一類特殊形式的定積分極限問題

趙艷輝 鄧春紅

一類特殊形式的定積分極限問題

趙艷輝 鄧春紅

（湖南科技學(xué)院 理學(xué)院，湖南 永州 425199）

根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)和在一點(diǎn)可導(dǎo)的定義，利用可積(連續(xù))函數(shù)的有界性和定積分的分部積分法分兩種情形對(duì)一類特殊形式的定積分極限問題進(jìn)行研究，得到被積函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)或在區(qū)間上連續(xù)時(shí)此類極限問題的極限值與區(qū)間某一端點(diǎn)的函數(shù)值的關(guān)系及被積函數(shù)在區(qū)間(二階)可導(dǎo)或某點(diǎn)可導(dǎo)時(shí)此類極限問題的極限值與區(qū)間某一端點(diǎn)的函數(shù)值的關(guān)系，為此類極限的計(jì)算提供了理論依據(jù)，并通過具體實(shí)例進(jìn)行了驗(yàn)證。

數(shù)列極限; 定積分; 連續(xù)函數(shù); 可積性; 可導(dǎo)性

在數(shù)學(xué)專業(yè)的研究生考試和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)一類與定積分有關(guān)的數(shù)列極限問題，其中定積分的被積函數(shù)為(?)f ()，()是抽象函數(shù)。由于此類問題主要牽涉到數(shù)列極限定義、函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的可導(dǎo)性和函數(shù)的可積性等重要知識(shí)，可以說是一元函數(shù)微積分重要知識(shí)的綜合運(yùn)用，因此研究此類問題的解法不僅可以有效鞏固所學(xué)知識(shí)、找到各知識(shí)之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系，起到舉一反三、觸類旁通的作用，而且可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維的眼光分析問題和解決問題。

關(guān)于數(shù)列極限和函數(shù)極限的求法一般的高等數(shù)學(xué)教材或數(shù)學(xué)分析教材介紹得非常詳細(xì)[1-4]。而對(duì)于含有定積分的極限問題卻鮮有討論[5]。本文根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)和在一點(diǎn)可導(dǎo)的定義，利用可積（連續(xù)）函數(shù)的有界性和定積分的分部積分法分兩種情形對(duì)一類特殊形式的定積分極限問題進(jìn)行研究，得到被積函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)或在區(qū)間上連續(xù)時(shí)此類極限問題的極限值與區(qū)間某一端點(diǎn)的函數(shù)值的關(guān)系及被積函數(shù)在區(qū)間（二階）可導(dǎo)或某點(diǎn)可導(dǎo)時(shí)此類極限問題的極限值與區(qū)間某一端點(diǎn)的函數(shù)值的關(guān)系，為此類極限的計(jì)算提供理論依據(jù)，并通過具體實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證。

1 函數(shù)f (x)在閉區(qū)間端點(diǎn)連續(xù)的情形

結(jié)論1 (i)設(shè)函數(shù)()在[，]可積，且在=連續(xù)，則有

(ii)設(shè)函數(shù)()在[，]可積，且在=連續(xù)，則有

所以有

(5)

所以任給>0，存在自然數(shù)，當(dāng)>時(shí)，有

從而由式(5)得：任給>0，存在自然數(shù)，當(dāng)>時(shí)，有

同理可證式(2)成立。結(jié)論1得證。

當(dāng)已知函數(shù)()在一點(diǎn)連續(xù)或在區(qū)間連續(xù)時(shí)，可根據(jù)被積函數(shù)表達(dá)式的特征，利用連續(xù)函數(shù)的定義及積分區(qū)間的可加性將積分區(qū)間[，]分成兩個(gè)小區(qū)間[，]和[，]，注意在兩個(gè)小區(qū)間上()?()的處理方式是不同的。如果函數(shù)()在區(qū)間[，]連續(xù)，上述結(jié)論自然成立。

將()寫成定積分表達(dá)式的形式后，可以對(duì)絕對(duì)值里的表達(dá)式進(jìn)行運(yùn)算，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧統(tǒng)一美。

因?yàn)榉e分值不能直接求得，且極限值已知，所以可考慮用數(shù)列極限的定義來處理問題。

2 函數(shù)在閉區(qū)間有二階及以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)的情形

為方便起見，以二階連續(xù)可導(dǎo)為例進(jìn)行證明。

結(jié)論2 (i) 設(shè)函數(shù)()在[，]二階連續(xù)可導(dǎo)，則有

(ii) 設(shè)函數(shù)()在[，]二階連續(xù)可導(dǎo)，則有

證明：只證結(jié)論2中的(i)。依題意，由定積分的分部積分法有

從而有

則

從而式(7)成立。同理可證式(8)和式(9)成立。結(jié)論2得證。

例2 設(shè)函數(shù)()在區(qū)間[0，1]上二階連續(xù)可導(dǎo)，求證：

即結(jié)論成立。

當(dāng)函數(shù)有二階及以上的導(dǎo)數(shù)時(shí)，通常利用帶Lagrange余項(xiàng)的Taylor展開式表示此函數(shù)，由于導(dǎo)函數(shù)具有介值性，所以也不需要導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，利用導(dǎo)函數(shù)的介值性處理中值點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值，從而能順利計(jì)算定積分。當(dāng)已知函數(shù)在一點(diǎn)一階可導(dǎo)時(shí)，通常根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)的定義將函數(shù)表示出來，只是要注意討論積分時(shí)區(qū)間的分割法，以及在不同的區(qū)間內(nèi)積分的不同處理方式，最后求出相應(yīng)的數(shù)列極限即可[6]。

3 結(jié) 語

在結(jié)論1和結(jié)論2中，當(dāng)積分區(qū)間為[，]，被積函數(shù)含有()時(shí)，極限值與()或()有關(guān)，由例1和例2可知。在學(xué)習(xí)中遇到類似的極限時(shí)，可以根據(jù)題中所給的條件，如某區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)性、可積性、連續(xù)性等條件，結(jié)合定積分的性質(zhì)、函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的可導(dǎo)性，去分析該類極限的問題。對(duì)于與定積分有關(guān)的極限問題，如果出現(xiàn)了一點(diǎn)的函數(shù)值，通常要將該函數(shù)值用相應(yīng)區(qū)間上的定積分形式表示出來，不僅便于討論，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美以及數(shù)學(xué)的分類思想。

[1]賀電鵬.極限求法的探討[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2017,26(2):44-51.

[2]李東方,謝小軍.泰勒公式在求極限中的應(yīng)用舉例[J].科技經(jīng)濟(jì)導(dǎo)刊,2018,26(19):175.

[3]李金媛.求數(shù)列極限的幾種常用方法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2018(18):6.

[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析:上冊(cè)[M].4版.北京:高等教育出版社,2010:57-64,130-136.

[5]胡麗平.含有積分式的函數(shù)的極限[J].天中學(xué)刊,2008(5):116-117.

[6]楊學(xué)鳳,鄧秋芳,徐惇儒,等.一類與定積分有關(guān)的數(shù)列極限問題[J].課程教育研究,2020(8):227.

O172.2

A

1673-2219（2021）05-0003-04

2020-07-07

湖南省自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（2019JJ40089）；湖南科技學(xué)院應(yīng)用特色學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目(數(shù)學(xué))；湖南科技學(xué)院校級(jí)一流線下課程建設(shè)項(xiàng)目。

趙艷輝（1969－），女，湖南益陽人，碩士，教授，研究方向?yàn)槎鄰?fù)變函數(shù)論。

（責(zé)任編校：宮彥軍）