用好回歸原點策略 打造靈動數(shù)學(xué)課堂
——以“一類含參數(shù)不等式恒成立問題”為例

江蘇 郭建華 于 健

一、問題的背景

考試時學(xué)生面對較難的試題，有的怕耽誤時間就會選擇放棄，或者選擇暫時“放棄”，而回頭又沒時間做；有的因產(chǎn)生恐懼心理或者不自信，會直接選擇放棄；有的因解題方案選擇不佳，耗時太長，便會得不償失；有的總想尋找解題的捷徑，喜歡“套路”題，問題稍加變化，便束手無策，以失敗告終……

教學(xué)中有的教師依然存在重教輕學(xué)，重結(jié)果輕過程的現(xiàn)象；對于較難的試題，有的教師會因大部分學(xué)生不會做，覺得講了也白講，選擇放棄講評；有的教師為了趕教學(xué)進度，便會直接拋給學(xué)生很多“秒殺”的技巧，不肯花時間挖掘技巧背后的“秘密”……

上述學(xué)生和教師對處理較難試題所表現(xiàn)出來的態(tài)度和做法，應(yīng)值得我們反思.為了追求解題和解題教學(xué)的“長期利益”，教師應(yīng)該加強對解題的深入研究并探索有效的教學(xué)策略.教學(xué)要始終以發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)為導(dǎo)向，教師要理解學(xué)生、理解教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，啟發(fā)思考，增強學(xué)生戰(zhàn)勝困難的信心，不要輕易選擇“放棄”，促進學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，進而培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力.

二、回歸原點策略

華羅庚先生曾說過：學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅要善于“退”，足夠的“退”，“退”到原始而不失去重要性的地方.在解題和解題教學(xué)中要學(xué)會“退”(即“回歸”)，“退”回“原點”.“退回原點”即“回歸原點”，首先從“數(shù)學(xué)的原點”出發(fā)，以涉及的概念、定理、性質(zhì)等作為分析起點，思考教學(xué)；其次從“試題的原點”出發(fā)，在共性求解的基礎(chǔ)上具體分析，追求問題的“個性解”，找到解題的最優(yōu)路徑；最后經(jīng)過解題探索(無論成功與否)再回到原點，反思對相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解程度.通過這一系列環(huán)節(jié)，達到知識理解、技能熟練、思想方法感悟等方面的螺旋上升.

“回歸原點”準(zhǔn)確體現(xiàn)了解題的本質(zhì)，它對于解題具有啟發(fā)性，對于解題教學(xué)具有可操作性.“回歸原點”讓課堂充滿靈動，確保學(xué)生的主體地位，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，通過交流和反思，讓學(xué)生學(xué)會思考，掌握解題策略和方法.“回歸原點”不僅引導(dǎo)學(xué)生解決問題，而且對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地提供保障.

下面以“一類含參數(shù)不等式恒成立問題”為例，利用“回歸原點”策略進行解題教學(xué)的實踐與思考，以期與同行交流.

三、教學(xué)案例

【例1】若不等式(ax2+bx+1)ex≤1對一切x∈R恒成立，其中a,b∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則a+b的取值范圍是________.

本題研究的是一道含參數(shù)不等式的恒成立問題.它蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等，是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的較好素材.教學(xué)中應(yīng)用“回歸原點”策略引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)化“四基”，促進學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的不斷提升.

1.分析數(shù)學(xué)的原點，探尋題眼

先讓學(xué)生思考片刻，再與學(xué)生進行如下交流：

教師：求解本題會用到哪些數(shù)學(xué)知識?

眾生：不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、最值與極值.

教師：對于含參數(shù)的不等式恒成立問題，大家準(zhǔn)備從哪里作為突破口?

學(xué)生1：求函數(shù)f(x)=(ax2+bx+1)ex的最值.

教師：你準(zhǔn)備如何求解?

學(xué)生1：令f(x)=(ax2+bx+1)ex，則f(x)max≤1，發(fā)現(xiàn)f(0)=1，即f(x)max≤f(0)，f(x)在x=0處取得最大值，也是其極大值，所以f′(0)=0，求得b=-1，于是將問題轉(zhuǎn)化為求實數(shù)a的取值范圍.其求解過程如下：

由b=-1，得f′(x)=x(ax+2a-1)ex.

(1)當(dāng)a=0時，得f′(x)=-xex,f(x)=(1-x)ex，易證f(x)max=f(0)=1，即f(x)≤1對一切x∈R恒成立，此時a+b=-1.

綜上，可得a+b的取值范圍是(-∞,-1].

反思：并非所有的學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)f(x)在x=0處取得最大值(也是其極大值).教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回歸到該題所涉及的概念、定理、性質(zhì)等，作為分析、求解問題的起點.本題求解的關(guān)鍵是將最值與極值緊密聯(lián)系，確定b的值，從而把雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，降低問題的難度.

用這種方式求解取得成功實在令人欣慰，畢竟這是一道填空題.

2.審視試題的原點，優(yōu)化解法

在通法求解的基礎(chǔ)上，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考，回歸試題的結(jié)構(gòu)，探究新的解題思路.對于客觀題，通常提倡多思少算、小題巧做.

以上對參數(shù)a的分類討論較為煩瑣，總給人以“殺雞用牛刀”的感覺.

教師：對一個形式較為復(fù)雜的函數(shù)，我們一般如何處理?

學(xué)生2：通常采取對“整體”進行“分割”的方式處理，即先把它轉(zhuǎn)化為兩個常見的函數(shù)，再結(jié)合兩個函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行求解.由b=-1，得(ax2-x+1)ex≤1對一切x∈R恒成立，即ax2-x+1≤e-x對一切x∈R恒成立，易證e-x≥-x+1，所以ax2-x+1≤-x+1對一切x∈R恒成立，即ax2≤0對一切x∈R恒成立，由x2≥0，得a≤0，所以a+b≤-1，故a+b的取值范圍為(-∞,-1].

學(xué)生對上述解法很驚嘆，而后又眉頭緊皺，好像對上述解法有不解之處.

讓學(xué)生思考片刻，筆者繼續(xù)與學(xué)生交流.

教師：大家還有什么疑問和想法，請說說看.

學(xué)生3：曲線y=e-x的切線有無數(shù)條，為什么要選擇直線y=-x+1呢?

教師：我也有這個疑問，估計其中必有“玄機”.

學(xué)生4：是巧合吧?

學(xué)生5：不是巧合，應(yīng)該是曲線y=ax2-x+1,y=-x+1,y=e-x之間存在一定的內(nèi)在聯(lián)系.

教師：是嗎?會有什么聯(lián)系呢?

……

學(xué)生善于思考、敢于質(zhì)疑、嚴(yán)謹(jǐn)求實的精神值得表揚.

對好的探究機會，稍作停頓，讓學(xué)生獨立思考、動手實踐、自主探索、分組交流，發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力.

不一會兒，有的小組示意要發(fā)言.

(教師再借助于數(shù)學(xué)軟件geogebra動態(tài)演示，當(dāng)改變a的取值時，觀察函數(shù)圖象的變化情況，驗證學(xué)生6的想法.)

反思：要想找到更優(yōu)的解法，就要打破原有的認知，重新回歸試題的原點，即,它是一道什么類型的題，涉及了哪些參數(shù)，試題的結(jié)構(gòu)是否熟悉，能否用已有的知識和方法解決它等.利用數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，把陌生的情境轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，再結(jié)合geogebra軟件給予直觀的分析，增強學(xué)生對問題本質(zhì)的理解和掌握.

3.回歸基本的原理，正本清源

教師：數(shù)形結(jié)合是求解問題的理想方法，大家還有什么疑問嗎?

學(xué)生7：老師，切線y=-x+1為什么一定在函數(shù)h(x)圖象的下方(切點除外)?

教師：同學(xué)們能給予解釋嗎?

學(xué)生8：對于熟悉的函數(shù)圖象可以觀察出來，也可以構(gòu)造新函數(shù)φ(x)=e-x-(-x+1)，證明φ(x)≥0恒成立.

教師：很好，這種方法我們很熟悉.大家還有別的解釋嗎?

大家又回到函數(shù)的圖象上，看看能否有新的發(fā)現(xiàn)，過了一會，還是沒有找到答案，教師繼續(xù)拋出問題讓學(xué)生們思考.

學(xué)生各自動手畫圖，老師巡視.

教師：你們有什么發(fā)現(xiàn)，請說說看?

學(xué)生9：除了函數(shù)y=x3，其它的幾個函數(shù)圖象都在它切線的同一側(cè).

大家頻頻點頭，表示同意.

教師：既然大家都同意這個觀點，那么能否給予嚴(yán)格的說明?

大家面面相覷，看來這個問題很難回答，教師繼續(xù)給予補充.

教師：其實，這是函數(shù)的“凸凹性”所致.下面我們一起來學(xué)習(xí)一下函數(shù)的凸凹性.

學(xué)生已經(jīng)熟悉指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，為了更易于理解函數(shù)的凸凹性，分別給出兩道習(xí)題.

提出以下問題，供學(xué)生討論，讓學(xué)生初步感受函數(shù)的凸凹性.

問題1：分析兩個函數(shù)圖象，它們各自具有什么特征，存在哪些不同之處?

問題2：能否用幾何語言刻畫它們所具有的特征?

通過討論，借助于geogebra動態(tài)演示，引導(dǎo)學(xué)生歸納出如下結(jié)論：

(1)曲線f(x)=2x上任意兩點的弧段總在這兩點連線的下方；

(2)曲線f(x)=lgx上任意兩點的弧段總在這兩點連線的上方.

我們把具有前一種特征的曲線稱為凹的，相應(yīng)的函數(shù)稱為凹函數(shù)；后一種稱為凸的，相應(yīng)的函數(shù)稱為凸函數(shù).

下面，給出凸凹函數(shù)的定義以及相關(guān)定理.

定義：設(shè)f(x)為定義在區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)，若對I上的任意兩點x1,x2和任意實數(shù)λ∈(0,1)，總有f(λx1+(1-λ)x2)≤(≥)λf(x1)+(1-λ)f(x2)，則稱f(x)為I上的凹(凸)函數(shù).

定理1：設(shè)f(x)為區(qū)間I上連續(xù)，且有一階和二階導(dǎo)數(shù)，則在I上f(x)為凸(凹)函數(shù)的充要條件是f″(x)≤0(f″(x)≥0)，x∈I.

定理2：設(shè)f(x)為區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù)，則下列論斷互相等價.

(1)f(x)為I上的凸(凹)函數(shù)；

(2)f′(x)為I上的增(減)函數(shù)；

(3)對于I上的任意兩點x1,x2，有f(x2)≥(≤)f(x1)+f′(x)(x2-x1).

注意：如圖，論斷(3)的幾何意義：曲線y=f(x)總是在它的任一切線的上方(下方).

學(xué)生10：哦，我明白了.由f″(x)=e-x>0，得f(x)在(-∞,+∞)上為凹函數(shù)，由論斷(3)知其切線y=-x+1一定在函數(shù)f(x)圖象的下方(切點除外)，找到公切線是求解該題的關(guān)鍵.

反思：對學(xué)生解題的指導(dǎo)，不能只局限于通性通法，還要鼓勵學(xué)生拓展思路，探尋新法.在問題解決的過程中“回歸原點”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題，探究命題的背景，讓解題達到“舉一反三”的效果.

4.選擇相似的題組，乘勝追擊

為了讓學(xué)生體會凹凸性在解題中的應(yīng)用，將探究活動推向深入，選擇一道相似的題目進行鞏固訓(xùn)練.

【例2】設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex，當(dāng)x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

教師：大家對比一下兩道題，看看有哪些異同點?

學(xué)生11：從結(jié)構(gòu)上看兩道題相似，考查的知識點也相同，然而例2是一道解答題，不可以用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

學(xué)生12：可以先借助于“形”的直觀得到答案，再做進一步的推理.

教師：這是一個很不錯的想法，能否快速得到答案呢?

學(xué)生13：經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，左邊是一個定函數(shù)，右邊是一個過定點的動直線，而且函數(shù)的圖象與直線具有公共的端點.我的想法是f′(x)=(-x2-2x+1)ex，f″(x)=(-x2-4x-1)ex<0(x≥0)，所以當(dāng)x≥0時，f(x)為凸函數(shù)，如圖，令g(x)=ax+1，則f(0)=g(0)=1，因此，只要g′(0)≥f′(0)，即a≥1.

(看到學(xué)生13很快得到結(jié)果，其他同學(xué)投來贊許的目光.)

教師：你能解釋一下你的想法嗎?

學(xué)生13：在區(qū)間[0,+∞)上，兩個函數(shù)具有公共的起點A，如圖，當(dāng)x∈R時，曲線f(x)在點A處的切線方程為h(x)=x+1，由于函數(shù)f(x)在[0,+∞)上為凸函數(shù)，根據(jù)定理2的論斷(3)，易知當(dāng)x≥0時，切線h(x)=x+1恒在函數(shù)f(x)圖象的上方(公共點除外)，因此，只要直線g(x)=ax+1恒在直線h(x)=x+1的上方或與其重合即可，故a≥1.

教室里自發(fā)地響起掌聲，大家都表示贊同.

趁著這個探究的熱度，繼續(xù)提供以下兩道試題供學(xué)生分組強化訓(xùn)練，以鞏固學(xué)習(xí)成果.

(1)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-e-x，對所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范圍.

(2)已知函數(shù)f(x)=(x2-ax+1)ex(a≥0)，若對于x∈[0,1]，f(x)≥1恒成立，求a的取值范圍.

教師：由于函數(shù)的凹凸性，在例2中才保障了利用條件g′(0)≥f′(0)求得結(jié)果的正確性.通過對以上題目的分析和求解，我們能否歸納一下利用函數(shù)凸凹性求解這一類含參數(shù)不等式的基本模型.

停頓，讓學(xué)生思考、分析、討論和提煉.得到如下結(jié)論：

已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)具有凹凸性，g(x)=ax+b(a,b是可同時為0的常數(shù)).

(1)當(dāng)f(x)≥g(x)在區(qū)間[a,b]恒成立，若f(a)=g(a)，則f′(a)≥g′(a)；若f(b)=g(b)，則f′(a)≤g′(a).

(2)當(dāng)f(x)≤g(x)在區(qū)間[a,b]恒成立，若f(a)=g(a)，則f′(a)≤g′(a)；若f(b)=g(b)，則f′(a)≥g′(a).

通過對結(jié)論的提煉和歸納，學(xué)生格外開心，消除了對類似問題的敵對或者恐懼感.

教師：我們再回到習(xí)題2，如何說明a<1不成立呢?對于解答題，還要做到推理的嚴(yán)謹(jǐn)和書寫的規(guī)范.請大家思考并完成.

學(xué)生14：(2)當(dāng)a≥1時，令h(x)=f(x)-ax-1=(1-x2)ex-ax-1(x>0)，則h′(x)=(-x2-2x+1)ex-a，h″(x)=(-x2-4x-1)ex<0，于是h′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，故h′(x)≤h′(0)=1-a≤0(h′(x)不恒為0)，即h(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，因此，h(x)≤h(0)=0，即f(x)≤ax+1，滿足題意；當(dāng)a<1時，h′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，h′(0)=1-a>0，且存在x0，使得h′(x0)=0，當(dāng)x∈(0,x0)時，h′(x)>0，則h(x)在(0,x0)單調(diào)遞增，故h(x)>h(0)=0，即f(x)>ax+1，與題意矛盾，故舍去，所以實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞).

反思：借助函數(shù)的凹凸性分析和求解上述類型的問題，可以迅速、準(zhǔn)確找到代數(shù)推理過程中的分類討論的分界點，從而大大降低了思維的難度，縮短了思維的時間，提高了解題的效益，同時也增強了學(xué)生求解這一類較難試題的信心.

四、結(jié)束語