一種改進的壓縮采樣匹配追蹤算法

雷 芳，方澤圣，徐勇軍，秦 紅，呂京昭

(重慶郵電大學 通信與信息工程學院，重慶 400065)

0 引 言

多輸入多輸出(Multi-Input Multi-Output，MIMO)技術(shù)通過增加天線數(shù)目帶來了較高的頻譜效率[1]。在結(jié)合正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，信道參數(shù)的增加為信道估計帶來了挑戰(zhàn)。線性最小均方誤差(Linear Minimum Mean Square Error，LMMSE)算法因其復雜度適中和良好的估計性能被廣泛用于無線通信系統(tǒng)中。在稀疏信道下獲得良好的估計性能至關(guān)重要, 但在大規(guī)模MIMO稀疏信道中使用LMMSE算法難以獲得較好性能。

傳統(tǒng)信道估計算法，如最小二乘 (Least Squares，LS)和最小均方誤差(Minimum Mean Square Error, MMSE)算法，必須基于經(jīng)典的香農(nóng)采樣理論[2]并事先獲得信道統(tǒng)計特性，這將導致頻譜資源利用率的減少。文獻[3]中提出的壓縮感知(Compressed Sensing, CS)理論可以用于稀疏信號的恢復，大量實驗結(jié)果表明信道具有稀疏性[4-5]，因此信道的稀疏性和CS理論可用于獲得良好信道估計效果。

大量CS重構(gòu)算法基于貪婪算法思想，例如正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)[6]和壓縮采樣匹配追蹤(Compressed Sampling Matching Pursuit,CoSaMP)[7]算法。這類貪婪算法在傳感矩陣中尋找與接收信號最相關(guān)的列，再通過多次迭代更新殘差最后恢復出稀疏信道。但這類貪婪迭代算法的缺點是,在計算殘差時所用的LS算法忽略了噪聲的影響。本文提出的算法在CoSaMP算法基礎(chǔ)上對傳感矩陣所選支撐集進行LMMSE估計，最后再進一步進行稀疏信道估計。仿真結(jié)果表明，改進后的算法比原算法誤碼率(Bit Error Ratio,BER)性能提升約1～2 dB。

1 系統(tǒng)模型

考慮一個L條多徑的OFDM系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)為

式中：t和τ分別為時間和延遲；τq(t)∈R和αq(t)∈

C分別為路徑q的延遲和幅度，R和C分別為實數(shù)域和復數(shù)域；δ為單位沖激響應(yīng)。假設(shè)在持續(xù)塊衰落信道中，而且忽略符號同步，則離散信道沖激響應(yīng)為

式中：Tq為采樣間隔；L為信道抽頭數(shù)，即OFDM系統(tǒng)的徑數(shù)。在L個信道抽頭數(shù)中有Q(Q?L)個非零值，稱為Q稀疏信道。

考慮M個子載波的OFDM系統(tǒng)，其中包含MP個導頻和MD個數(shù)據(jù)(M=MP+MD)。{X(t1),X(t2),…,X(tMP)}和{Y(t1),Y(t2),…,Y(tMP)}分別為導頻位置處的發(fā)送符號和接收符號，tMP為第MP個導頻所在的位置。導頻子載波在頻域中估計的傳遞函數(shù)為

式中：h=[h(1),h(2),…,h(L)]T、X=diag{X(t1),X(t2),…,X(tMP)}和N=[n(1),n(2),…,n(Mp)]T分別為矩陣的單位沖激響應(yīng)、對角矩陣和高斯白噪聲；Y=[Y(t1),Y(t2),…,Y(tMP)]T為接收到的信號矩陣；F為離散傅里葉變換(Discrete Fourier transform, DFT)矩陣，可表示為

式中，w=e-i2π/M，i為虛數(shù)單位。

令Ad=XF，由式(4)得：

在信道稀疏大于導頻(MP>L)的情況下有助于減少導頻，因此可以提高頻譜效率。在實際環(huán)境中，一般很少有MP=L的情況，在此不做討論。對于稀疏信道的恢復問題[3]，如果向量h大部分分量等于或接近零(Q?L)，則存在一個可行的解決方案。

2 CS算法

2.1 CS

CS技術(shù)通過使用合適的字典或基，可以用最少數(shù)量的非零系數(shù)對多個信號進行分類。這種信號可以利用稀疏度的估計和非線性優(yōu)化進行恢復。由式(5)可知Q稀疏向量h可通過求解I0范數(shù)最小化得到[9]：

式中：‖h‖0為h非零項個數(shù)；σn為噪聲方差。該問題為非確定性多項式難(Nondeterministic Polynomially-Hard, NP-Hard)問題，但可以由凸優(yōu)化問題替代[4,10]，即轉(zhuǎn)化為

通常這類問題如文獻[11]所述，有兩類解決方案，即凸優(yōu)化和貪婪算法[9]。由于凸優(yōu)化算法并不適合時變信道中的信道估計[12]，且貪婪算法相比凸優(yōu)化算法具有更低的復雜度，因此本文主要研究貪婪算法。

在一個完整的冗余字典計算信號的最佳非線性估計是通過一個基本的貪婪算法匹配追蹤(Matching Pursuit, MP)來實現(xiàn)的。MP通過對信號的逐步篩選，建立了一個最接近矩陣列的線性組合信號。在非正交MP中，測量矩陣在原子間不具有正交性,繼續(xù)從先前的殘差中減去后續(xù)的殘差，可以重新引入與先前包含原子跨度不正交的成分。因此對于下一次迭代，只考慮留數(shù)的正交分量[12]。與傳統(tǒng)LS算法相比，MP具有更好的性能。然而，OMP算法的時間復雜度要高于其他貪婪算法，如CoSaMP算法，這是因為其每一步只選擇一個原子。因此，本文考慮CoSaMP的改進算法。

2.2 基于LMMSE估計的CoSaMP算法用于信道估計

在CoSaMP算法中，首先選取2Q個原子用于迭代估計。再從2Q個原子中，使用LS算法識別出新的Q維子空間，從而減少了錯誤的識別。

在傳統(tǒng)CoSaMP算法中，求解支撐集的偽逆為

式中：A(LS)為LS 算法下所求支撐集的偽逆；At為每次迭代選出的矩陣A的列集合。

LS算法沒考慮噪聲的影響，實際通信系統(tǒng)信道中有高斯白噪聲的影響。為了改善性能，在算法復雜度和性能之間進行權(quán)衡，通常使用LMMSE算法。因此，本文提出了一種基于LMMSE估計的CoSaMP算法。

由式(4)可知，傳感矩陣Ad=XF由導頻和DFT矩陣構(gòu)成，每次迭代取其中一列，則均方誤差(Mean Square Error, MSE)為

對MSE求關(guān)于WH的導數(shù)，可得：

式中：Rhh、RhY和RYY分別為h的自相關(guān)矩陣、h與Y的互相關(guān)矩陣和Y的自相關(guān)矩陣；σ和I分別為噪聲和單位矩陣。

本文中發(fā)送功率為1，為了簡化計算，將式(9)和(10)代入式(8)，可得LMMSE估計后的偽逆矩陣A(LMMSE,AWGN)為

式中，SNR為信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR)。將式(11)代入CoSaMP算法，則改進后的CoSaMP算法如下。以下流程中，rt為殘差，t為迭代次數(shù)；?為空集；J0為每次迭代找到的索引；Λt為t次迭代的索引集合；aj為矩陣A的第j列；At為按索引Λt選出的矩陣A的列集合;〈·,·〉為求向量內(nèi)積;abs[·]為求模值。

輸入：接收信號Y,觀測矩陣A=XF,稀疏度為Q；

第1步：初始化：r0=Y；Λ0=?；A0=?；t=1；

第2步：計算u=abs[ATrt-1](即〈rt-1,aj〉,1≤j≤N)，選擇u中2Q個最大值，將這些值對應(yīng)A的列序號j構(gòu)成集合J0(列序號集合)；

第3步：令Λt=Λt-1∪J0,At-1=At-1∪aj，j∈J0；

第7步：t=t+1，若t≤Q，則返回第2步繼續(xù)迭代，若t>Q或殘差rt=0，則停止迭代進入第8步；

3 仿真分析

3.1 仿真參數(shù)設(shè)置

在本節(jié)中，使用Matlab仿真平臺對本文改進CoSaMP、傳統(tǒng)CoSaMP和OMP算法進行仿真驗證。導頻位置是等間隔導頻。信號采用16-正交振幅調(diào)制(Quadrature Amplitude Modulation, QAM)調(diào)制，信道噪聲為高斯白噪聲。仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置

3.2 仿真結(jié)果分析

本文中，假設(shè)已知信道稀疏度為8，即只有8條主徑用來傳輸信號，其他徑認為無限接近或等于零。圖1所示為信道在時延域的信道響應(yīng)。CS能夠用于信道估計的原因正是因為在第五代移動通信技術(shù)(5th Generation Mobile Communication Technolo-gy,5G)中使用的高頻段毫米波相比于長期演進(Long Term Evolution, LTE)中低頻信號更容易受到環(huán)境的干擾，所以在信號傳輸過程中，只有極少數(shù)徑能傳輸信號，這時可認為信道在時延域上表現(xiàn)出稀疏性，因此可以使用CS進行信道估計。

圖1 時延域稀疏信道

圖2所示為不同信道估計算法的歸一化均方誤差(Normalized Mean Squared Error, NMSE)隨著SNR的變化關(guān)系。由圖可知，在低SNR的情況下，改進后的LMMSE-CoSaMP算法性能優(yōu)于CoSaMP算法。在SNR=5 dB時，LMMSE-CoSaMP算法的NMSE相比于CoSaMP算法約有2 dB的性能提升。整體性能提升在低SNR時要好于高SNR時。這是由于LMMSE-CoSaMP算法在迭代過程中，對從傳感矩陣中取出的相關(guān)列進行了LMMSE估計，可近似看成在CoSaMP算法的基礎(chǔ)上增加了一個維納濾波器，減小了噪聲對系統(tǒng)的影響。隨著SNR的提高，噪聲對系統(tǒng)的影響隨之降低，使得LMMSE-CoSaMP算法的性能逐漸接近CoSaMP算法的性能。相比于LMMSE算法， LMMSE-CoSaMP算法復雜度略高，但算法中只對少量K列進行LMMSE估計，而相比于在性能上帶來的提升，增加的算法復雜度可接受。

圖2 不同算法的NMSE隨SNR的變化關(guān)系

圖3所示為不同算法的BER隨SNR的變化關(guān)系，當SNR=5 dB時，LMMSE-CoSaMP算法相比于CoSaMP算法的BER降低了約34.7%。當BER=10-1時，LMMSE-CoSaMP算法相比于CoSaMP算法的性能提升了約2 dB。在理論上，本文的LMMSE-CoSaMP算法相比于CS理論的CoSaMP算法取得了更好的系統(tǒng)性能。圖4所示為不同算法的NMSE隨導頻數(shù)量的變化關(guān)系。相比于傳統(tǒng)的LMMSE算法，在具有相同系統(tǒng)性能時，LMMSE-CoSaMP算法使用更少的導頻，有效解決了5G 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中帶來的導頻污染。

圖3 不同算法的BER隨SNR的變化關(guān)系

圖4 不同算法的NMSE隨導頻數(shù)量變化的關(guān)系

4 結(jié)束語

本文提出了一種OFDM系統(tǒng)中的信道估計算法，該算法結(jié)合了傳統(tǒng)的CS重構(gòu)CoSaMP和LMMSE算法。利用信道在延遲域上的稀疏特性，基于先驗支撐集對稀疏信道進行重構(gòu)。傳統(tǒng)CS重構(gòu)算法中貪婪迭代算法是通過LS更新殘差，沒有考慮噪聲影響。通過對支撐集進行LMMSE估計，降低了噪聲對系統(tǒng)的影響。相比于傳統(tǒng)CoSaMP算法，LMMSE-CoSaMP算法在低SNR時，BER提升約1～2 dB，具有更好的抗噪聲性能。因此其他貪婪迭代算法也可以結(jié)合LMMSE估計以獲取更好系統(tǒng)性能，同時還有效減少了導頻開銷。