雙變量問題中的存在性與任意性

甘肅 張建文

雙變量問題一直是考查和訓(xùn)練學(xué)生推理論證和運(yùn)算求解能力的主要素材,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)和檢測中具有重要的作用,是命題者設(shè)置試卷難度系數(shù)的主要研究對(duì)象.雙變量問題主要是指兩個(gè)變量,各自有取值范圍，在滿足某種條件的情況下求解參數(shù)取值范圍的問題.就滿足的條件而言,一般滿足某種等式或不等式；就問題類型而言，分為存在性問題和任意性問題.本文主要分兩個(gè)方面說明雙變量問題：第一，不等式中的存在性與任意性問題論述，重點(diǎn)分類說明不同情形下等號(hào)成立的條件和對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值；第二，等式當(dāng)中的存在性與任意性問題論述.在此基礎(chǔ)上，舉例解釋這種問題模式的解答方法和使用特點(diǎn),以及在教學(xué)中的注意事項(xiàng)等.下面筆者簡要論述雙變量問題的常見模型和解答策略.

1.不等式類型：設(shè)不等式為f(x1)≥g(x2)或f(x1)>g(x2),此不等式為含參不等式

1.1兩個(gè)均為“任意”型

1.1.1?x1∈M,?x2∈N,均有f(x1)≥g(x2)

(1)當(dāng)f(x)有最小值,g(x)有最大值時(shí),原不等式等價(jià)于f(x)min≥g(x)max；

(2)當(dāng)f(x)有最小值,g(x)無最大值時(shí),原不等式等價(jià)于f(x)min≥supg(x)；

(3)當(dāng)f(x)無最小值,g(x)有最大值時(shí),原不等式等價(jià)于inff(x)≥g(x)max；

(4)當(dāng)f(x)無最小值,g(x)無最大值時(shí),原不等式等價(jià)于inff(x)≥supg(x).

1.1.2?x1∈M,?x2∈N,均有f(x1)>g(x2)

(1)當(dāng)f(x)有最小值,g(x)有最大值時(shí),原不等式等價(jià)于f(x)min>g(x)max；

(2)當(dāng)f(x)無最小值,g(x)有最大值時(shí),原不等式等價(jià)于inff(x)≥g(x)max；

(3)當(dāng)f(x)有最小值,g(x)無最大值時(shí),原不等式等價(jià)于f(x)min≥supg(x)；

(4)當(dāng)f(x)無最小值,g(x)無最大值時(shí),原不等式等價(jià)于inff(x)≥supg(x).

1.2兩個(gè)均為“存在”型

1.2.1?x1∈M,?x2∈N,使得f(x1)≥g(x2)

(1)當(dāng)f(x)有最大值,g(x)有最小值時(shí),原不等式等價(jià)于f(x)max≥g(x)min；

(2)當(dāng)f(x)有最大值,g(x)無最小值時(shí),原不等式等價(jià)于f(x)max>infg(x)；

(3)當(dāng)f(x)無最大值,g(x)有最小值時(shí),原不等式等價(jià)于supf(x)>g(x)min；

(4)當(dāng)f(x)無最大值,g(x)無最小值時(shí),原不等式等價(jià)于supf(x)>infg(x).

1.2.2?x1∈M,?x2∈N,使得f(x1)>g(x2)

(1)當(dāng)f(x)有最大值,g(x)有最小值時(shí),原不等式等價(jià)于f(x)max>g(x)min；

(2)當(dāng)f(x)有最大值,g(x)無最小值時(shí),原不等式等價(jià)于f(x)max>infg(x)；

(3)當(dāng)f(x)無最大值,g(x)有最小值時(shí),原不等式等價(jià)于supf(x)>g(x)min；

(4)當(dāng)f(x)無最大值,g(x)無最小值時(shí),原不等式等價(jià)于supf(x)>infg(x).

1.3一個(gè)“存在”與一個(gè)“任意”型

1.3.1?x1∈M,?x2∈N,使得f(x1)≥g(x2)

(1)當(dāng)f(x)有最小值,g(x)有最小值時(shí),原不等式等價(jià)于f(x)min≥g(x)min；

(2)當(dāng)f(x)有最小值,g(x)無最小值時(shí),原不等式等價(jià)于f(x)min>infg(x)；

(3)當(dāng)f(x)無最小值,g(x)有最小值時(shí),原不等式等價(jià)于inff(x)≥g(x)min；

(4)當(dāng)f(x)無最小值,g(x)無最小值時(shí),原不等式等價(jià)于inff(x)≥infg(x)；

1.3.2?x1∈M,?x2∈N,使得f(x1)>g(x2)

(1)當(dāng)f(x)有最小值,g(x)有最小值時(shí),原不等式等價(jià)于f(x)min>g(x)min；

(2)當(dāng)f(x)有最小值,g(x)無最小值時(shí),原不等式等價(jià)于f(x)min>infg(x)；

(3)當(dāng)f(x)無最小值,g(x)有最小值時(shí),原不等式等價(jià)于inff(x)≥g(x)min；

(4)當(dāng)f(x)無最小值,g(x)無最小值時(shí),原不等式等價(jià)于inff(x)>infg(x).

注意：在上述論述中,若函數(shù)f(x)或g(x)無最值,則f(x)或g(x)定有對(duì)應(yīng)的臨界值.且f(x)的定義域?yàn)镸,g(x)的定義域?yàn)镹.

2.等式類型：設(shè)等式為f(x1)=g(x2),此等式為含參等式

設(shè)y=f(x)的值域?yàn)锽1,設(shè)y=g(x)的值域?yàn)锽2.

(1)?x1∈M,?x2∈N,使得f(x1)=g(x2),則B1?B2,由此便可構(gòu)造不等式；

(2)?x1∈M,?唯一x2∈N,使得f(x1)=g(x2),則需要作圖分析g(x)的單調(diào)性和取值變化,設(shè)滿足方程g(x)=k只有一根的k的范圍為B3，有B1?B3;

(3)?x1∈M,?x2∈N,使得f(x1)=g(x2),則B1∩B2=?,由此便可構(gòu)造不等式.

注意：等式中的任意性和存在性問題通常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)值域之間的關(guān)系問題.其中y=f(x)的定義域?yàn)镸，y=g(x)的定義域?yàn)镹.

3.典例賞析

3.1任意性與存在性問題

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)m∈R,對(duì)于任意的a∈(-1,1)，總存在x0∈[1,e]，使得不等式ma-f(x0)<0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【分析】(1)略 (2)將不等式變形可得ma

【解】(1)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

(2)ma-f(x0)<0?ma

方法一：由于對(duì)任意的a∈(-1,1),總存在x0∈[1,e]，使得不等式g(a)

①當(dāng)m=0時(shí)，g(a)=0,滿足題意；

【小結(jié)與反思】方法一的思路與1.3.2一致,將求解的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值或確界問題,方法二最終轉(zhuǎn)化為單變量恒成立問題,點(diǎn)睛之處是避免了求解最值或確界,直接構(gòu)造不等式,這種創(chuàng)造性的解法來源于對(duì)函數(shù)結(jié)構(gòu)的清晰認(rèn)識(shí),對(duì)函數(shù)單調(diào)性的精準(zhǔn)把握.在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生多角度多層次觀察,在掌握常規(guī)解答方法的前提下嘗試其他解法.

3.2雙存在性問題

【例2】已知函數(shù)f(x)=(x+1)3e-x+1,g(x)=(x+1)2+a,若?x1,x2∈R,使得f(x2)≥g(x1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【分析】此題屬于雙存在性問題,需要求解f(x)的最大值和g(x)的最小值,通過構(gòu)造不等式可以得到a的取值范圍.

【解】f(x)=(x+1)3e-x+1,x∈R,

則f′(x)=(x+1)2(-x+2)e-x+1,

所以x∈(-∞,2),f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；x∈(2,+∞),f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.

當(dāng)x=-1時(shí),g(x)min=g(-1)=a.

由題意可知,f(x)max≥g(x)min，

【小結(jié)與反思】在教學(xué)中,教師關(guān)鍵要引導(dǎo)學(xué)生從整體視角出發(fā)，觀察不等式的結(jié)構(gòu),由此獲得需要求解的函數(shù)最值,之后再求解具體函數(shù)的最值，最后要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)整個(gè)解答流程進(jìn)行簡述，總結(jié)收獲，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)點(diǎn)和解題模式的理解和記憶.

3.3雙任意性問題

(1)求y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；

【分析】(1)根據(jù)切線方程可以求得m,n，進(jìn)而確定函數(shù)y=f(x)的解析式；(2)根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)特點(diǎn),需要求解f(x)的最小值和g(t)的最大值,最后構(gòu)造不等式就可以確定a的取值范圍.

由題意可知,f(x)min≥g(t)max即4+a2-4a≤1,解得a∈[1,3].

【小結(jié)與反思】此題的入手點(diǎn)在于對(duì)不等式中雙任意性的結(jié)構(gòu)性分析,將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的函數(shù)最值問題,解答模式與1.1.1完全一致.解答的思維分析過程可以簡單總結(jié)：確定函數(shù)解析式→求解函數(shù)f(x)最小值→求解函數(shù)g(t)最大值→構(gòu)造不等式→得到結(jié)果.在實(shí)際教學(xué)中,教師一定要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的學(xué)習(xí)總結(jié)和自我評(píng)價(jià),幫助學(xué)生內(nèi)化知識(shí).

3.4等式中的唯一存在性問題

( )

A.[1,e] B.(1,e]

【分析】關(guān)于唯一存在性問題,需要通過構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性來確定取值范圍.對(duì)于原等式,通過化簡可以構(gòu)造兩個(gè)不同的函數(shù),我們可以構(gòu)造函數(shù)f(x)=-x+a和g(x)=x2ex,獲得f(x)的值域和g(x)簡圖,從而構(gòu)造不等式得到結(jié)果.

令f(x)=-x+a,x∈[0,1],

所以f(x)的值域?yàn)镸=[-1+a,a].

令g(x)=x2ex，x∈[-1,1].

所以g′(x)=2xex+x2ex=ex(x+2)x,

令g′(x)=0可得x=0,

x∈[-1,0),g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；

x∈(0,1],g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.

g(1)=e,

即a∈[1,e].

【解】根據(jù)g(x)的簡圖可知,-1+a>e或a<0,即a∈(-∞，0)∪(1+e，+∞).

【小結(jié)與反思】通過對(duì)唯一存在性問題的分析,我們可以有以下收獲：①等式當(dāng)中的任意性與存在性問題是通過求解函數(shù)值域，進(jìn)而根據(jù)值域的包含關(guān)系構(gòu)造不等式來解決的；②在唯一存在性問題中,需要作圖分析函數(shù)圖象的變化來確定唯一的取值范圍.在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從整體視角和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行思考；③對(duì)題目中的條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q得到新的變式題目再進(jìn)行解答，使得學(xué)生能夠?qū)Υ酥R(shí)點(diǎn)深入理解．

3.5等式中的任意性與存在性問題

【分析】先從整體角度分析,對(duì)任意的f(x1)，均有g(shù)(x0)與之相等,可知g(x0)的取值范圍包含f(x1)的取值范圍,由此我們可以先求得f(x1)與g(x0)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的值域,根據(jù)值域的包含關(guān)系構(gòu)造不等式來求解a的取值范圍.

當(dāng)a≤-1，g(x)=x3-3a2x-4a,x∈[0,1],

則有g(shù)′(x)=3x2-3a2=3(x2-a2)<0，

所以g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,即g(x)max=g(0)=-4a,g(x)min=g(1)=1-3a2-4a,g(x)值域?yàn)閇1-3a2-4a,-4a].

【小結(jié)與反思】題目結(jié)構(gòu)清晰，意圖明顯，是常規(guī)題目,主要考查和訓(xùn)練學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).題目入手點(diǎn)在于對(duì)等式結(jié)構(gòu)的清晰認(rèn)識(shí),從整體視角分析f(x1)與g(x0)值域的包含關(guān)系.在教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生分析變量的位置特點(diǎn)和相互關(guān)系，理解等式和不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),這樣能夠提升學(xué)生分析問題的高度，增加學(xué)生思維量，促進(jìn)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

3.6含有多變量的存在性與任意性問題

(1)當(dāng)a≥0時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；

【分析】(1)略；(2)不等式中存在四個(gè)變量，是存在性與任意性共存的問題，整體來看是存在性問題，轉(zhuǎn)化之后就是任意性問題.解答過程需要分清變量的位置和變量之間的相互關(guān)系,從整體視角來分析解答思路.

所以f(x)max=f(1)=1+2a,

當(dāng)t∈(2,e2)時(shí)，h′(t)>0,h(t)單調(diào)遞增；

當(dāng)t∈(e2,8)時(shí)，h′(t)<0,h(t)單調(diào)遞減.

【小結(jié)與反思】問題解答的入手點(diǎn)在于分析變量之間的關(guān)系,觀察等式結(jié)構(gòu).原不等式當(dāng)中變量x1,x2都在不等號(hào)左側(cè),其余變量在不等號(hào)右側(cè)，這樣就可以直接將原問題轉(zhuǎn)化為任意性問題,當(dāng)然|f(x1)-f(x2)|的最大值求解需要轉(zhuǎn)化為f(x)的最值問題.這對(duì)于訓(xùn)練和考查學(xué)生的整體性思維和結(jié)構(gòu)性思維具有極大的作用.

4.總結(jié)與展望