一題一課落素養(yǎng) 深度教學(xué)顯神通
——一類二元二次型條件下函數(shù)最值問題的解法探究

甘肅 張 科 朱軍平

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》頒布，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)愈發(fā)為教師所重視，但在實(shí)踐層面上還需要更有效的探索，筆者在教學(xué)實(shí)踐中基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)開展深度教學(xué)研究.二次型條件下的最值問題是高中數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題，各類數(shù)學(xué)考試、高校自主招生和數(shù)學(xué)競(jìng)賽都會(huì)涉及二元二次條件下的最值問題，通?？捎脫Q元法進(jìn)行求解，用三角替換或是整體替換，怎樣換元，這是學(xué)生求解過程中的難點(diǎn)！如何讓學(xué)生能夠“以不變應(yīng)萬變”解答問題，并形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的技能？本文在高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下，利用拉格朗日乘數(shù)法在二次條件下，對(duì)函數(shù)z=f(x，y)的最值進(jìn)行了規(guī)范解答與推廣應(yīng)用，有利于高效解決此類問題.

1.試題呈現(xiàn)與解法探究

【試題再現(xiàn)】已知實(shí)數(shù)x，y滿足5x2-y2-4xy=5，則2x2+y2的最小值是

( )

【命題意圖】本題是一道二次型條件下的最值問題，意在考查學(xué)生對(duì)二次型最值問題的基本解題思路與消元的解題策略掌握情況.

“換元法”是高中階段學(xué)生常用的解決此類問題的方法，但是這種方法操作起來并不容易，那么除了“換元法”之外，是否還有其它方法可以解決此類問題?

如果將此問題從二元函數(shù)的角度去分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)此類問題的高等數(shù)學(xué)背景和本質(zhì)，其實(shí)就是多元函數(shù)條件極值、最值問題.令f(x，y)=2x2+y2，φ(x，y)=5x2-y2-4xy-5，則原問題可轉(zhuǎn)化為在條件φ(x，y)=0下，求函數(shù)z=f(x，y)的最小值.下面介紹“拉格朗日乘數(shù)法”，一種利用高等數(shù)學(xué)知識(shí)求解二元二次代數(shù)式的最值的方法.

由于上述解法三與前述換元法比較，更加簡(jiǎn)便、高效，且具有“以不變應(yīng)萬變”的解題功能，所以在高中階段把這一方法介紹給學(xué)生，特別是尖子生是可行的，也是值得推廣的.

2.變式探究

變式一：已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值為

( )

A.3 B.4

變式二：若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值為________.

評(píng)析：以上兩道變式題，利用常規(guī)解法具有較強(qiáng)的技巧性，其中變式一對(duì)變形能力要求較高，變式二關(guān)鍵在于構(gòu)建不等式；而創(chuàng)新解法中，只需要按部就班地運(yùn)用“拉格朗日乘數(shù)法”即可順利獲解.

3.考題鏈接

題1.若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是

( )

C.5 D.6

題2.實(shí)數(shù)x，y滿足2x2+3y2=6y，則x+y的最大值是________.

評(píng)析：以上兩道考題，利用常規(guī)解法求解時(shí)需要明確解題方向，其中題1靈活借用了“1”的特性和基本不等式，題2靈活運(yùn)用了三角換元和相關(guān)三角函數(shù)知識(shí)；而創(chuàng)新解法中，只需要按部就班地運(yùn)用“拉格朗日乘數(shù)法”即可順利獲解.

4.推廣引申

這類問題在圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)中也比較常見，現(xiàn)將此類問題引申到圓錐曲線類似的最值問題中.

【例2】雙曲線x2-4y2=4(x≥2)上是否存在一點(diǎn)到直線y=3x的最短距離，若存在，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析：雙曲線x2-4y2=4(x≥2)上存在一點(diǎn)到直線y=3x的距離最短，理由如下：

【例3】在拋物線y2=4x上求一點(diǎn)，使得其到直線x+y+4=0的距離最小.

評(píng)析：一般地，處理橢圓、雙曲線、拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到一條定直線的距離的最值問題，均可靈活運(yùn)用本文介紹的“拉格朗日乘數(shù)法”加以求解.

5.反思感悟

綜上，在二元二次型條件下，利用“拉格朗日乘數(shù)法”可順利求解目標(biāo)函數(shù)z=f(x，y)的最值問題.具體解題時(shí)，需要先構(gòu)建構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x，y)=f(x，y)+λφ(x，y)，其中附加條件為φ(x，y)=0；再通過求導(dǎo)構(gòu)建方程組，然后解方程組即得最值情境，進(jìn)而破解目標(biāo)問題.

在今后的高考復(fù)習(xí)備考中我們要善于通過一題多解的形式，探究發(fā)現(xiàn)具有一般性的解法，即解題通法，其優(yōu)點(diǎn)是解題步驟程序化，極易操作，從而便于迅速解決問題.