多種解題視角下的別樣精彩
——品味2021年浙江高考填空壓軸題

浙江 尹 健 沈 恒

平面向量是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是浙江高考填空題中的“最高峰”．對(duì)于如此重要的一道題，筆者在這里先提出三個(gè)問(wèn)題：第一，如何有效地解答高考真題中的平面向量試題？第二，命題專(zhuān)家在出題時(shí)怎么考查平面向量的知識(shí)點(diǎn)與其他內(nèi)容的綜合性？第三，根據(jù)試題的導(dǎo)向，我們的教學(xué)該怎么調(diào)整？筆者以為，每一年高考試題都會(huì)帶給一線教師值得回味之處．在剛剛結(jié)束的2021高考中，浙江卷平面向量樸實(shí)無(wú)華，在容易上手的同時(shí)又能凸顯學(xué)生的能力，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)又重視能力，較好的區(qū)分了學(xué)生的水平和層次，值得一線教學(xué)深思．

1.問(wèn)題

(2021·浙江卷·17)已知平面向量a，b，c(c≠0)，滿足|a|=1，|b|=2，a·b=0，(a-b)·c=0，記平面向量d在a，b方向上的投影分別為x，y，d-a在c方向上的投影為z，則x2+y2+z2的最小值為．

分析：本題涉及四個(gè)向量，三個(gè)參數(shù)，第一眼看上去非常復(fù)雜，但根據(jù)平面向量基本定理，四個(gè)向量都可以用a，b作為基底表示，而由a，b的垂直關(guān)系可以借助坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，三個(gè)參數(shù)之間也有一些聯(lián)系，從而達(dá)到消參的目的，但是始終會(huì)剩下兩個(gè)無(wú)關(guān)變量x，y，接下來(lái)該怎么處理呢？對(duì)于含有兩個(gè)變量的最值問(wèn)題，一種方法可以先固定一個(gè)變量x或y，將其看成常數(shù)，借助函數(shù)的方法來(lái)解決；另一種方法是借助不等式來(lái)統(tǒng)一解決；由于向量本身具有幾何意義，所以本題也可以從幾何圖形的視角入手，這里從條件提供的向量關(guān)系來(lái)作出圖象，即投影的概念，那么所涉及的參數(shù)也可以賦予幾何意義，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，直至解決．可以這么說(shuō)，今年浙江卷平面幾何試題的命制入口較寬，方法較多，計(jì)算較簡(jiǎn)潔，具有濃烈的浙江特色．下面我們先來(lái)看看多種常用解法.

2.解法

說(shuō)明：坐標(biāo)法是平面向量中常用的方法，也是學(xué)生在考試中最優(yōu)先選擇的方式，因此學(xué)生突破本題時(shí)，最容易想到的正是此方法．而且由于題目給出|a|=1，|b|=2，a·b=0，所以非常容易建立坐標(biāo)系，之后的c，d等向量都可以用坐標(biāo)表示出來(lái)，根據(jù)投影的概念，z也可以用x，y表示出來(lái)，到這一步為止，對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)都可以完成．但是接下來(lái)，x2+y2+z2即使代入消去z，表達(dá)式中仍有x，y兩個(gè)變量，這兩個(gè)變量沒(méi)有任何相互關(guān)系，所以無(wú)法利用代入消元法．通過(guò)進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，我們可以選用逐個(gè)擊破的方式，先將y看成常數(shù)，表達(dá)式看成關(guān)于x的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的最小值消去x，這樣一來(lái)，表達(dá)式就變成關(guān)于y的二次函數(shù)，最后就可以直接求出此二次函數(shù)的最小值．此方法消去的參數(shù)是x，那么能不能消去y呢？當(dāng)然是可以的，具體解法如下.

說(shuō)明：本解法與解法一類(lèi)似，只是消去的參數(shù)不同，所以重復(fù)的地方不再贅述．上述兩種方法，都是學(xué)生在考試時(shí)容易想到的方法，操作起來(lái)也具有時(shí)效性．但是．由于上述兩種方法都不可避免地要消去x，y其中的一個(gè)，所以步驟較多，計(jì)算量較大，消耗的時(shí)間較多．那么如何不用消參，可以更加高效地解決問(wèn)題呢？我們可以借助不等式．

說(shuō)明：有關(guān)兩變量的最值問(wèn)題，不等式是一種比較快捷、實(shí)用的方法．而此方法使用的是柯西不等式，通過(guò)比較可以發(fā)現(xiàn)，此方法比前兩種方法的計(jì)算要少，在得到表達(dá)式后只需一步即可求出最終答案，筆者在寫(xiě)的時(shí)候?qū)⑦@最后一步拆成多個(gè)步驟的目的主要是為了閱讀時(shí)更加清晰，在實(shí)際考試時(shí)，只要列一個(gè)柯西不等式即可得出答案．然而，柯西不等式這個(gè)內(nèi)容本身對(duì)學(xué)生的水平要求較高，而且在等式變形的時(shí)候配方也是一個(gè)不小的難點(diǎn)，所以雖然計(jì)算簡(jiǎn)化了，但思維的要求卻提高了．而且此方法只是簡(jiǎn)化了后半程的計(jì)算，前半程還是和前兩種方法一致，這就是坐標(biāo)法的弊端，一定會(huì)有比較復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程．為了克服這種弊端，我們需要拋棄坐標(biāo)，利用平面向量的幾何性質(zhì)．

解法四(幾何法1)：

說(shuō)明：可以看到，當(dāng)我們將向量的幾何性質(zhì)與代數(shù)性質(zhì)結(jié)合得到圖象之后，題目涉及的參數(shù)也被賦予了幾何意義，從一開(kāi)始減少了變量，后續(xù)的運(yùn)算也簡(jiǎn)單了，有效地提高了解題效率．雖然將變量改為|d|與θ比前三種方法要簡(jiǎn)潔，但是我們發(fā)現(xiàn)最后還是繞不開(kāi)雙變量問(wèn)題，這并沒(méi)有解決本題最核心的難點(diǎn)，所以接下來(lái)我們繼續(xù)將此方法優(yōu)化，尋找單一變量．

解法五(幾何法2)：

說(shuō)明：比較解法四與解法五，我們發(fā)現(xiàn)如果進(jìn)一步去理解圖形，那么從一開(kāi)始我們就可以將參數(shù)減少到最少，直接變成一個(gè)單一變量的二次函數(shù)最值問(wèn)題，這樣一來(lái)，我們只需要花費(fèi)前幾種方法一半的時(shí)間，就可以解決此題．因此我們深深地認(rèn)識(shí)到，平面向量具有代數(shù)和幾何的雙重身份，將兩者結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題，往往是解題的最佳方案．

3.對(duì)比

命題組對(duì)試題的命制考慮周全，解決問(wèn)題的切入口是開(kāi)闊的．這就凸顯了高考真題以通性通法為基本依據(jù)的特性，透過(guò)本題思考高三的平面向量復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)該怎么做呢？讓我們從上述常規(guī)的解法中來(lái)判斷、辨別和思考(如下表)：

解法1解法2解法3解法4解法5優(yōu)點(diǎn)容易上手,坐標(biāo)法結(jié)合函數(shù)是學(xué)生在考試時(shí)最喜歡使用的方法,大部分學(xué)生均能沿著這一思路走下去與解法1大致相同不等式法能夠取代函數(shù)法來(lái)解決最值問(wèn)題,并且運(yùn)算量要少于函數(shù)法消參的過(guò)程更加簡(jiǎn)潔,運(yùn)算量更小,解決了坐標(biāo)法的弊端消參過(guò)程很徹底,運(yùn)算量小,比解法4更加高效缺點(diǎn)步驟較多,運(yùn)算量大,消參過(guò)程極為煩瑣,多數(shù)學(xué)生面對(duì)雙變量問(wèn)題無(wú)從下手與解法1大致相同對(duì)學(xué)生的能力要求較高,并且不能從根本上解決坐標(biāo)法的弊端盡管減少了參數(shù),但依舊有一定的計(jì)算量,仍然是雙變量的問(wèn)題需要對(duì)向量的幾何性質(zhì)有較好地掌握,并且能夠準(zhǔn)確深入地分析圖形,對(duì)學(xué)生的思維要求很高

續(xù)表

4.建議

學(xué)生非常熟悉平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)，但是大部分學(xué)生在面臨平面向量難題的時(shí)候往往不能通曉其究竟，筆者將其歸結(jié)為三種癥結(jié)：

癥結(jié)建坐標(biāo)系“一知半解”多個(gè)變量“望而生畏”幾何性質(zhì)“置若罔聞”學(xué)生對(duì)于坐標(biāo)法是非常熟悉的,而且浙江卷近年高考真題都可以用坐標(biāo)來(lái)做.然而坐標(biāo)法雖然容易上手卻運(yùn)算煩瑣,這里涉及函數(shù)、不等式、變形等一系列其他內(nèi)容的基本功,導(dǎo)致很多學(xué)生坐標(biāo)算到一半,就不知所措了對(duì)于向量中的最值問(wèn)題,尤其是當(dāng)向量位于17題位置時(shí),涉及的變量往往不止一個(gè),而很多學(xué)生對(duì)于單一變量都不能完整掌握,那么對(duì)于多個(gè)變量,就更加無(wú)從下手,一看不會(huì),馬上就放棄了從向量最初的教學(xué)開(kāi)始,必定會(huì)強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì),但是很多學(xué)生不愿意花時(shí)間思考,只知道動(dòng)筆算,經(jīng)常把向量問(wèn)題當(dāng)成純粹的代數(shù)問(wèn)題,對(duì)于幾何性質(zhì)用的很少教學(xué)建議解決“一知半解”,要加強(qiáng)學(xué)生的基本功,向量是考小題的,只會(huì)建系但是得不出最后的答案,還是沒(méi)有分的,向量往往會(huì)和其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái),所以教師應(yīng)該提前做好教學(xué)布局,對(duì)于向量解題過(guò)程每一個(gè)環(huán)節(jié)都要有細(xì)致的講解,并且要給學(xué)生專(zhuān)項(xiàng)的訓(xùn)練,讓學(xué)生融會(huì)貫通解決“望而生畏”,首先要加強(qiáng)學(xué)生的自信心,讓學(xué)生看到題目不會(huì)害怕,所以在平時(shí)的教學(xué)中盡量講容易想到且適用于大部分學(xué)生的方法,另一方面還要培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的研究精神,讓學(xué)生看到難題之后產(chǎn)生興趣而不是失去興趣解決“置若罔聞”,這實(shí)際上對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高,主要依靠在課后的單獨(dú)輔導(dǎo),在學(xué)生掌握坐標(biāo)等代數(shù)方法后,要向?qū)W生傳達(dá)幾何性質(zhì)的優(yōu)越性,引導(dǎo)學(xué)生向這方面思考