一種基于1 bit壓縮感知的毫米波信道估計(jì)算法

李心安，余開文

(重慶郵電大學(xué) a.新一代寬帶移動(dòng)通信重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室； b.通信與信息工程學(xué)院,重慶 400065)

0 引 言

毫米波頻段(30～300 GHz)尚存大量未用頻譜，因頻帶寬和信息容量大等特點(diǎn)，其成為了下一代移動(dòng)通信的主要選擇[1-3]。較高的路徑損耗是毫米波通信的主要挑戰(zhàn)之一，大規(guī)模多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output, MIMO)系統(tǒng)在基站側(cè)和終端側(cè)使用波束賦形補(bǔ)償路徑損耗是一種有效的解決方案[4]。

從硬件的角度來看，天線數(shù)目的增加導(dǎo)致接收端模數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog-to-Digital Converter, ADC) 數(shù)量增多。高速(≥1 GSamples/s)且高精度(≥ 6 bits)的ADC對(duì)便攜式終端設(shè)備而言，其成本和功耗都太高，或硬件不可實(shí)現(xiàn)[5-6]。接收電路的主要耗能元件為ADC，ADC的功耗隨系統(tǒng)帶寬線性增長(zhǎng)，隨量化比特?cái)?shù)指數(shù)增長(zhǎng)[7]。

利用毫米波信道在角度域的稀疏性，Ahmed Alkhateeb等人[8]采用網(wǎng)格化的方法，將毫米波信道估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為3個(gè)參數(shù)的估計(jì)問題，即離開角、到達(dá)角和信道向量非零元素的值，其中離開角和到達(dá)角由信道向量非零元素的位置唯一確定；Jianhua Mo等人[9]采用期望最大(Expectation Maximization, EM)算法對(duì)量化前的接收信號(hào)求條件期望，再用傳統(tǒng)的信道估計(jì)算法求解，得到信道向量的最大似然估計(jì)。

為了在提高估計(jì)精度的同時(shí)降低算法復(fù)雜度，本文提出了EM算法和正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法相結(jié)合的估計(jì)信道矩陣，即EM-OMP算法，同時(shí)結(jié)合廣義正交匹配追蹤(Generalized Orthogonal Matching Pursuit,GOMP)算法每次迭代按相關(guān)性依次選取多個(gè)原子。

本文符號(hào)約定：α、a和A分別為標(biāo)量、列向量和矩陣；AT和AH分別為矩陣的轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置；║A║F和║a║2分別為矩陣的Frobenius范數(shù)和向量的l2范數(shù)；A?B為克羅內(nèi)克積(Kronecker Product)；vec(A)為矩陣的列向量化。

1 通信系統(tǒng)模型

在毫米波MIMO系統(tǒng)中，接收端的接收信號(hào)：

毫米波信道采用Saleh-Valenzuela信道模型：

式中：αn為第n條路徑的復(fù)增益；Npath為路徑數(shù)；φn和θn分別為第n條路徑的到達(dá)角和離開角，其均服從均勻分布，即φn、θn～U(-π/2,π/2)；Λ=diag{α1,α2,…,αn}為n條路徑的復(fù)增益α1,α2,…,αn組成的對(duì)角矩陣；AR為各條路徑接收陣列導(dǎo)向矢量ar(φi)(i=1,2,…,Npath)組成的矩陣，定義為AR=[ar(φ1)ar(φ2) …ar(φNpath)]；AT為各條路徑發(fā)送陣列導(dǎo)向矢量at(θi)(i=1,2,…,Npath)組成的矩陣，定義為AT=[at(θ1)at(θ2) …at(θNpath)]。

發(fā)送端和接收端均采用均勻線陣，陣列響應(yīng)矢量可表示為

式中：M為天線數(shù)量；j為虛數(shù)單位；λ為波長(zhǎng)；θ為方向角；d為相鄰天線陣元間距，這里取d=λ/2。毫米波信道通常是視距傳播或近似視距傳播，只有很少的反射路徑[10-11]，因此，通常有Npath?min{Nr,Nt}。

信道矩陣的稀疏網(wǎng)格化可表示為

式中：UR∈CNr×Nr和UT∈CNt×Nt均為字典矩陣；HS為等效信道矩陣。

這里忽略量化到達(dá)角、離開角和實(shí)際到達(dá)角、離開角之間的誤差。從HS中非零元素的位置可以得出毫米波信道量化到達(dá)角和離開角，非零元素的值表示毫米波信道復(fù)增益。信道矩陣的稀疏表示將信道矩陣的估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為到達(dá)角、離開角和信道矩陣非零元素值的估計(jì)問題，即信道矩陣非零元素位置和值的估計(jì)問題。

2 問題建模

在訓(xùn)練階段，令X∈CNt×K為訓(xùn)練矩陣，K為訓(xùn)練長(zhǎng)度。訓(xùn)練矩陣取X=UTZ，Z為等效訓(xùn)練矩陣，故有：

式中：Y為接收的訓(xùn)練矩陣；N∈CNt×K為各個(gè)元素獨(dú)立同分布的復(fù)高斯噪聲矩陣。上式的實(shí)值形式為

3 EM-OMP算法

EM算法如下所示：

循環(huán)：

OMP算法在每次迭代時(shí)，通過計(jì)算當(dāng)前殘差與所有待選原子的內(nèi)積，選擇最大相關(guān)原子，再通過最小二乘(Least Square，LS)算法計(jì)算該原子的系數(shù)，逐步近似原始信號(hào)。OMP算法主要包括兩個(gè)步驟，尋找最優(yōu)原子和計(jì)算該原子的系數(shù)。

然而，基于EM-OMP算法的信道向量估計(jì)存在兩個(gè)問題：一是條件期望對(duì)量化前接收信號(hào)的估計(jì)與實(shí)際信號(hào)之間存在估計(jì)誤差；其次是每次迭代只選取一個(gè)索引使算法的運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)。其中，條件期望所帶來的誤差可通過迭代使其收斂[9-11]，由于1 bit量化只保留了原始信號(hào)的符號(hào)信息，條件期望的估計(jì)性能與信噪比(Signal to Noise Ratio，SNR)有關(guān)，這一點(diǎn)將在第5節(jié)詳細(xì)說明。

4 EM-GOMP算法

OMP和GOMP算法基于貪心準(zhǔn)則從感知矩陣中選取與當(dāng)前殘差具有最大相關(guān)性的列向量。兩種算法的區(qū)別在于，進(jìn)行重構(gòu)時(shí)，OMP算法每次迭代過程中只選擇與當(dāng)前殘差最大相關(guān)的原子，而GOMP算法在每次迭代過程中會(huì)選擇與當(dāng)前殘差相關(guān)的原子集合，然后在該集合中按照相關(guān)性從大到小依次選取若干原子。相對(duì)于OMP算法，GOMP算法的搜索選擇方式能夠更好地保證從信號(hào)能量相近或不完全和不精確的陣列接收信號(hào)中恢復(fù)信號(hào)，能更準(zhǔn)確地找出信號(hào)的所在角度。

GOMP的具體過程是，預(yù)先定義每次迭代選取原子的數(shù)量num，按照下列準(zhǔn)則選取num個(gè)最大相關(guān)列：

式中，ψsupp為支撐集supp對(duì)應(yīng)列組成的子矩陣。重復(fù)上述步驟，直至選出所有路徑。

EM-GOMP算法如下所示：

循環(huán)：

循環(huán)：

尋找num個(gè)最大相關(guān)列

更新殘差和循環(huán)變量：

直到i≥Npath；

5 仿真分析

圖1所示為不同信道估計(jì)算法在不同SNR條件下的NMSE曲線。由圖可知，EM-OMP和EM-GOMP算法在性能上均優(yōu)于EM算法。其中，EM算法在求矩陣偽逆時(shí)，分別選取了Penrose-Moore偽逆矩陣和基于矩陣分解的偽逆矩陣。系統(tǒng)SNR<20 dB時(shí)，EM-OMP算法的NMSE為EM算法的1/10。其原因在于，EM算法并未利用信道的稀疏性，在高維矩陣求偽逆運(yùn)算時(shí)，耗時(shí)長(zhǎng)且估計(jì)精度差。EM-GOMP算法在每次迭代選取兩個(gè)原子時(shí)，其估計(jì)精度與EM-OMP算法幾乎一致，在每次迭代選取3個(gè)原子時(shí)，其估計(jì)精度比EM-OMP算法降低了2 dB。無論哪種算法，當(dāng)SNR分別大于某一門限時(shí)，其性能隨著SNR的增大急劇降低。這是由于，1 bit ADC只保留了接收信號(hào)的符號(hào)信息，當(dāng)接收信號(hào)的模很大時(shí)，使用條件期望估計(jì)會(huì)帶來較大的估計(jì)誤差。這是量化系統(tǒng)中的一種典型現(xiàn)象，稱為隨機(jī)共振[12-14]。

圖1 不同SNR情況下的NMSE對(duì)比

為了對(duì)比各個(gè)算法的計(jì)算復(fù)雜度，表1給出了EM-OMP、EM-GOMP和EM算法單次迭代的耗時(shí)統(tǒng)計(jì)。算法仿真軟件為Matlab R2018b，硬件環(huán)境為16 GB 隨機(jī)存取存儲(chǔ)器(Random Access Memory，RAM)和 Intel Core i5-10300H 中央處理器(Central Processing Unit，CPU)。由表可知，算法耗時(shí)由高到低依次為：EM(Penrose-Moore偽逆)、EM(矩陣分解偽逆)、EM-OMP、EM-GOMP(num=2)和EM-GOMP(num=3)。EM算法耗時(shí)較長(zhǎng)是因?yàn)楦呔S矩陣的偽逆運(yùn)算量大。EM-GOMP算法每次迭代選取多個(gè)原子，故其耗時(shí)比EM-OMP算法更短，且每次迭代選取的原子數(shù)量越多，其耗時(shí)就越短。

表1 每次迭代的耗時(shí)統(tǒng)計(jì)

圖2所示為路徑數(shù)為2、SNR=10 dB時(shí)，各信道估計(jì)算法采用不同導(dǎo)頻長(zhǎng)度的NMSE曲線。由圖可知，隨著導(dǎo)頻長(zhǎng)度的增加，估計(jì)算法的準(zhǔn)確性越來越高。同時(shí)隨著導(dǎo)頻長(zhǎng)度的增加，曲線斜率的絕對(duì)值越來越低，這說明當(dāng)導(dǎo)頻長(zhǎng)度較大時(shí)，如圖所示為當(dāng)導(dǎo)頻長(zhǎng)度為512時(shí)，再增加導(dǎo)頻長(zhǎng)度帶來的性能提升有限。

圖2 不同導(dǎo)頻長(zhǎng)度情況下的NMSE對(duì)比

6 結(jié)束語

本文針對(duì)高精度ADC毫米波通信系統(tǒng)的成本和功耗高問題，在接收端采用1 bit量化器，并利用壓縮感知技術(shù)進(jìn)行毫米波大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的信道估計(jì)?？紤]毫米波大規(guī)模MIMO信道在角度域的稀疏性，為了便于實(shí)際應(yīng)用，本文設(shè)計(jì)了EM-OMP算法，每次迭代選取與當(dāng)前殘差最大相關(guān)的一個(gè)原子。為了進(jìn)一步提高算法效率，設(shè)計(jì)了EM-GOMP算法，每次迭代選取多個(gè)最大相關(guān)原子，降低了算法的迭代次數(shù)。仿真結(jié)果表明，本文所提EM-OMP和EM-GOMP算法估計(jì)性能高于EM算法，同時(shí)算法復(fù)雜度低于EM算法。