對稱性結(jié)論在多元函數(shù)積分中的應(yīng)用

袁玉強 杜 仲

（1.中國礦業(yè)大學(xué)（北京）理學(xué)院 北京 100083；2.華北電力大學(xué)數(shù)理系 河北·保定 071003）

利用對稱性化簡積分求解問題是高等數(shù)學(xué)中最常見的一種應(yīng)用。教材中鮮少提及應(yīng)用對稱性解決積分問題的結(jié)論，但在教學(xué)中，能否應(yīng)用對稱性卻是解題最開始要做的判斷。已報道的相關(guān)結(jié)論，特別是重積分的情況，需要同時考慮積分區(qū)域的對稱性和積函數(shù)關(guān)于哪個變量的奇偶性，學(xué)生們普遍反饋難以記憶這種結(jié)論。基于這種考慮，本文提出對稱性求解積分問題的一種統(tǒng)一形式，便于對結(jié)論的記憶和理解，提高解題效率，也為習(xí)題的編撰和試題庫的建設(shè)提供思路。此外，我們發(fā)現(xiàn)第一型的曲線和曲面積分本質(zhì)上與定積分、重積分一致。因此，該結(jié)論也可以推廣到第一型的曲線和曲面積分。

1 定積分和重積分的對稱性結(jié)論

以上定理在很多文獻中都有報道及相應(yīng)的證明，如參考文獻[1，2，3]，因此本文將不再贅述有關(guān)的證明。從以上定理我們看到對稱性的確可以簡化很多積分計算，但是對于多元函數(shù)，考慮的是關(guān)于軸（或平面）的對稱，而被積函數(shù)則要求是關(guān)于剩余那個變量的奇偶性，這與一元函數(shù)定積分應(yīng)用對稱性的結(jié)果不一致。

那么為了統(tǒng)一這幾種對稱性的形式，我們不妨換一個角度來看：（1）對一元函數(shù)的定積分，原點在數(shù)軸上可以表示為x=0，因此積分區(qū)域關(guān)于原點的對稱性可以看作積分區(qū)域關(guān)于x=0的對稱性，此時考慮被積函數(shù)f( x)關(guān)于變量x的奇偶性；（2）對二元函數(shù)的二重積分，y軸在平面區(qū)域中可以表示為x=0，因此積分區(qū)域D關(guān)于y軸的對稱性可以看作是D關(guān)于x=0的對稱性，此時只需考慮被積函數(shù)f (x,y)關(guān)于變量x的奇偶性；（3）同樣地，對于三元函數(shù)的三重積分，平面yoz在空間中可以表示為x=0，因此積分區(qū)域關(guān)于yoz平面的對稱性可以看作是關(guān)于x=0的對稱性，此時只需考慮被積函數(shù)f( x,y,z)關(guān)于變量x的奇偶性。總結(jié)對稱性在定積分和重積分計算中的結(jié)論即可簡化為——考慮積分區(qū)域關(guān)于某個變量等于0的對稱性，再看被積函數(shù)關(guān)于這個變量的奇偶性：若函數(shù)關(guān)于該變量是奇函數(shù)，則積分結(jié)果為0；若函數(shù)關(guān)于該變量是偶函數(shù)，則積分結(jié)果為函數(shù)在一半?yún)^(qū)域積分的兩倍。

2 第一型曲線和曲面積分的對稱性結(jié)論

我們看到第一型的曲線和曲面積分仍然是由黎曼和定義的[4]，因此這兩種積分的性質(zhì)與定積分、重積分是一致的，從而以上對稱性在定積分和重積分中的結(jié)論對第一型的曲線和曲面積分也成立。以下我們將以結(jié)論的形式給出相關(guān)敘述。

定理4.對于第一型曲線積分（不妨假設(shè)為平面曲線），當(dāng)積分曲線L關(guān)于x=0對稱，設(shè)f (x,y)在L上連續(xù)，則