誤差

    圖2 例1的二次元誤差

    圖3 例2的零次元誤差

    圖4 例2的二次元誤差

    圖5 例3的零次元誤差

    圖6 例3的二次元誤差

    圖7 例4的零次元誤差

    圖8 例4的二次元誤差

    圖9 例5的零次元誤差

    圖10 例5的二次元誤差

    圖11 例6的零次元誤差

    圖12 例6的二次元誤差

    觀察4剖分下十二個(gè)誤差圖。例1、3、5的二次元誤差圖在遠(yuǎn)離起點(diǎn)的幾個(gè)單元之后,單元上誤差曲線與三次Legendre多項(xiàng)式相當(dāng)接近,零點(diǎn)與圖中的三階Gauss點(diǎn)非常接近;例1、3、5的零次元誤差圖,單元上誤差曲線與一次Legendre多項(xiàng)式相當(dāng)接近,每單元內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)。例2、4、6的二次元誤差圖在遠(yuǎn)離起點(diǎn)的幾個(gè)單元之后,單元上誤差曲線與二次Legendre多項(xiàng)式相當(dāng)接近,零點(diǎn)與圖中的二階Gauss點(diǎn)*非常接近;而例2、4、6的零次元誤差圖,每單元內(nèi)沒有零點(diǎn)。文獻(xiàn)[5-6]表明這些Gauss點(diǎn)*是超收斂點(diǎn)。

    為探討單元內(nèi)部超收斂點(diǎn)的結(jié)構(gòu)與哪些因素有關(guān),改變初值。

    圖13 例的零次元誤差

    圖14 例的二次元誤差

    圖15 例的零次元誤差

    圖16 例的二次元誤差

    圖17 例的零次元誤差

    圖18 例的二次元誤差

    圖19 例的零次元誤差

    圖20 例的二次元誤差

    表1 單元內(nèi)部超收斂點(diǎn)個(gè)數(shù)

    [1]陳傳淼.有限元超收斂構(gòu)造理論[M].長沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社,2001:19-255.

    [2]陳傳淼.科學(xué)計(jì)算概論[M].北京:科學(xué)出版社,2007:11,138-159.

    [3]Delfour M, Hager W, Trochu F. Discontinuous Galerkin methods for ordinary differential equations[J]. Mathematics of Computation, 1981, 36(154):455-473.

    [4]李燦華.常微分方程的一類強(qiáng)間斷有限元法[D].長沙:湖南師范大學(xué),2006.

    [5]鄭玉軍.常微分方程初值問題的一類間斷有限元[J].湖南科技學(xué)院學(xué)報(bào),2011,32(8):11-12,18.

    [6]鄭玉軍,陳傳淼,湯瓊.非線性常微分方程初值問題的偶次平均間斷有限元[J].延邊大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,38(4):270-274.

    O241.8

    A

    1673-2219(2021)05-0007-04

    2021-03-13

    2018年湖南科技學(xué)院科學(xué)研究項(xiàng)目(18XKY063);2020年度湖南省自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(2020JJ4323),2020年度湖南省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目(20A211);2020年湖南科技學(xué)院科學(xué)研究項(xiàng)目(20XKY059)。

    鄭玉軍(1982-),男,湖南永州人,碩士,講師,研究方向?yàn)橛?jì)算數(shù)學(xué)。

    (責(zé)任編校:宮彥軍)

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